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1、概率论基础讲义全概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验 |;（ 1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个 ，且所有可能结果是已知的 ；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验 ，并常记为E。例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件 :常记为A，B, C例如，在Ei中，A表示 掷出2点”，B表示 掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验

2、必发生的事情称为必然事件 ，记为Q。每次试验都不 可能发生的事情称为不可能事件，记为。例如，在Ei中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而 掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件 。例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，掷出6点”均为此试验的基本事件 由基本事件构成的事件称为复 ,例如，在Ei中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点 ,常记为e.例如，在Ei中，用数字1, 2,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集 1, 2,6便是Ei中的基本事件

3、。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本 点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是 ( H, H) , ( H , T) , (T, H ) , (T, T) 显然，任何事件均为某些样本点构成的集合 。例如，在Ei中掷出偶数点”的事件便可表为2, 4, 6。试验中所有样本点构成的集合 称为样本空间。记为Qo例如，在 Ei 中，Q=1 , 2, 3, 4, 5, 6在 E2 中，Q= ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) 在 Es 中，Q=0 , 1, 2,例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取

4、一张 ，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为 N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去 ，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为Na =平或者吒=5 5 5 515151I八八丿 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列事件间的关系与运算1、包含：若事件A的发生必导致事件 B发生，则称事件B包含事件A，记为A _ B或B_ A。例如，在曰中，令A表示掷出2点”的事件，即A=2B表示掷出偶数”的

5、事件，即B=2 , 4, 6则 二- 12、相等：若A _B且B _A,则称事件 A等于事件B,记为A=B例如，从一付52张的扑克牌中任取 4张，令A表示 取得到少 有3张红桃”的事件；B表示取得至多有一张不是红桃 ”的事件。 显然A=B3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为 A与B的和事件简称为和，记为A件，B表示 乙击中目标”的事件，则AUB表示 目标被击中”的事件。推广：IJ4 -4U4UUA尚,儿至少有一个发蠻有限个 .-一无穷可列个(Ja = A U虫2 U ： A 至少有一个发生X-14、积：称事件A与事件B同时发生的事件为 A与B的积事件，简称为积，记为A _| B或AB

6、。例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中 ，令A=接到偶数次呼唤，B=接到奇数次呼唤，则A _|B=接到6的倍数次呼唤| | 丄 Lq.-： 丄 任意有限个j_l04 = 4AwUbA 同时发生无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为 A减B的差事件简称为差，记为A-B。例如，测量晶体管的3参数值，令A=测得直不超过50 , B=测得3值不超过100 ,贝U, A-B= 0, B-A= 测得3值为50 3100 6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB= 0,则称A与B是互不相容的例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯B=绿灯亮,则A与B便是互不相容的

7、。A7、对立：称事件A不发生的事件为 A的对立事件，记为显然 上. 门，A A = 0例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A=取得的3个产品中至少有一个次品,则一 =取得的3个产品均为正品。3事件的运算规律1、 交换律 A U B=B U A; A A B=B n A2、 结合律 (A U B)U C=A U( BU C) ; ( A A B)n C=A n( BA C)3、 分配律 AA( BU C) = (A n B)U( A n C), AU( Bn C) = (A U B)n( A U C)4、 对偶律此外，还有一些常用性质，如AU B _ A, AU B _ B

8、(越求和越大)；A n B _A , A n B _B(越求积越小)。若 A _B,则 A U B=B, A n B=A A-B=A-AB= A 等等。例3,从一批产品中每次取一件进行检验 ，令Ai=第i次取得合格品,i=1,2,3,试用事件的运 算符号表示下列事件。A=三次都取得合格品 B=三次中至少有一次取得合格品 C =三次中恰有两次取得合格品 D=三次中最多有一次取得合格品 解：A = A 1 A 2 A 3 门一上.二一、-:二& H 丄上一.表示方法常常不唯一，如事件B又可表为B = A 石A U U U 44 忑 U 如仏例4, 一名射手连续向某一目标射击三次 ，令A i=第i次

9、射击击中目标 , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：fI.: .-! .1 -匚&珂第一次射击耒击申目标J.-| .-I. - J t-中一I AlA2A3=三次射击都击中目标A3-A 2 =第三次击中目标但第二次未击中目标 4U4 = 前两次均未击中目标怡主;石兀=44)4UA = 前两次射击至少有-次耒击中目标例5,下图所示的电路中，以A表示 信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点 i,n,m,闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。二事件的概率概率的定义所谓事件A的概率是指事件 A发生可能性程度的数值度量，记为P (A)。规定P(A) X), P (Q) =1。1、古典

