三角函数与三角代换word文档.docx
《三角函数与三角代换word文档.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数与三角代换word文档.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
三角函数与三角代换word文档
三角函数与三角代换
【真题体验】
1.（2019·江苏改编）已知cos3（π）=3
（1），则sin-x（π）=________.
解析 sin-x（π）=cos3（π）=3
（1）.
2.（2019·江苏）设α为锐角，若cos6（π）=5（4），则sin12（π）的值为________.
解析 由条件可得cos3（π）=2ccs26（π）-1=25（7），sin3（π）=25（24），
所以sin12（π）=sin4（π）=2
（2）25（7）=50
（2）.
3.（2019·江苏）函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A>0，ω>0）的部分图象如图所示，则f（0）=________.
解析 因为由图象可知振幅A=，4（T）=12（7π）-3（π）=4（π），所以周期T=π=ω（2π），解得ω=2，将2（7π）代入，解得一个符合的φ=3（π），从而y=sin3（π），∴f（0）=2（6）.
4.（2019·南通、泰州、扬州调研）已知角φ的终边经过点P（1，-2），函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3（π），则f12（π）=________.
解析 由图象的相邻两条对称轴之间的距离等于3（π），得T=3（2π）=ω（2π）⇒ω=3，又角φ的终边经过点P（1，-2），所以sinφ=5（-2），cosφ=5
（1），所以f（x）=sin（3x+φ）
f12（π）=sin+φ（π）=2
（2）5
（2）=-10（10）.
5.（2019·江苏）定义在区间2（π）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________.
解析 线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，整理得6sin2x+5sinx-6=0，解得sinx=3
（2）.线段P1P2的长为3
（2）.
【应对策略】
三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联系，三角函数的概念、基本性质及图象都是从函数的角度出发的重要基础知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题.需要熟练掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合.
必备知识
1.三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边相同的角、三角函数的定义、定义域、符号法则、弧度制等;
2.同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：
sin2α+cos2α=1，商数关系：
tanα=cosα（sinα）.根据同角三角函数的基本关系，如果已知角α的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定.
3.诱导公式揭示的是k·2（π）±α（k∈Z）与α的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”.
4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要熟练掌握;
5.熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式
asinα+bcosα=sin（α+φ），降幂公式cos2α=2（1+cos2α），sin2α=2（1-cos2α）等.
必备方法
1.解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：
（1）认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型;
（2）利用所学三角函数知识解决这一数学模型.
2.三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等代数知识求解.
3.三角恒等变形的基本思路
（1）“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.
“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”.
（2）角的变换是三角变换的核心，如β=（α+β）-α，2α=（α+β）+（α-β）等.
命题角度一 三角变换与求值
[命题要点]①给角求值;②给值求值;③给值求角.
【例1】?
（2019·江苏）已知tan4（π）=2，则tan2x（tanx）的值为________.
[审题视点]由已知条件先确定tanx的值，再化简待求式，然后代入求得.
解析 由tan4（π）=2，得1-tanx（tanx+1）=2，解得tanx=3
（1），
所以tan2x（tanx）=1-tan2x（2tanx）=2（1-tan2x）=9（）=9（4）.
给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角;给值求值问题，要观察已知与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系;给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调.
【突破训练1】（2019·江西改编）若tanθ+tanθ
（1）=4，则sin2θ=________.
解析 已知某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以达到简解的目的.
∵tanθ+tanθ
（1）=tanθ（1+tan2θ）=4，∴4tanθ=1+tan2θ，
∴sin2θ=2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ（2sinθcosθ）=1+tan2θ（2tanθ）=4tanθ（2tanθ）=2
（1）.
命题角度二 三角函数的图象与性质
[命题要点]已知函数图象求函数解析式;三角函数性质的简单应用.
【例2】?
函数y=Asin（ωx+φ）2（π）的一段图象（如图所示），求其解析式.
[审题视点]先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将（0，）代入求A的值.
解 设函数的周期为T，则4（3）T=8（7π）-8（π）=4（3）π，∴T=π，∴ω=T（2π）=2.
又∵2×8（π）+φ=2kπ+2（π）（k∈Z），∴φ=2kπ+4（π）（k∈Z），又∵|φ|<2（π），∴φ=4（π）.
∴函数解析式为y=Asin4（π）.又图象过点（0，），∴Asin4（π）=，
∴2
（2）A=，∴A=2.∴所求函数的解析式为y=2sin4（π）.
（1）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;由图象上的关键点确定φ.
（2）求函数的周期时，注意以下规律：
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点（或最低点）的横坐标与相邻零点差的绝对值为4
（1）个周期.
【突破训练2】已知函数y=Asin（ωx+φ），ω>0（π）的图象的一部分如图所示.
