1、高中数学参数方程知识点汇总高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念, 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义, 掌握参数方 程与普通方程的互化方法 . 会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程 .2. 理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程, 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点 .二、知识结构1. 直线的参数方程(1) 标准式 过点 Po(x 0,y 0) ,倾斜角为 的直线 l( 如图) 的参数方程是xyx t cosa0 (t 为参数
2、)y t sin a0(2) 一般式 过定点 P0(x 0,y 0) 斜率 k=tg =ba的直线的参数方程是xyx at0 (t 不参数 ) y bt0在一般式中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,若 a2+b2=1, 即为标准式,此时, t 表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离;若 a2+b21,则动点 P到定点 P0 的距离是2 b2a t .直线参数方程的应用 设过点 P0(x 0,y 0), 倾斜角为 的直线 l 的参数方程是xyx0y0ttcos asin a(t 为参数)若 P1、P2 是 l 上的两点,它们所对应的参数分别为 t 1,t 2,则(1)P 1、P2 两
3、点的坐标分别是(x 0+t 1cos ,y 0+t 1sin )(x 0+t 2cos ,y 0+t 2sin ) ;(2) P1P2=t 1-t 2 ;(3) 线段 P1P2 的中点 P所对应的参数为 t ,则t=t1 t22中点 P到定点 P0 的距离 PP0 =t =t1 t22(4) 若 P0 为线段 P1P2 的中点,则t 1+t 2=0.3. 圆锥曲线的参数方程(1) 圆 圆心在 (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是xyabrrcossin( 是参数 ) 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角, 0,2 (见图)2 2x y(2)椭圆椭圆 1(a b0) 的参数方程是2 2a
4、 bx a cosy bsin( 为参数 )2 2y y椭圆 12 2a b(a b0) 的参数方程是xyb cosa sin( 为参数 )4. 极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 O,从 O引一条射线 Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向 ( 通常取逆时针方向为正方向 ) ,这样就建立了一个极坐标系, O 点叫做极点,射线 Ox叫 做极轴 .极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可 .点的极坐标设M点是平面内任意一点,用 表示线段OM的长度, 表示射线 Ox 到OM的角度 ,那么 叫做 M点的极径, 叫做 M点的极角,有序数对(, ) 叫做 M点的
5、极坐标 .(见图)极坐标和直角坐标的互化(1) 互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位 .(2) 互化公式xycossintg2 2xyx2y(x 0)三、知识点、能力点提示( 一) 曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B,使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 .解: 将圆的方程化为参数方程:.xy215cos5sin( 为参数)则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos , 1+5sin ) , 它 到 所 给 直 线 之 距
6、离d=120cos15 sin2 32430故当 cos( - )=1 ,即=时 ,d 最长,这时, 点 A坐标为 (6 ,4) ;当 cos( - )=-1,即=- 时,d 最短,这时,点 B坐标为 (-2 ,2).( 二) 极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现 .1例 2 极坐标方程 =所确定的图形是( )2 3 sin cosA. 直线 B. 椭圆 C.双曲 D. 抛 物线1解: = 3221 (12cos)1121 sin( )6( 三) 综合例题赏析x 3 cos例 3 椭圆 ( 是参数)的两个
