概率论基础讲义全.docx
《概率论基础讲义全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论基础讲义全.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
概率论基础讲义全
概率论基础知识
第一章随机事件及其概率
随机事件
§几个概念
1、随机实验:
满足下列三个条件的试验称为随机试验|;
（1）试验可在相同条件下重复进
行；
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果
出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：
曰：
掷一骰子，观察出现的总数；E2：
上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
E3:
观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数
2、随机事件：
在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:
常记为A，B,C
例如，在Ei中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件
3、必然事件与不可能事件：
每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在Ei中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是
不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件
4、基本事件：
试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在Ei中掷出偶数点”便是复合事件
5、样本空间：
从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.
例如，在Ei中，用数字1,2,……,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1},{2},…{6}便是Ei中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H,H）,（H,T）,（T,H）,（T,T）,其基本事件便是{（H,H）},{（H,T）},{（T,H）},{（T,T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在Ei中掷出偶数点”的事件便可表为{2,4,6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo
例如，
在Ei中，Q={1,2,3,4,5,6}
在E2中，Q={（H,H）,（H,T）,（T,H）,（T,T）}
在Es中，Q={0,1,2,……}
例1,一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种
此试验样本空间所有样本点的个数为NQ=P210=90.（排列：
和顺序有关，如北京至天
津、天津至北京）
若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为
10）
=45
2
（组合）
例2.随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
此试验的
样本空间所有样本点的个数为
Na=『平°『］或者吒=—
555515151
I八八丿第一种方法用组合+乘法原理；第
二种方法用排列
§事件间的关系与运算
1、包含：
若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A_B或B
_A。
例如，在曰中，令A表示掷出2点”的事件，即A={2}
B表示掷出偶数”的事件，即B={2,4,6}则二-1
2、相等：
若A_B且B_A,则称事件A等于事件B,记为A=B
例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示取得到少有3张红桃”的事件；B表示取得至多有一张不是红桃”的事件。
显然A=B
3、和：
称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A」
件，B表示乙击中目标”的事件，则AUB表示目标被击中”的事件。
推广：
IJ4-4U4U……UA■尚,……儿至少有一个发蠻
有限个.-一
无穷可列个
（Ja=AU虫2U：
A至少有一个发生｝
X-1
4、积：
称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A_|B
或AB。
例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A=｛接到偶数次呼
唤｝，B=｛接到奇数次呼唤｝，则A_|B=｛接到6的倍数次呼唤｝
||……丄Lq.--：
丄任意有限个
j_l
04=4A……wUbA同时发生｝
无穷可列个
5、差：
称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的3参数值，令A=｛测得@直不超过50｝,B=
｛测得3值不超过100｝,贝U,A-B=0,B-A=｛测得3值为50<3
<100｝
6、互不相容：
若事件A与事件B不能同时发生，即AB=0,则称A与B是互不相容的
例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯
B=｛绿灯亮｝,则A与B便是互不相容的。
A
7、对立：
称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为」显然上.』门，AA=0
例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令
A=｛取得的3个产品中至少有一个次品｝,则一=｛取得的3个产品
均为正品｝。
§3事件的运算规律
1、交换律AUB=BUA;AAB=BnA
2、结合律（AUB）UC=AU（BUC）;（AAB）nC=An（BAC）
3、分配律AA（BUC）=（AnB）U（AnC）,AU（BnC）=（AUB）n（AUC）
4、对偶律
此外，还有一些常用性质，如
AUB_A,AUB_B（越求和越大）；AnB_A,AnB_B（越求积越小）。
若A_B,则AUB=B,AnB=AA-B=A-AB=A等等。
例3,从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai=｛第i次取得合格品｝,i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A=｛三次都取得合格品｝B=｛三次中至少有一次取得合格品｝C=
｛三次中恰有两次取得合格品｝D=｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：
A=A1A2A3门一上.［二一、…-:
二&H丄上…一.
表示方法常常不唯一，如事件B又可表为
B=A石AUUU44忑U如仏
例4,一名射手连续向某一目标射击三次，令Ai=｛第i次射击击中目标｝,i=1,2,3，试用文字
叙述下列事件：
f「I.「」■:
.■-!