（1）求f（x）的表达式;
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解
（1）观察图象可知：
A=2且点（0,1）在图象上，
所以1=2sin（ω·0+φ），即sinφ=2
（1），因为|φ|<2（π），所以φ=6（π）.
又因为12（11）π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以12（11π）ω+6（π）=2π，所以ω=2.故f（x）=2sin6（π）.
（2）设2x+6（π）=B，则函数y=2sinB的对称轴方程为B=2（π）+kπ，k∈Z，
即2x+6（π）=2（π）+kπ（k∈Z），解上式得x=2（kπ）+6（π）（k∈Z），
所以f（x）=2sin6（π）的对称轴方程为x=2（kπ）+6（π）（k∈Z）.
命题角度三 三角函数的图象和性质的综合应用
[命题要点]①三角函数的值域;②三角函数的最小正周期;③三角函数的单调区间;④三角函数的对称性.
【例3】?
（2019·南京、盐城模拟）已知函数f（x）=sinxcosx-cos2x+2
（1）（x∈R）.
（1）求函数f（x）的最小正周期;
（2）求函数f（x）在区间4（π）上的函数值的取值范围.
[审题视点]将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域.
解
（1）因为f（x）=2（3）sin2x-2
（1）cos2x=sin6（π），故f（x）的最小正周期为π.
（2）当x∈4（π）时，2x-6（π）∈3（π），故所求的值域为3（）.
求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期.三角函数的值域有几种常见类型：
一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解;二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围.
【突破训练3】（2019·苏州期中）已知函数f（x）=cos3（π）+2sin4（π）sin4（π）.
（1）求函数f（x）的最小正周期;
（2）求函数f（x）在区间2（π）上的值域.
解
（1）∵f（x）=cos3（π）+2sin4（π）·sin4（π）
=2
（1）cos2x+2（3）sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=2
（1）cos2x+2（3）sin2x+sin2x-cos2x
=2
（1）cos2x+2（3）sin2x-cos2x=sin6（π）.∴T=2（2π）=π.
（2）∵x∈2（π），∴2x-6（π）∈6（5π）
∴sin6（π）max=1，sin6（π）min=-2
（1）
即f（x）=sin6（π）的值域为，1
（1）.
4.解决三角函数需注意的两个问题
一、要充分挖掘题中隐含条件
【例1】?
在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3，则∠C的大小是________.
解析 两式平方相加并化简得sin（A+B）=2
（1），所以sinC=2
（1），得∠C=6（π）或6（5π），检验：
当∠C=6（5π）时，A+B=6（π），则A，B∈6（π），sinA∈2
（1），cosB∈，1（3），4sinA+2cosB∈（，4）与4sinA+2cosB=1矛盾，所以∠C=6（5π）舍去，即∠C=6（π）.
老师叮咛：
在三角恒等式中，如果不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如本题两式平方相加并化简得sin（A+B）=2
（1），所以sinC=2
（1），得∠C=6（π）或6（5π），产生了增根6（5π）.
二、给值求角时要注意缩小所求角的范围
【例2】?
若tan（α-β）=2
（1），tanβ=-7
（1），且α，β∈（0，π），则2α-β的值为________.
解析 由上面解得tanα=3
（1），α∈（0，π），所以α的范围可以缩小为4（π），同理，由tanβ=-7
（1）以及β∈（0，π），β的范围可以缩小为，π（π），所以2α-β∈（-π，0），又tan（2α-β）=1，所以2α-β的值为-4（3π）.
老师叮咛：
题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α-β∈4（2π），得2α-β的值为-4（3π）或4（π）或4（5π），这种错误主要是没有对2α-β的范围进行缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要.
5.练习
1.给出下列说法：
①正切函数在定义域内是增函数;
②函数f（x）=2tan4（π）的单调递增区间是4（π）（k∈Z）;
③函数y=2tan3（π）的定义域是+kπ，k∈Z（π）;
④函数y=tanx+1在3（π）上的最大值为+1，最小值为0.
其中正确说法的序号是________.
2.（2019·苏北四市调研）已知函数f（x）=sin+x（π）·sin-x（π）+sinxcosx（x∈R）.
（1）求f6（π）的值;
（2）在△ABC中，若f2（A）=1，求sinB+sinC的最大值.
3.已知函数f（x）=a+sinx（x）+b，当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3,4]，求a，b的值.
4.（2019·广东）已知函数f（x）=2cos6（π）（其中ω>0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值;
（2）设α，β∈2（π），fπ（5）=-5（6），fπ（5）=17（16），求cos（α+β）的值.
6.练习答案
1.②④
2.
（1）f6（π）=1.
（2）sinB+sinC的最大值为.
3..-1（b=3）或.（b=4，）
4.
（1）ω=5
（1）.
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：
“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
（2）∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=5（4）×17（8）-5（3）×17（15）=-85（13）.
升级会员 