10、概型中概率的定义古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型(1)所有基本事件是有限个；(2)各基本事件发生的可能性相同例如：掷一匀称的骰子，令A=掷出2点=2 , B=掷出偶数总=2 , 4, 6。此试验样本 空间为1Q=1 , 2, 3, 4, 5, 6,于是，应有仁P (Q) =6P (A)，即 P (A)= 一。6定义1 :在古典概型中，设其样本空间Q所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为 N q而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为 Na,则事件A的概率便定义为：卄叽丄包含基本事件数瓦基本事件总数例1 ,将一枚质地均匀的硬币一抛三次 ，求恰有一次正面向上的概率解：

11、用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间Q= (H , H, H)( H , H , T)( H , T, H)( T, H, H)( H , T, T)( T, H , T)( T, T, H)( T,T, T) 。可见N沪8令A=恰有一次出现正面,则A= ( H , T, T)( T, H , T)( T, T, H) 可见，令Na=3例2,(取球问题)袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球 。(1) 有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；(2) 无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；(3) 一次取球：

12、从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求 A=恰好取得2个白球的概 率。解：(1)有放回取球 N q=8 X8 X8=8 3=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)% =8x?x 6=4 =336(2)无放回取球 叫=215x4x3 =2 J-180属于取球问题的一个实例设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为例3 （分球问题）将n个球放入 N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率 （n 02 P （Q） =13 若Al , A2 ,An两两互不相容，则j4 i42、概率的统计定义频率：在n次重复试验中，设事件A出现了 nA次

13、，则称：为事件A的频率。n频率具有一定的稳定性。示例见下例表试验者抛硬币次数n正面（A）出现次数nA正面（A）出现的频率M)=22德摩尔根204810610. 5180浦丰404021480. 5069皮尔逊1200060190. 5016皮尔逊24000120120. 5005维尼30000149940. 4998定义2 :在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数 n的增大，事件A的频率fn（A）越来越稳定地在某一常数 p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（ A）=p不难证明频率有以下基本性质 ： 2 丄3若Ai, A, ,两两互不相容，则鼻1 33、概率的公理化定义 （数学

14、定义）定义3 :设某试验的样本空间为Q,对其中每个事件 A定义一个实数P （A）,如果它满足F列三条公理1 P (A) X)(非负性)2 P (Q) =1 (规范性)223若Ai , A2,An两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性）则称P (A)为A的概率4、几何定义定义4 :假设Q是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Q中随机地选择一点，即Q中任 何一点都有同样的机会被选到 ，则相应随机试验的样本空间就是 Q,假设事件A是Q中任何 一个可度量的子集，则P(A)= u(A)/ u(Q)概率的性质差的概率等于概率之差性质 1 : 若 A _ B,则 P(B-A)=P(B)-P(

15、A)证： 因为：A _ B所以：B=A U (B-A)且A A (B-A)=札由概率可加性 得 P ( B) =PA U( B-A ) =P (A) +P ( B-A ) 即 P ( B-A ) =P ( B) -P (A) 性质2 :若A _B,则P (A )P ( B)概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得 0 P (B-A ) =P ( B) -P (A),即P (A )WP ( B)性质3 : P (A )1 证明：由于A _ Q,由性质2及概率的规范性可得 P (A )1性质4 :对任意事件A , P ( .-| ) =1-P (A)证明：在性质 1 中令 B= Q便有 P ( )

16、 =P (Q-A ) =P (Q) -P (A) =1-P (A)性质 5: P (0) =0 证：在性质 4 中，令 A= Q,便有 P ( ) =P (二)=1-P (Q)=1-1=0性质6 (加法公式)对任意事件A , B，有P (AUB )证：由于 A U B=A U( B-AB )且 AA( B-AB) = $ (见图)由概率的可加性及性质 1便得P (A U B)=PA U( B-AB)=P( A)+P( B-AB)=P(A) +P ( B) -P (AB)推广：P ( A U B U C) =P ( A ) +P ( B) +P ( C) -P ( AB ) -P ( AC )

17、-P ( BC) +P(ABC )例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的 概率。解：令C=取出产品中至少有一个是次品 ,则=取出产品中皆为正品,于是由性质4得例7,甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为 0.4和0.35 ,而同时下雨的概率为 0.15 ,问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率 。解：令A=甲城下雨, B=乙城下雨,按题意所要求的是P (A U B) =P (A) +P (B) P ( AB) =0.4+0.35-0.15=0.6例 8.设 A,B,C 为三个事件,已知 P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0

