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1、三角函数与三角代换word文档三角函数与三角代换【真题体验】 1.(2019·江苏改编)已知cos3(π)=3(1)，则sin-x(π)=_. 解析sin-x(π)=cos3(π)=3(1). 2.(2019·江苏)设α为锐角，若cos6(π)=5(4)，则sin12(π)的值为_. 解析由条件可得cos3(π)=2ccs26(π)-1=25(7)，sin3(π)=25(24)， 所以sin12(π)=sin4(π)=2(2)25(7)=50(2). 3.(2019·江苏)函

2、数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)=_. 解析因为由图象可知振幅A=，4(T)=12(7π)-3(π)=4(π)，所以周期T=π=ω(2π)，解得ω=2，将2(7π)代入，解得一个符合的φ=3(π)，从而y=sin3(π)，∴f(0)=2(6). 4.(2019·南通、泰州、扬州调研)已知角φ的终边经过点P(1，-2)，函数f(x)=sin(&omeg

3、a;x+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π)，则f12(π)=_. 解析由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3(π)，得T=3(2π)=ω(2π)⇒ω=3，又角φ的终边经过点P(1，-2)，所以sin φ=5(-2)，cos φ=5(1)，所以f(x)=sin(3x+φ) f12(π)=sin+φ(π)=2(2)5(2)=-10(10). 5.(2019·江苏)定义在区间2(π)上的函数y=6cos x的图象与y=

4、5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_. 解析线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x=5tan x，整理得6sin2x+5sin x-6=0，解得sin x=3(2).线段P1P2的长为3(2). 【应对策略】 三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点，题

5、型可能是填空题，也可能是解答题.需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合. 必备知识 1.三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等; 2.同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2α+cos2α=1，商数关系：tan α=cos α(sin α).根据同角三角函数的基本关系，如果已知角α的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定. 3.诱导公式揭示的是k&middo

6、t;2(π)±α(k∈Z)与α的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”. 4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握; 5.熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)，降幂公式cos2α=2(1+cos 2α)，sin2α=2(1-cos 2α)等. 必备方法 1.解决三角函数实际应用问题的

7、一般步骤是：(1)认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型;(2)利用所学三角函数知识解决这一数学模型. 2.三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知识求解. 3.三角恒等变形的基本思路 (1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”. (2)角的变换是三角变换的核心，如β=(α+β)-α

8、，2α=(α+β)+(α-β)等. 命题角度一三角变换与求值 命题要点 给角求值;给值求值;给值求角. 【例1】? (2019·江苏)已知tan4(π)=2，则tan 2x(tan x)的值为_. 审题视点 由已知条件先确定tan x的值，再化简待求式，然后代入求得. 解析由tan4(π)=2，得1-tan x(tan x+1)=2，解得tan x=3(1)， 所以tan 2x(tan x)=1-tan2x(2tan x)=2(1-tan2x)=9()=9(4). 给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转

9、化为特殊角;给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系;给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调. 【突破训练1】 (2019·江西改编)若tan θ+tan θ(1)=4，则sin 2θ=_. 解析已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的. tan θ+tan θ(1)=tan θ(1+ta

10、n2θ)=4，∴4tan θ=1+tan2θ， ∴sin 2θ=2sin θcos θ=sin2θ+cos2θ(2sin θcos θ)=1+tan2θ(2tan θ)=4tan θ(2tan θ)=2(1). 命题角度二三角函数的图象与性质 命题要点 已知函数图象求函数解析式;三角函数性质的简单应用. 【例2】? 函数y=Asin(ωx+φ)2(π)的一段图象(如图所示)，

11、求其解析式. 审题视点 先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将(0，)代入求A的值. 解设函数的周期为T，则4(3)T=8(7π)-8(π)=4(3)π，∴T=π，∴ω=T(2π)=2. 又2×8(π)+φ=2kπ+2(π)(k∈Z)，∴φ=2kπ+4(π)(k∈Z)，又|φ|<2(π)，∴φ=4(π). ∴函数解析式为y=Asi

12、n4(π).又图象过点(0，)，∴Asin4(π)=， ∴2(2)A=，∴A=2.∴所求函数的解析式为y=2sin4(π). (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω由图象上的关键点确定φ. (2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为4(1)个周期. 【突破训练

13、2】 已知函数y=Asin(ωx+φ)，ω>0(π)的图象的一部分如图所示. (1)求f(x)的表达式; (2)试写出f(x)的对称轴方程. 解(1)观察图象可知：A=2且点(0,1)在图象上， 所以1=2sin(ω·0+φ)，即sin φ=2(1)，因为|φ|<2(π)，所以φ=6(π). 又因为12(11)π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以12(11π)ω+6(π)=2π，所以ω=2.故f(x)=2si

