显然
t（p1p2…pn）=p1的逆序数+p2的逆序数+…+pn的逆序数.
例1.3求t（n（n-1）…1）.
解在排列n（n-1）…1中，n-1的逆序数为1，n-2的逆序数为2，…1的逆序数为n-1，于是
t（n（n-1）…1）=1+…+（n-1）=n（n-1）2.
例1.4求t（53214）.
解在排列53214中，3的逆序数为１，2的逆序数为2，1的逆序数为3，4的逆序数为1，于是
t（53214）=1+2+3+1=7.
逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.
1.2对换
我们来看两个三元排列：
312，213.
显然排列213可以看成是将排列312中的元素3，2互换得到的，我们把这种互换称为一个对换.
定义1.4把一个排列中的某两个元素互换，而其余的元素保持不变得到另一个排列的过程称为一个对换.相邻两个元素对换，叫做相邻对换.
定理1.1对换改变排列的奇偶性.
证先证相邻对换的情形.
设排列为p1…pnpqq1…qm，对换p，q后变为p1…pnqpq1…qm.显然，对换后p1，…，pn，q1，…，qm这些元素的逆序数不
变，而p,q两元素的逆序数变为下面两种情形：
当pq时，对换后p的逆序数不变，q的逆序数减少1，所以原排列与p1…pnqpq1…qm的奇偶性相反.
再证一般对换的情形.
设排列为p1…pnpq1…qmqr1…rk，将q与qm，…，q1依次作m次相邻对换，变为p1…pnpqq1…qmr1…rk；再将p与q，q1，…，qm依次作m+1次相邻对换变为p1…pnqq1…qmpr1…rk.总之，原排列经过2m+1次相邻对换后变为p1…pnqq1…qmpr1…rk，所以这两个排列的奇偶性相反.
推论1.1任意一个n元排列都可以经过一系列对换变成标准排列，且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.
证由定理1.1知，排列奇偶性的变化数即为对换的次数，而标准排列为偶排列，故推论成立.
推论1.2在全部n！
个n元排列中，奇、偶排列的个数相等，各为
n!
2个.
证假设在n!
个n元排列中，有s个奇排列和t个偶排列，则s+t=n!
.将s个奇排列的前两个元素都对换，即将p1p2p3…pn变为p2p1p3…pn，就得s个偶排列，显然s≤t，同理可得t≤s，所以s=t=n!
2.
1.3行列式
1.3.1行列式的定义
对于二元一次方程组
a11x1+a12x2=b1，
a21x1+a22x2=b2，
（1.1）
当a11a22-a12a21≠0时，用消元法可求出方程组（1.1）的解为
x1=b1a22-a12b2a11a22-a12a21，x2=a11b2-b1a21a11a22-a12a21.（1.2）
在（1.2）式中，分母a11a22-a12a21是方程组（1.1）的4个系数所确定的，把这4个数按其在方程组（1.1）中的位置排成2行2列（横排称为行、竖排称为列）的数表
a11a12
a21a22
（1.3）
表达式a11a22-a12a21称为数表（1.3）所确定的二阶行列式，记为a11a12
a21a22，即
a11a12
a21a22=a11a22-a12a21，（1.4）
这里，数aij（i，j=1，2）称为行列式（1.4）的元素，第一个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列.等式的右端称为二阶行列式的展开式.
二阶行列式可以按图1.1所示的对角线法则展开.把a11和a22用实线（称为主对角线）连接，a12和a21用虚线（称为副对角线）连接，二阶行列式就是主对角线上的两个元素之积与副对角线上的两个元素之积的差.
图1.1
利用二阶行列式，方程组（1.1）的解可以表示为
x1=D1D=b1a12
b2a22a11a12
a21a22，x2=D2D=a11b1
a21b2a11a12
a21a22.
这里分母D是由方程组的系数所确定的二阶行列式（称为系数行列式），D1是用常数项b1，b2替换D中x1的系数a11，a21后所得的二阶行列式，D2是用常数项b1，b2替换D中x2的系数a12，a22后所得的二阶行列式.
例1.5求解二元一次方程组
2x1+x2=1，
x1+2x2=0.
解
x1=D1D=11
0221
12=1×2-1×02×2-1×1=23，
x2=D2D=21
1021
12=2×0-1×12×2-1×1=-13.