7、焦点坐标是 y 1 5sin( )A.(-3 ,5) ,(-3 ,-3) B.(3 ,3) ,(3 ,-5)C.(1 ,1) ,(-7 ,1) D.(7 ,-1) ,(-1 ,-1)2 y2(x 3) ( 1)解:化为普通方程得 19 25a 2=25,b2=25,b2=9, 得 c2 ,c=4.F(x-3,y+1)=F(0, 4)在 xOy坐标系中,两焦点坐标是 (3 ,3) 和(3 ,-5).应选 B.例 4 参数方程x cos sin2 21y2(1 sin )(0 2)表示A. 双曲线的一支,这支过点 (1 ,12) B. 抛物线的一部分,这部分过 (1 ,12).C.双曲线的一支,这
8、支过(-1 ,12) D.抛物线的一部分,这部分过(-1 ,12)解:由参数式得 x2=1+sin =2y(x 0)即 y=12x 2(x 0).2(x 0).应选B.例 5 在方程xysincos( 为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7) B.(13,23) C.(12,12) D.(1 ,0)解: y=cos2 =1-2sin2 =1-2x 2将 x=12代入,得 y=12应选C.例 6 下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( )xyttB.xycos t2costC.xytgt11A.cos 2tcos 2tx tgtD.y
9、11coscos2t2t解:普通方程 x2-y 中的 xR,y 0, A.中 x=t 0,B.中 x=cost -1,1 ,故排除 A. 和 B.C.中 y=22 cos22sintt=ctg2t=1tg2t12x2y=1,故排除 C.=,即 x应选D.例 7 曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为 ( )A.x2+(y+2) 2=4 B.x 2+(y-2) 2=4 C.(x-2) 2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解:将 =2 y 2x ,sin =y2 yx2代入 =4sin ,得 x 2+y2=4y,即 x2+(y-2)2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4.应选B.例
10、 8 极坐标 =cos( ) 表示的曲线是( )4A. 双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆.解:原极坐标方程化为 =12(cos +sin )22 =cos +sin ,普通方程为 2 (x2+y2)=x+y ,表示圆 .应选 D.例 9 在极坐标系中,与圆 =4sin 相切的条直线的方程是 ( )A. sin =2 B. cos =2C.cos=-2 D. cos =-4例 9 图解:如图 .C的极坐标方程为 =4sin ,COOX,OA为直径, OA=4,l 和圆相切,l 交极轴于 B(2,0) 点 P(, ) 为 l 上任意一点,则有cos=OBOP2,得 cos=2,应选 B.例 1
11、0 4sin22 =5 表示的曲线是 ( )A. 圆 B. 椭圆 C.双曲线的一支 D. 抛 物线解:4sin2cos 12 =5 4 2 2 cos 5.2把=2 y 2x cos=x,代入上式,得22 y2x =2x-5.25平方整理得 y 2=-5x+ .2=-5x+ .4应选 D. 它表示抛物线 .例 11 极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是 ( )A. 两条射线 B. 两条相交直线 C.圆 D. 抛 物线解:由 4sin2=3, 得 42x2y2y3, 即 y 2=3 x2=3 x2,y= 3x , 它表示两相交直线 .应选 B.四、能力训练( 一) 选择题5. 极坐标方程 co
12、s =43表示( )A. 一条平行于 x 轴的直线 B.一条垂直于 x 轴的直线.C.一个圆 D.一条抛物线x 2 cos6. 直线: 3x-4y-9=0 与圆: ( )为参数y 2sin ,的位置关系是 ( )A. 相切 B. 相离 C.直线过圆心D. 相交但直线不过圆心7. 若(x ,y) 与 (, )( R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标, t 表示参数,则下列各组曲 线:= 和 sin =612; =6和 tg =33, 2-9=0 和 = 3 ;x 222tx 2 2t和y 312ty 3 t其中表示相同曲线的组数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.48.设M(1,1) ,N(2
13、,2) 两点的极坐标同时满足下列关系: 1+ 2=0 ,1+ 2=0,则 M,N两点位置关系是 ( )A. 重合 B.关于极点对称C.关于直线 = D. 关 于 极 轴2对称9. 极坐标方程 =sin +2cos 所表示的曲线是 ( )A. 直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线10. 经过点 M(1,5) 且倾斜角为 的直线, 以定点 M到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程3是( )Ax 1y 512t32tB.xy1512t32tC.xy1512t32tD.y 1x 53212tt11. 将参数方x ay b2m2m2m2m2m 2m2m222(m 是参数, ab0) 化为普通方程是 (