.1■-…匚
&珂第一次射击耒击申目标J
.-|.-I.-〔Jt"-中一「'IAlA2A3=｛三次射击都击中目标｝
A3-A2=｛第三次击中目标但第二次未击中目标｝
4U4=｛前两次均未击中目标怡主;石□兀=44）
4UA=｛前两次射击至少有-次耒击中目标｝
例5,下图所示的电路中，以A表示信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点i,n,m,闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
二事件的概率
§概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。
规定P（A）X）,P（Q）=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型：
满足下列两条件的试验模型称为古典概型
（1）所有基本事件是有限个；
（2）各基本事件发生的可能性相同
例如：
掷一匀称的骰子，令A=｛掷出2点｝=｛2｝,B=｛掷出偶数总｝=｛2,4,6｝。
此试验样本空间为
1
Q={1,2,3,4,5,6},于是，应有仁P（Q）=6P（A），即P（A）=一。
6
定义1:
在古典概型中，设其样本空间Q所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为Nq
而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为Na,则事件A的概率便定义
为：
卄叽丄包含基本事件数
⑷瓦基本事件总数
例1,将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率
解：
用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间
Q={（H,H,H）（H,H,T）（H,T,H）（T,H,H）（H,T,T）（T,H,T）（T,T,H）（T,
T,T）}。
可见N沪8令A={恰有一次出现正面},则A={（H,T,T）（T,H,T）（T,T,H）}
可见，令Na=3
例2,（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：
从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；
（2）无放回地取球：
从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；
（3）一次取球：
从袋中任取3个球。
在以上三种取法中均求A=｛恰好取得2个白球｝的概率。
解：
（1）有放回取球Nq=8X8X8=83=512（袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的
概率相等）
%=8x?
x6=4=336
（2）无放回取球„
叫=
2
1
5x4x3=
2
\J
-180
属于取球问题的一个实例
设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的
概率便为
例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n<
N）。
解：
令A=｛恰有n个盒子各有一球｝,先考虑基本事件的总数
叽=
.——
先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球
N蠱=
n
17
全排列
属于分球问题的一个实例
全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？
令A=｛40个同学生日皆不相同｝,则有
（365｝
=365*°,^=401故
I丿（可以认为有365个盒子，40个球）
Eb
P（A）=一*0.109
36540
例4（取数问题）
从0,1,••…;9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字,并按其出现的先后排成
一列，求下列事件的概率：
（1）四个数排成一个偶数；
（2）四个数排成一个四位数
（3）四个数排成一个四位偶数；
解：
令A=｛四个数排成一个偶数｝，B=｛四个数排成一个四位数｝，C=｛四个数排成一个四位
偶数｝
=5x9xgx7;
叽=4=10x9x8x7；
丄,10x9x8x7-9x8x7
^=4*-^=10x9x8x7-9x8x7,5—=0.9
=5x9xgx?
