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1、高中数学必修1必修5知识点总结高中数学必修1-必修5知识点总结 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念1.1集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 NNN ZRQ表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 a Ma MaM对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. xxx描述法：|具有的性质，其中为集合的代表元素. 图示法：用数轴或韦恩

2、图来表示集合. （5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合 叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 A B(1)AA A（或A中的任一元素都属(2) A(B)子集 BAA BB CA C于B (3)若且，则 B A) 或 A BB AA B(4)若且，则 AAB （1）（A为非空子集） A B ，且B中至真子集 BA少有一元素不属于A A BB CA C（或BA） (2)若且，则 A中的任一元素都属 集合 (1)AB A(B)于B，B中的任一元素A B 相等 (2)

3、BA 都属于A nnn22 12 1An(n 1)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，n2 2它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1 （8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 A A A（1） x|x A,且A A B（2） 交集 ABA B A（3） x B A B B A A A（1） x|x A,或A AA B（2） 并集 BAA B A（3） x B A B B 1 2 A (A) UA (A) UU x|x U,且x A痧(A B) (A) ( B)A补集 UUUU痧(A B) (A) ( B) UUU 【补充知识】含绝对值的

4、不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |x| a(a 0)x| a x a |x| a(a 0)x|x ax a 或 ax b|x| a把看成一个整体，化成，|ax b| c,|ax b| c(c 0) |x| a(a 0)型不等式来求解 （2）一元二次不等式的解法 判别式 0 0 0 2 b 4ac 二次函数2y ax bx c(a 0)O的图象 一元二次方程2 b b 4acx b1,22a2x x 无实根 ax bx c 0(a 0) 122ax x)的根 （其中 122bax bx c 0(a 0)x xx|x xx x|或 R 212a的解集 2x

5、|x x x ax bx c 0(a 0) 12 2 的解集 1.2函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 xABABf设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合ABABf(x)f中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）ABf:A B叫做集合到的一个函数，记作 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2）区间的概念及表示法 a ba x bxa,ba,b设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足a x ba x ba x bxx(a,b)的实数的

6、集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的xa,b)(a,bx a,x a,x b,x b集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集a, ),(a, ),( ,b,( ,b)合分别记做 ba(a,b)x|a x b注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须 a b （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f(x)是整式时，定义域是全体实数 f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 x k (k Z)y tanx中， 2零（负

7、）指数幂的底数不能为零 f(x)若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 f(x)a,bfg(x)对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数a g(x) b的定义域应由不等式解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 3 （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同

8、的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 xy f(x)y判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程2a(y)x b(y)x c(y) 0a(y) 0x,y，则在时，由于为实数，故必须有2 b(y) 4a(y) c(y) 0，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题 反函数法：利用

9、函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6）映射的概念 ABABf设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有ABABAf唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到Bf:A B的映射，记作 baA

10、Ba A,b B给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元素bbaa叫做元素的象，元素叫做元素的原象 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 4 如果对于属于定义域I内某（1）利用定义 y个区间上的任意两个自变量（2）利用已知函数的y=f(X)f(x )的值x、x,当x x时，都单调性 12122有f(x)f(x)，那么就说（3）利用函数图象（在12f(x )f(x)在这个区间上是增函数 1某个区间图 ox 象上升为增） xx12 （4）利用复合函数 函数的 单调性 （1）利用定义 y

11、y=f(X)如果对于属于定义域I内某（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量单调性 f(x )1的值x、x，当xf(x)，那么就说2某个区间图 12of(x)在这个区间上是减函数 x象下降为减） xx 21（4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 y fg(x)u g(x)y f(u)u g(x)对于复合函数，令，若为增，为增，则y f(u)y f(u)y fg(x)u g(x)y fg(x)为增；若为减，为减，则为增；若为 u g(x)y fg(x)y f(u)u g(x)增，为减，则为

12、减；若为减，为增，则 yy fg(x)为减 af(x) x (a 0)（2）打“”函数的图象与性质 x ( , aa, )f(x)分别在、上为增函数，分别在 ox (0,a a,0)、上为减函数 （3）最大（小）值定义 IMy f(x) 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）x If(x) M对于任意的，都有； x If(x) MMf(x) （2）存在，使得那么，我们称是函数 的最大值，记作00f(x) M maxx ImIy f(x)一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有mx If(x) mf(x)f(x) m（2）存在，使得那么，我们称是函数的最小值