定义1.5将9个数aij（i，j＝1，2，3）排成3行3列的数表
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33（1.5）
表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为数表（1.5）所确定的三阶行列式，记为
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33，即
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31，
等式的右端称为三阶行列式的展开式.
三阶行列式可以按图1.2所示的对角线法则展开.
图1.2
例1.6计算三阶行列式
D=111
201
321.
解直接用定义计算可得
D=1×0×1+1×1×3+1×2×2-1×1×2-1×2×1-1×0×3=3.
分析二阶行列式和三阶行列式，可以看出其展开式具有以下规律（n为行列式的阶数）：
（1）行列式共有n!
项，带正、负号的项各占一半；
（2）行标排列为自然排列；
（3）每项均为n个元素的乘积，且这n个元素分别取自于不同的行和不同的列；
（4）每项前的符号取决于列标排列的奇偶性.
于是，二阶行列式可以表示为
D=∑p1p2（-1）t（p1p2）a1p1a2p2，
这里的∑p1p2表示对数1，2的所有排列p1p2求和.
三阶行列式可以表示为
D=∑p1p2p3（-1）t（p1p2p3）a1p1a2p2a3p3，
这里的∑p1p2p3表示对数1，2，3的所有排列p1p2p3求和.
依此类推，我们可以定义n阶行列式.
定义1.6将n2个数排成n行n列的数表
a11a12…a1n
a21a22…
a2n
an1an2…ann（1.6）
表达式
∑p1p2…pn（-1）
t（p1p2…pn）a1p1
a2p2…
anpn称为数表（1.6）所确定的n阶行列式，记为
a11a12…a1n
a21a22…a2n
an1an2…ann，即
D=a11a12…a1n
a21a22…a2n
an1an2…ann
=
∑p1p2…pn（-1）t（p1p2…pn）
a1p1a2p2…
anpn.
这里∑p1p2…pn表示对数1，2，…，n的所有排列p1p2…pn求和，数aij（i，j=1，2，…，n）称为行列式D中第i行、第j列的元素.n阶行列式也可简记为det（aij）.
行列式左上角到右下角的连线称为主对角线，右上角到左下角的连线称为副对角线.当n=1时，
|a|=a.
例1.7判断以下各项是否是四阶行列式D4=det（aij）展开式中的一项，如是，它们前面的符号如何?
（1）a11a23a34；
（2）a11a23a22a34；
（3）a12a43a31a24.
解
（1）、
（2）不是；（3）是.因为a12a43a31a24=a12a24a31a43，故（3）的行标排列为标准排列，列标排列为2413，t（2413）=3，所以该项带负号.
例1.8计算上三角行列式（当i>j时，aij=0（i，j=1，2，…，n），即主对角线以下的元素全为0）
D=a11a12…a1n
0a22…a2n
00…ann.
解D=
∑p1p2…pn（-1）
t（p1p2…pn）a1p1
a2p2…anpn.在
a1p1a2p2…
anpn中，pn只有取n时，anpn才可能不为0.此时，pn-1只有取n-1时，an-1，pn-1才可能不为0，依此类推，p1只有取1时，a1p1才可能不为0，D的展开式中只有一项a11a22…ann可能不为0，而这项的列标排列为标准排列，所以
D=
a11a12…a1n
0a22…a2n
00…ann=a11a22…ann.
同理可得下三角行列式（当i
D=a110…0
a21a22…0
an1an2…ann=
a11a22…ann.
特别地，对角行列式（当i≠j时，aij=0（i，j=1，2，…，n），即主对角线以外的元素全为0，以后常把0元素略去不写）
D=
a11
a22
ann=a11a22…ann.
例1.9证明
D=a1
a2
an＝（-1）n（n-1）2a1a2…an.
证
D=a1
a2
an
记a1=b1n，a2=b2，n-1，…，an=bn1
b1n
b2，n-1
bn1
=（-1）t（n（n-1）…1）b1nb2，n-1…bn1
=（-1）n（n-1）2a1a2…an.
例1.10计算
D=a11a12a13a14a15
a21a22a23a24a25
a31a32000
a41a42000
a51a52000.
解
D=∑p1p2…p5
（-1）t（p1p2…p5）
a1p1a2p2…
a5p5.在
a1p1a2p2…
a5p5中，p5只有取1或2时，a5p5才可能不为0，此时，p4只有取2或1时，a4p4才可能不为0，由于展开式中的项为取自不同行、列的元素的乘积，所以p3只能在3，4，5中选择，即a3p3必为0，所以D=0.