18、,P(AC)=0,P(BC)=0.125, 求A,B,C至少有一个发生的概率解；由于ABC c AB故0 P （ABC） o,则有P)=例4:已知某产品的不合格品率为 4%,而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件求取得的为一级的概率解:令A= 任取一件产品为一级品, B= 任取一件产品为合格品，显然J - ：1，即 有 AB=A 故 P ( AB) =P ( A)。于是， 所要求的概率便为PA)= P(AB)= P卜 96% x75% 二 72%例5:为了防止意外，在矿内安装两个报警系统 a和b,每个报警系统单独使用时，系统a有效的 概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在

19、系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85， 试求：当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率 ；(2)在系统b失灵情况下，系 统a有效的概率.解：令 A=系统a有效 B=系统b有效已知. 一，/ : Il :对问题(1),所要求的概率为51：.-： -十. - ,其中：:-A./：（见图）=二 丁 _Ui = , i.： -.I/ ） ii :：- ii -j II ;：于是：.厂对问题(2),所要求的概率为L =证 ： 由 于 心_上_ _心二,.枚1/別 PB) 1-P 1- 0 93孔4】)2讪)2&心0所以上面等式右边的诸条件概率均存在 ，且由乘法公式可得丹也箱卜A4A 心疋

20、&仏=心&胡&沧也用分如）例6: 10个考签中有4个难签，三个人参加抽签（无放回）甲先，乙次，丙最后 试问 甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少 ？ （2）甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少解：令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件乙 抽 得 难 签 的 概 率 为戸=pab u ab p（ab + pab） =户归仅；卜 （号）=2x2 + fg 上淼碗 u ABC u ABClj ABC= P（ABC）+ P（ABC）+ P（ABC）+ P（ABCTo 9 10 94 3 1x_x_ =9 8 106 3 1X-X-=9 8 102.全概率公式完备事件组:如果一组事件 订匕总旳在每次试验中

21、必发生且仅发生一个则称此事件组为该试验的一个完备事件组j-inJ - - *且对于任意1=1于是A二AQ二A（Ui） = 且对于任意2 j/比帖也=曹,于是由概i-i i-i例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下解：令H= 日本胜美国，匚=美国胜日本, A= 中国得冠军由全概率公式便得所求的概率为例8,盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率解：令 H =第一次比赛时取出的 3个球中有i个新球i=0，1，2，3，A = 第二次比赛取出的3个球均为新球由全概率公式便可得所求的概率=0.1463贝

22、叶斯公式定理3 : 设H | ,H ,.H为一完备事件组，且丄:又设A为任意事件，且P(A) 0，则有证：由乘法公式和全概率公式即可得到 P昭轧 吃)左丽例9 :某种诊断癌症的实验有如下效果 ：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为 0.95 ,不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为 0先佥概率假定就诊者中有 0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性 ，问他是一个癌症患者的概率是多少 ？解： 令H=做实验的人为癌症患者 ，/ =做实验的人不为癌症患者 ，A=实验结果反应为阳性，实验结果反应为阴性，由贝叶斯公式可求得所要求的概率 ：例10:两信息分别编码为 X和Y传送出去，接收站接收时，

23、X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为 2:1,若接收站收到的信息为X,问原发信息也是 X的概率为多少？解:设H=原发信息为 冯mm又设A珂收到信息为X) 4攸刖信息为2 P(H=-由题意可知P(A H) = - =1-0 02 = 0.930 984+0014例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的 ，已知其中 .的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占.，已知甲，乙两厂的次品率为 2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任取一产品（1）求所取得产品是甲厂生产的次品的概率 ；（2） 求所取得产品是次品的概率；（3）已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少 ？解：令 分别表示所取得的产品是属于甲 、乙、丙厂的事件，A=所取得的产品为次品对问题 （1 ）， 由乘法公式可得所要求的概率巩4）=丹禺）#%卜%冥2%对问题 （3 ）， 由贝叶斯公式可得所要求的概率四独立性事件的独立性B独立。事件A独立。不难证明，当丄.II II时，上述两个式子是等价的。事实上，如果 卜M ，则有PAB = P卜PA)F即 , .1.:同样可证，十|二也-.-I 1总之，可见事件独立性是相互的。H%)=尸 丹曲)=列曲巩?) O P%讥)定义1设A，B为两个事件，如果J-l.-./ I - L I，则称事件A与事件B相互独立。例1,袋中有