-4x8x7
例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃
及有人手里有4张A牌的概率各为多少？
解：
令A=｛有人手里有13张黑桃｝，B=｛有人手里有4张A牌｝
4lf43¥39l（26K13）
Jb加加加J
不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：
1°P（A）>0
2°P（Q）=1
3°若Al,A2,……,An两两互不相容，则
j4i4
2、概率的统计定义
频率：
在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称：
—为事件A的频率。
n
频率具有一定的稳定性。
示例见下例表
试验者
抛硬币次数n
正面（A）出现次数nA
正面（A）出现的
频率M）=—
22
德摩尔根
2048
1061
0.5180
浦丰
4040
2148
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
维尼
30000
14994
0.4998
定义2:
在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频
率fn（A）越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p
不难证明频率有以下基本性质：
—•2°丄
3若Ai,A,,两两互不相容，则
鼻13
3、概率的公理化定义（数学定义）
定义3:
设某试验的样本空间为
Q,对其中每个事件A定义一个实数P（A）,如果它满足
F列三条公理
1°P（A）X）（非负性）2°P（Q）=1（规范性）
22
3°若Ai,A2,……,An••…两两互不相容，则（可列可加性，简称
可加性）
则称P（A）为A的概率
4、几何定义
定义4:
假设Q是Rn（n=1,2,3）中任何一个可度量的区域，从Q中随机地选择一点，即Q中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Q,假设事件A是Q中任何一个可度量的子集，则
P（A）==u（A）/u（Q）
§概率的性质
差的概率等于概率之差
性质1:
若A_B,则P（B-A）=P（B）-P（A）
证：
因为：
A_B
所以：
B=AU（B-A）且AA（B-A）=札由概率可加性得P（B）=P[AU（B-A）]=P（A）+P（B-A）即P（B-A）=P（B）-P（A）性质2:
若A_B,则P（A）证：
由性质1及概率的非负性得0性质3:
P（A）<1证明：
由于A_Q,由性质2及概率的规范性可得P（A）<1
性质4:
对任意事件A,P（.-|）=1-P（A）
证明：
在性质1中令B=Q便有P（）=P（Q-A）=P（Q）-P（A）=1-P（A）
性质5:
P（0）=0证：
在性质4中，令A=Q,便有P（^）=P
（二）=1-P（Q）
=1-1=0
性质6（加法公式）对任意事件A,B，有P（AUB）
证：
由于AUB=AU（B-AB）且AA（B-AB）=$（见图）
由概率的可加性及性质1便得
P（AUB）=P[AU（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）
=P
（A）+P（B）-P（AB）
推广：
P（AUBUC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P
（ABC）
例6设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。
解：
令C=｛取出产品中至少有一个是次品｝,则］=｛取出产品中皆为正品｝,于是由性质4得
例7,甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35,而同时下雨的概率为0.15,
问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。
解：
令A=｛甲城下雨｝,B=｛乙城下雨｝,按题意所要求的是
P（AUB）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6
例8.设A,B,C为三个事件,已知P（A）=P（B）=P（C）=0.25,P（AB）=0,P（AC）=0,P（BC）=0.125,求
A,B,C至少有一个发生的概率
解；由于ABCcAB故
0于是所求的概率为
p（Ai]Bm=p（a）+p⑻+p©-pm--p㈣+p（abc）
44488
三条件概率
§条件概率的概念及计算
在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（AB）。
条件概率P（A/B）与无条件概率P（A）通常是不相等的。
例1:
某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人,
即该工厂职工人员结构如下：
人数
男
女
总和
非熟练工人
40
10
50
其他职工
210
240
450
总和
250
250
500
现从该厂中任选一职工，令A=｛选出的职工为非熟练工人｝,B=｛选出的职工为女职工｝
定义1
设A、B为两事件，如果P（B）＞0，则称丄二.-1为在事件B发生的条件
下，事件A的条件概率|。
同样，如果P（A）＞0,则称尸场卜聲#为在事件A发生条
件下，事件B的条件概率
条件概率的计算通常有两种办法
（1）由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型），
（2）由条件概率的.定义计算。
例2：
一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶管每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？
解：
令A=｛第一次取的是好的晶体管｝，B=｛第二次取的是好的晶体管｝
按条件概率的定义需先计算m；于是
10510x93
S丿旳乡9
例3:
某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87.有一块集成电路已工作了2000小时，向它还能再工作1000小时的概率为多大？
解：
令A=｛集成电路能正常工作到2000小时｝，B=｛集成电路能正常工作到3000小时｝
已知:
:
P（A）=0.94,P（B）=0.87且匚厂彳，既有AB=B于是P（AB）=P（B）=0.87
按题意所要求的概率为：
丨-亠■—…-…匸
尸⑻0.94
§关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式
定理1：
』工小:
H'
如杲p（A）>o,则有P⑷）=
例4:
已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品，今从这批产品中任取一件
求取得的为一级的概率•
解:
令A=｛任取一件产品为一级品｝,B=｛任取一件产品为合格品｝，显然J-：
：
1，即有AB=A故P（AB）=P（A）。
于是，所要求的概率便为
P^A）=P（AB）=P卜96%x75%二72%
例5:
为了防止意外，在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时，系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下，系统b有效的概率为0.85，试求：
⑴当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；
（2）在系统b失灵情况下，系统a有效的概率.