13、，记作；00f(x) m max 5 【1.3.2】奇偶性 （4）函数的奇偶性 定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先 任意一个x，都有f(x)=判断定义域是否关于f(x),那么函数f(x)叫做奇函原点对称） 数 （2）利用图象（图象关于原点对称） 函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先 任意一个x，都有f(x)=f(x),判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶函数 原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） x 0f(x)f(0) 0若函数为奇函数，且在处有定义，则 yy奇函数在轴两侧相对称的区间

14、增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象 （1）作图 利用描点法作图： 确定函数的定义域； 化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 h 0,左移h个单位y f(x) y f(x h)h 0,右移|h|个单位k 0,上移k个单位y f(x

15、) y f(x) k k 0,下移|k|个单位伸缩变换 0 1,伸 y f(x) y f(x) 1,缩0 A 1,缩y f(x) y Af(x) A 1,伸对称变换 y轴x轴y f(x) y f(x) y f( x)y f(x) 6 直线y x原点 1y f(x) y f( x)y f(x) y f(x) 去掉y轴左边图象y f(x) y f(|x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y f(x) y |f(x)| 将x轴下方图象翻折上去（2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象

16、与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章 基本初等函数()2.1指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 nxannn Nx a,a R,x R,n 1如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时， nnaaannann的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方 n anan根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根 nanana式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当a 0n为偶数

17、时， nnnnnna a(a) a根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， a (a 0) nna |a| a (a 0) （2）分数指数幂的概念 m nmna a(a 0,m,n N,n 1)正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数 幂等于0 mm11 mnna () ()(a 0,m,n N,n 1)n正数的负分数指数幂的意义是：且0 aa的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 （3）分数指数幂的运算性质 rsr srsrsa a a(a 0,r,s R)(a) a(a 0,r,s R) rrr(ab) ab(a 0,b 0,r R) 【2.1.2】指数函数及其性质

18、 7 （4）指数函数 函数名称 指数函数 x定义 y a(a 0a 1)函数且叫做指数函数 a 10 a 1 yxx yy ay a 图象 y 1y 1(0,1) (0,1) OOxx 定义域 R (0, )值域 x 0(0,1)y 1图象过定点，即当时， 过定点 非奇非偶 奇偶性 单调性 RR在上是增函数 在上是减函数 xxa 1(x 0)a 1(x 0)函数值的 xxa 1(x 0)a 1(x 0) 变化情况 xxa 1(x 0)a 1(x 0)aaa变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低 2.2对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义

19、xNxaax logNa N(a 0,且a 1) 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，aN叫做真数 负数和零没有对数 xx logN a N(a 0,a 1,N 0)对数式与指数式的互化： a（2）几个重要的对数恒等式 blog1 0loga 1loga b， aaa（3）常用对数与自然对数 lnNe 2.71828logNlogNlgN常用对数：，即；自然对数：，即（其中） 10e 8 a 0,a 1,M 0,N 0（4）对数的运算性质 如果，那么 MlogM logN log(MN)logM logN log加法： 减法： aaaaaaNlogNnnlogM logM(n R)a

20、N数乘： aaalogNnnblogM logM(b 0,n R)logN (b 0,且b 1) 换底公式： baaablogab 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数 函数 对数函数 名称 y logx(a 0定义 a 1)函数且叫做对数函数 aa 10 a 1 x 1x 1yyy logxy logx aa 图象 (1,0) OO(1,0)xx (0, ) 定义域 值域 R x 1过定点 (1,0)y 0图象过定点，即当时， 奇偶性 非奇非偶 (0, )(0, )单调性 在上是增函数 在上是减函数 logx 0(x 1)logx 0(x 1)aa函数值的 logx 0(x 1)l

21、ogx 0(x 1) aa变化情况 logx 0(0 x 1)logx 0(0 x 1)aaaaa变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高 (6)反函数的概念 Cx Ay f(x)y f(x)x (y)设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如 9 Cx Ax (y)y果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式 1x x f(y)x (y)x (y)y f(x)y子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作， 1y f(x)习惯上改写成 （7）反函数的求法 1x f(y)y f(x)确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函