1.3.2行列式的等价定义
对于n阶行列式
D=∑p1p2…pn
（-1）t（p1p2…pn）a1p1
a2p2…anpn
，
由于
a1p1a2p2…
anpn是n个数的乘积，满足交换律，故可以将
a1p1a2p2…anpn中的元素进行交换.当
a1p1a2p2…anpn
经过m次交换化为ai1j1ai2j2…ainjn时，
a1p1a2p2…anpn的行标排列12…n变为i1i2…in，行标排列的奇偶性变换m次；列标排列p1p2…pn变为
j1j2…jn，列标排列的奇偶性也变换m次.于是
（-1）t（p1p2…pn）a1p1a2p2
…anpn=（-1）t（12…n）+t（p1p2…pn）a1p1a2p2…anpn
=（-1）t（i1i2…in）+m+t（j1j2…jn）+m
ai1j1ai2j2…ainjn
=（-1）t（i1i2…in）+t（j1j2…jn）ai1j1
ai2j2…ainjn.
又
a1p1a2p2…
anpn与ai1j1ai2j2…ainjn是相互惟一确定的，故
D=∑p1p2…pn（-1）t（p1p2…pn）
a1p1a2p2…anpn
=∑i1i2…in（或j1j2…jn）（-1）
t（i1i2…in）+t（j1j2…jn）
ai1j1ai2j2…ainjn
由此可得n阶行列式的等价定义.
定义1.6′
D=∑i1i2…in
（或j1j2…jn）
（-1）t（i1i2…in）+t（j1j2…jn）ai1j1
ai2j2…ainjn.
特别地，当列标排列为标准排列时，可得下面结论.
定义1.6″
D=∑q1q2…qn（-1）t（q1q2…qn）
aq11aq22…aqnn.
1.4行列式的性质
n阶行列式的展开式中共有n!
项，当n较大时，用定义计算行列式是很困难的，此时通常利用行列式的性质来计算.
记
D=a11…a1n
an1…ann，
DT=a11…an1
a1n…ann，
DT称为D的转置行列式.
性质1.1行列式与其转置行列式相等.
证记
DT=b11…b1n
bn1…bnn，
这里bij=aji（i，j=1，2，…，n），由行列式的定义知
DT=∑p1p2…pn（-1）t（p1p2…pn）b1p1b2p2…bnpn
=∑p1p2…pn（-1）t（p1p2…pn）ap11ap22…apnn，
而由行列式的等价定义1.6″可知
D=∑p1p2…pn（-1）t（p1p2…pn）ap11ap22…apnn，
故DT=D.
性质1.1表明，行列式对行成立的性质对列也成立，反之亦然.
性质1.2行列式的两行（列）互换，其值反号.
证设D交换第i，j行后得到
D1=b11…b1n
bn1…bnn，
这里，当k≠i，j时，bkp=akp；当k=i，j时，
bip=ajp，bjp=aip.于是
D1=∑（-1）t（p1…pi…pj…pn）b1p1…bipi…bjpj…bnpn
=∑（-1）t（p1…pi…pj…pn）a1p1…ajpi…aipj…anpn
aipj与ajpi交换
∑（-1）t（p1…pi…pj…pn）a1p1…aipj…ajpi…anpn
=∑（-1）1+t（p1…pj…pi…pn）a1p1…aipj…ajpi…anpn
=-∑（-1）t（p1…pj…pi…pn）a1p1…aipj…ajpi…anpn
=-D，
故D1=-D.
性质1.3行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.即
a11…a1n
kai1…kain
an1…ann=k
a11…a1n
ai1…ain
an1…ann
.
推论1.3行列式的某两行（列）对应元素成比例，其值为零.
性质1.4行列式的某一行（列）中所有元素都是两个数之和，则该行列式等于相应的两个行列式之和.例如
D=a11…a1n
ai1+bi1…ain+bin
an1…ann=a11…a1n
ai1…ain
an1…ann+a11…a1n
bi1…bin
an1…ann.
性质1.3、性质1.4都很容易用行列式的定义证明.
推论1.4行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，其值不变.即
a11…a1n
ai1…ain
aj1…ajn
an1…ann
=
a11…a1n
ai1+kaj1…ain+kajn
aj1…ajn
an1…ann
.
升级会员 