14、n6(π). (2)设2x+6(π)=B，则函数y=2sin B的对称轴方程为B=2(π)+kπ，k∈Z， 即2x+6(π)=2(π)+kπ(k∈Z)， 解上式得x=2(kπ)+6(π)(k∈Z)， 所以f(x)=2sin6(π)的对称轴方程为x=2(kπ)+6(π)(k∈Z). 命题角度三三角函数的图象和性质的综合应用 命题要点 三角函数的值域;三角函数的最小正周期;三角函数的单调区间;三角函数的对称性. 【例3】? (2019·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=si

15、n xcos x-cos2x+2(1)(x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间4(π)上的函数值的取值范围. 审题视点 将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域. 解(1)因为f(x)=2(3)sin 2x-2(1)cos 2x=sin6(π)，故f(x)的最小正周期为π. (2)当x∈4(π)时，2x-6(π)∈3(π)，故所求的值域为3(). 求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期.三角函数的值域有几种常见类型：一是

16、可以化为标准型的，利用三角函数图象求解;二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围. 【突破训练3】 (2019·苏州期中)已知函数f(x)=cos3(π)+2sin4(π)sin4(π). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在区间2(π)上的值域. 解(1)f(x)=cos3(π)+2sin4(π)·sin4(π) =2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) =2(1)cos 2x+2(3)sin 2x+sin2x-cos2

17、x =2(1)cos 2x+2(3)sin 2x-cos 2x=sin6(π). ∴T=2(2π)=π. (2)x∈2(π)，∴2x-6(π)∈6(5π) ∴sin6(π)max=1，sin6(π)min=-2(1) 即f(x)=sin6(π)的值域为，1(1). 4.解决三角函数需注意的两个问题 一、要充分挖掘题中隐含条件 【例1】? 在ABC中，如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3，则∠C的大小是_. 解析两式平方相加并化简得sin(A+

18、B)=2(1)，所以sin C=2(1)，得∠C=6(π)或6(5π)，检验：当∠C=6(5π)时，A+B=6(π)，则A，B∈6(π)，sin A∈2(1)，cos B∈，1(3)，4sin A+2cos B∈(，4)与4sin A+2cos B=1矛盾，所以∠C=6(5π)舍去，即∠C=6(π). 老师叮咛：在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化简得sin(A+B)=2(1)，所以sin C=2(1)，得∠C=6

19、(π)或6(5π)，产生了增根6(5π). 二、给值求角时要注意缩小所求角的范围 【例2】? 若tan(α-β)=2(1)，tan β=-7(1)，且α，β∈(0，π)，则2α-β的值为_. 解析由上面解得tan α=3(1)，α∈(0，π)，所以α的范围可以缩小为4(π)，同理，由tan β=-7(1)以及β∈(0，π)，β的范围可以缩小为，π(π)，所以2&alpha

20、;-β∈(-π，0)，又tan(2α-β)=1，所以2α-β的值为-4(3π). 老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α-β∈4(2π)，得2α-β的值为-4(3π)或 4(π)或4(5π)，这种错误主要是没有对2α-β的范围进行缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要. 5.练习 1.给出下列说法： 正切函数在定义域内是增函数; 函数f(x)=2tan4(π)的单调递增区

21、间是4(π)(k∈Z); 函数y=2tan3(π)的定义域是+kπ，k∈Z(π); 函数y=tan x+1在3(π)上的最大值为+1，最小值为0. 其中正确说法的序号是_. 2.(2019·苏北四市调研)已知函数f(x)=sin+x(π)·sin-x(π)+sin xcos x(x∈R). (1)求f6(π)的值; (2)在ABC中，若f2(A)=1，求sin B+sin C的最大值. 3.已知函数f(x)=a+sin x(x)+b，当x∈0，π时，f(x)的值域是3,4，

22、求a，b的值. 4.(2019·广东)已知函数f(x)=2cos6(π)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值; (2)设α，β∈2(π)，fπ(5)=-5(6)，fπ(5)=17(16)，求cos(α+β)的值. 6.练习答案 1. 2. (1) f6(π)=1. (2) sin B+sin C的最大值为. 3. -1(b=3)或.(b=4，) 4.(1)ω=5(1).与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要

23、追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长

24、值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 (2)∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5(4)×17(8)-5(3)×17(15)=-85(13).