解：
令A=｛系统a有效｝B=｛系统b有效｝
已知］.一，/:
Il:
:
对问题
（1）,所要求的概率为
51：
.-：
-十.■-,其中：
:
"-A./：
（见图）
=二丁_Ui=,i.'：
-.I/'）''ii:
：
-ii-jII■■;：
：
于是'：
■：
■■■.…厂
对问题
（2）,所要求的概率为'L'=
证：
由于心_上］__心二,.枚
1/別P［B）1-P⑻1-093
孔4】）2讪）2…⑷&…心0
所以上面等式右边的诸条件概率均存在，且由乘法公式可得
丹也…箱卜A4A■■■心疋％&…■仏
=心&…胡&沧…也用％分如）
例6:
10个考签中有4个难签，三个人参加抽签（无放回）甲先，乙次，丙最后试问⑴甲、乙、
丙均抽得难签的概率为多少？
（2）甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少
解：
令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件
乙抽得难签的概率为
戸⑻=p[abuab}~p（ab}+p[ab）=户⑺归仅；卜（号）
=2x2+fg上淼碗uABCuABCljABC]=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC]
To9109
431
x_x_=——
9810
631
X-X-=—
9810
2.全概率公式
完备事件组:
如果一组事件订匕总旳在每次试验中必发生且仅发生一个
则称此事件组为该试验的一个完备事件组
j-i
n
[J--*且对于任意
1=1
于是A二AQ二A（U"i）=且对于任意2j/比帖也=曹,于是由概
i-ii-i
例7,某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下
解：
令H={日本胜美国}，匚={美国胜日本},A={中国得冠军}
由全概率公式便得所求的概率为
例8,盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用
后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率
解：
令H•=｛第一次比赛时取出的3个球中有i个新球｝i=0，1，2，3，A=｛第二次比赛
取出的3个球均为新球｝
由全概率公式便可得所求的概率
=0.146
3贝叶斯公式
定理3:
设H|,H],
.H为一完备事件组，
且丄:
又设A为任意事件，且P（A）>0，则有
证：
由乘法公式和全概率公式即可得到P
昭轧
吃）左丽％
例9:
某种诊断癌症的实验有如下效果：
患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95,
不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为「0•先佥概率假定就诊者中有0.005的人患有癌
症。
已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？
解：
令H=｛做实验的人为癌症患者｝，/■'=｛做实验的人不为癌症患者｝，A=｛实验结果反
应为阳性｝，｛实验结果反应为阴性｝，由贝叶斯公式可求得所要求的概率：
例10:
两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,
而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:
1,若接收站收到的信息
为X,问原发信息也是X的概率为多少？
解:
设H=｛原发信息为冯〒mm
又设A珂收到信息为X）4攸刖信息为『｝
2—]
P（H｝=-
由题意可知
P（AH）=\-=1-002=0.93
0984+0014
例11：
设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中..的产品是由甲厂生产的，乙、丙
两厂的产品各占
.，已知甲，乙两厂的次品率为2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任
取一产品
（1）
求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；
（2）求所取得产品是次
品的概率；（3）
已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？
解：
令分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A=｛所取得的产品
为次品｝
对问题
（1），由乘法公式可得所要求的概率
巩％4）=丹禺）#%卜%冥2%"%
对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率
四独立性
§事件的独立性
B独立。
事件A独立。
不难证明，当「丄.IIII时，上述两个式子是等价的。
事实上，如果卜M，则有P[AB}=P⑻卜P〔A）F⑻
即,...1.:
同样可证，「「十|二「也-..-I—1
总之，可见事件独
立性是相互的。
H%）=尸⑷<=>丹曲）=列曲巩?
）OP%讥）
定义1设A，B为两个事件，如果J-l..-./I-LI，则称事件A与事件B相互独
立。
例1,袋中有
升级会员 