14、 ).2x y2A. 1( )x a2 2a b2 2x yB. 1( x a)2 2a b2 2x yC. 1( )x a2 2a b2 2x yD. 1(x a)2 2a b12. 已知圆的极坐标方程 =2sin( + ) ,则圆心的极坐标和半径分别为 ( )6A.(1, ),r=2 B.(1, ),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1,3 6 3- ),r=23x t1t13. 参数方程 (t 为参数 ) 所表示的曲线是 ( )y 2A. 一条射线 B. 两条射线 C.一条直线 D. 两 条直线14. 双曲线xy12tg2 sec( 为参数 ) 的渐近线方 程为( ) 1 1A.y-
15、1= ( x 2) B.y= x 2 2C.y-1= 2(x 2)D.y+1= 2(x 2)15. 若直线x 4y btat( (t 为参数 ) 与圆 x 2+y2-4x+1=0 相切,则直线的倾斜角为 ( )2+y2-4x+1=0 相切,则直线的倾斜角为 ( )A. B.323C.3或23D.35或32x 2 pt16. 已知曲线 (t 为参数 ) 上的点 M,N对应的参数分别为 t 1,t 2,且 t 1+t 2=0,y 2 pt那么 M,N间的距离为 ( )A.2p(t 1+t 2) B.2p(t21+t22) C. 2p(t 1-t 2) D.2p(t 1-t 2) 217. 若点 P
16、(x ,y) 在单位圆上以角速度 按逆时针方向运动, 点 M(-2xy ,y 2-x2-x2) 也在单位圆上运动,其运动规律是 ( )A. 角速度 ,顺时针方向 B.角速度 ,逆时针方向C.角速度 2, 顺时针方向 D.角速度 2 ,逆时针方向18. 抛物线 y=x 2-10xcos +25+3sin -25sin2-10xcos +25+3sin -25sin2与 x 轴两个交点距离的最大值是 ( ).A.5 B.10 C.2 3 D.3319. 直线 = 与直线 l 关于直线 = ( R)对称,则 l 的方程是 ( )2 cos sin 43 3A B2 cos sin 2 cos cos
17、 3 3C Dcos 2 sin cos 2 sin( 二)填空题20. 若直线 l 的参数方程为x 3y 245t35t(t 为参数 ) ,则过点 (4 ,-1) 且与 l 平行的直线在 y 轴上的截距为.21. 参数方程xy11coscossincos( 为参数)化成普通方程为 .22. 极坐标方程 =tg sec 表示的曲线是 .23. 直线xy123t3t(t 为参数 ) 的倾斜角为 ;直线上一点 P(x ,y) 与点 M(-1,2) 的距离为 .( 三) 解答题24.设椭圆xy4 cos2 3 sin( 为参数 ) 上一点 P,若点 P 在第一象限, 且 xOP=3,求点 P 的坐标
18、 .2x 2 pt25. 曲线 C的方程为 (p 0,t 为参数 ) ,当 t -1 ,2时,曲线 C 的端y 2pt点为 A, B,设F 是曲线 C的焦点,且 SAFB=14,求 P的值.26. 已知椭圆2x22y=1 及点 B(0,-2) ,过点 B 作直线 BD,与椭圆的左 半部分交于 C、D两点,又过椭圆的右焦点 F 2 作平行于 BD的直线,交椭圆于 G,H两点 .(1) 试判断满足 BC BD=3GF 2H成立的直线 BD 是否存在 ?并说明理2 F由 .(2) 若点 M为弦CD的中点, SBMF2=2,试求直线 BD的方程 .27. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线xy83
19、tg4sec( 为参数 ) 的左焦点.和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为94,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.28.A ,B为椭圆2x2a2y2b=1,(a b0) 上的两点, 且 OAOB,求 AOB的面积的最大值和最小值 .29. 已知椭圆2 y2x24 16=1,直线 l x12y8=1,P 是 l 上一点, 射线 OP交椭圆于点 R,又点 Q在 OP上且 满足 OQ OP =OR2,当点 P 在 l 上移动时, 求点 Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线 .参考答案( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 1
20、3.C 14.C 15.D( 二 )16.-4 ;17.y =-2(x-12),(x 12);18. 抛 物线; 19.135 ,|3 2 t|( 三 )20.(8 5 4 ,51552 3) ; 21. ;330.(1) 不存在, (2)x+y+2=0 ; 23.15(27-3 41) ;24.S max=max=ab2, smax=a2a2 2b2b;2.( x1)52 y(521)=1(x,y) 不同时为零)2 2单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。.
copyright@ 2008-2022 冰豆网网站版权所有
经营许可证编号:鄂ICP备2022015515号-1