22、数式中反解出； 1 1x f(y)y f(x)将改写成，并注明反函数的定义域 （8）反函数的性质 1y f(x)y f(x)y x 原函数与反函数的图象关于直线对称 1y f(x)y f(x)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域 1P(b,a)y f(x)P(a,b)y f(x)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上 y f(x)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数 2.3幂函数 （1）幂函数的定义 xy x 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数 （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在

23、第 10 y一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 (1,1)(0, )过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 0 00, )单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的x(0, )y图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴 q p,q奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互 pqq ppy xy xq Zppqpq质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则q py xpq是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数

24、 10 x 1y x,x (0, )y x图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若 x 1 1x 10 x 1y xy x，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，y x其图象在直线下方 补充知识二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 22f(x) ax bx c(a 0)f(x) a(x h) k(a 0)一般式：顶点式：两根式：f(x) a(x x)(x x)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法 12已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 xf(x)若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求

25、更方便 （3）二次函数图象的性质 b2x ,f(x) ax bx c(a 0)二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是 2a2b4ac b( ,) 2a4abbba 0( , , )x 当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时， 2a2a2a24ac bbba 0( , , )f(x) ；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上 min2a2a4a24ac bbx f(x) 递减，当时， max2a4a 11 22xf(x) ax bx c(a 0) b 4ac 0二次函数当时，图象与轴有两个交点 M(x,0),M(x,0),|MM| |x x| 11221212|a|2a

26、x bx c 0(a 0)（4）一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 2x,xx xax bx c 0(a 0) 设一元二次方程的两实根为，且令1212b2ax f(x) ax bx c从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： 对称轴位置：， 2a 判别式： 端点函数值符号 kxx 12yy bx a 0f(k) 02a kOOxxxkxxx2112 bf(k) 0x a 02

27、a xxk 12yy bf(k) 0x a 02a kxOO2xxxkxx211 bf(k) 0a 0x 2a xkx af(k)0 12yy a 0f(k) 0 kOxxxxkOxx2112 f(k) 0a 0 12 kxxk 1122 y a 0byx 2af(k) 0 f(k) 012 kxkx1221xxkkOOxx2121 f(k) 01bf(k) 02x 2aa 0 有且仅有一个根x（或x）满足kx（或x）k f(k)f(k)0，并同时考虑f(k)=0121122121或f(k)=0这两种情况是否也符合 2 y ya 0f(k) 0f(k) 0 11 kxk212xxxkkOO1x

28、x2211 f(k) 02f(k) 02a 0 kxkpxp 112122此结论可直接由推出 2f(x) ax bx c(a 0)p,q（5）二次函数在闭区间上的最值 1mx (p q)Mf(x)p,q 设在区间上的最大值为，最小值为，令 02a 0（）当时（开口向上） bbbb pp qm f( ) qm f(p)若，则 若，则 若，则 2a2a2a2am f(q) ffff (q)(p)(p) (q) Oxxx OOf bbfb(p) f( )f( f( )bb2a2a2a(q) x xM f(q)M f(p) 若，则 ，则 002a2a ff(p) x(q)0 13 x 0 OxOxbf

29、f)f( 2ab(p)(q) a 0()当时(开口向下) bbbb pp qM f( ) qM f(p)若，则 若，则 若，则 2a2a2a2aM f(q) b bbf( )ff( )f( ) 2a2a2a(q) f f(p) (p) Ox OOxx fff (q)(q)(p) bb x xm f(q)m f(p)若，则 ，则 002a2a b b f( )f( )f2a2af (q) (p) xx0 0 OxOx ff (q) (p) 第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点 xy f(x)(x D)f(x) 01、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数y f(x)(x D)的零

30、点。 y f(x)f(x) 0y f(x)2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的x图象与轴交点的横坐标。即： x f(x) 0y f(x)y f(x)方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3、函数零点的求法： y f(x)求函数的零点： 1f(x) 0 （代数法）求方程的实数根； 2y f(x) （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 2y ax bx c(a 0)二次函数 2xax bx c 0），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点 2xax bx c 0），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 2xax bx c 0），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点 14 高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z