高中数学参数方程知识点汇总.docx

1、高中数学参数方程知识点汇总高考复习之参数方程一、考纲要求1. 理解参数方程的概念， 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义， 掌握参数方 程与普通方程的互化方法 . 会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程 .2. 理解极坐标的概念 . 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化 . 会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程， 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程 . 不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点 .二、知识结构1. 直线的参数方程(1) 标准式 过点 Po(x 0,y 0) ，倾斜角为 的直线 l( 如图) 的参数方程是xyx t cosa0 (t 为参数

2、)y t sin a0(2) 一般式 过定点 P0(x 0,y 0) 斜率 k=tg =ba的直线的参数方程是xyx at0 (t 不参数 ) y bt0在一般式中，参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义，若 a2+b2=1, 即为标准式，此时， t 表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离；若 a2+b21，则动点 P到定点 P0 的距离是2 b2a t .直线参数方程的应用 设过点 P0(x 0,y 0), 倾斜角为 的直线 l 的参数方程是xyx0y0ttcos asin a（t 为参数）若 P1、P2 是 l 上的两点，它们所对应的参数分别为 t 1,t 2，则(1)P 1、P2 两

3、点的坐标分别是(x 0+t 1cos ,y 0+t 1sin )(x 0+t 2cos ,y 0+t 2sin ) ；(2) P1P2=t 1-t 2 ;(3) 线段 P1P2 的中点 P所对应的参数为 t ，则t=t1 t22中点 P到定点 P0 的距离 PP0 =t =t1 t22(4) 若 P0 为线段 P1P2 的中点，则t 1+t 2=0.3. 圆锥曲线的参数方程(1) 圆 圆心在 (a,b) ，半径为 r 的圆的参数方程是xyabrrcossin( 是参数 ) 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角， 0,2 (见图)2 2x y(2)椭圆椭圆 1(a b0) 的参数方程是2 2a

4、 bx a cosy bsin( 为参数 )2 2y y椭圆 12 2a b(a b0) 的参数方程是xyb cosa sin( 为参数 )4. 极坐标极坐标系 在平面内取一个定点 O，从 O引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向 ( 通常取逆时针方向为正方向 ) ，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox叫 做极轴 .极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .点的极坐标设M点是平面内任意一点，用 表示线段OM的长度， 表示射线 Ox 到OM的角度 ，那么 叫做 M点的极径， 叫做 M点的极角，有序数对(, ) 叫做 M点的

5、极坐标 .(见图)极坐标和直角坐标的互化(1) 互化的前提条件极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合两种坐标系中取相同的长度单位 .(2) 互化公式xycossintg2 2xyx2y(x 0)三、知识点、能力点提示( 一) 曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例 1 在圆 x2+y2-4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最短和最长 .解： 将圆的方程化为参数方程：.xy215cos5sin（ 为参数）则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos ， 1+5sin ) ， 它 到 所 给 直 线 之 距

6、离d=120cos15 sin2 32430故当 cos( - )=1 ，即=时 ，d 最长，这时， 点 A坐标为 (6 ，4) ；当 cos( - )=-1,即=- 时，d 最短，这时，点 B坐标为 (-2 ，2).( 二) 极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现 .1例 2 极坐标方程 =所确定的图形是（ ）2 3 sin cosA. 直线 B. 椭圆 C.双曲 D. 抛 物线1解： = 3221 (12cos)1121 sin( )6( 三) 综合例题赏析x 3 cos例 3 椭圆 ( 是参数)的两个

7、焦点坐标是 y 1 5sin（ ）A.(-3 ，5) ，(-3 ，-3) B.(3 ，3) ，(3 ，-5)C.(1 ，1) ，(-7 ，1) D.(7 ，-1) ，(-1 ，-1)2 y2(x 3) ( 1)解：化为普通方程得 19 25a 2=25,b2=25,b2=9, 得 c2 ,c=4.F(x-3,y+1)=F(0, 4)在 xOy坐标系中，两焦点坐标是 (3 ，3) 和(3 ，-5).应选 B.例 4 参数方程x cos sin2 21y2(1 sin )(0 2)表示A. 双曲线的一支，这支过点 (1 ，12) B. 抛物线的一部分，这部分过 (1 ，12).C.双曲线的一支，这

8、支过(-1 ，12) D.抛物线的一部分，这部分过(-1 ，12)解：由参数式得 x2=1+sin =2y(x 0)即 y=12x 2(x 0).2(x 0).应选B.例 5 在方程xysincos( 为参数 ) 所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7) B.（13，23） C.(12，12) D.(1 ，0)解： y=cos2 =1-2sin2 =1-2x 2将 x=12代入，得 y=12应选C.例 6 下列参数方程 (t 为参数 ) 与普通方程 x2-y=0 表示同一曲线的方程是( )xyttB.xycos t2costC.xytgt11A.cos 2tcos 2tx tgtD.y

9、11coscos2t2t解：普通方程 x2-y 中的 xR，y 0， A.中 x=t 0，B.中 x=cost -1,1 ，故排除 A. 和 B.C.中 y=22 cos22sintt=ctg2t=1tg2t12x2y=1，故排除 C.=，即 x应选D.例 7 曲线的极坐标方程 =sin 化 成直角坐标方程为 ( )A.x2+(y+2) 2=4 B.x 2+(y-2) 2=4 C.(x-2) 2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解：将 =2 y 2x ，sin =y2 yx2代入 =4sin ，得 x 2+y2=4y，即 x2+(y-2)2+y2=4y，即 x2+(y-2)2=4.应选B.例

10、 8 极坐标 =cos( ) 表示的曲线是( )4A. 双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆.解：原极坐标方程化为 =12(cos +sin )22 =cos +sin ，普通方程为 2 (x2+y2)=x+y ，表示圆 .应选 D.例 9 在极坐标系中，与圆 =4sin 相切的条直线的方程是 ( )A. sin =2 B. cos =2C.cos=-2 D. cos =-4例 9 图解：如图 .C的极坐标方程为 =4sin ，COOX,OA为直径， OA=4,l 和圆相切，l 交极轴于 B(2，0) 点 P(, ) 为 l 上任意一点，则有cos=OBOP2，得 cos=2，应选 B.例 1

11、0 4sin22 =5 表示的曲线是 ( )A. 圆 B. 椭圆 C.双曲线的一支 D. 抛 物线解：4sin2cos 12 =5 4 2 2 cos 5.2把=2 y 2x cos=x，代入上式，得22 y2x =2x-5.25平方整理得 y 2=-5x+ .2=-5x+ .4应选 D. 它表示抛物线 .例 11 极坐标方程 4sin2=3 表示曲线是 ( )A. 两条射线 B. 两条相交直线 C.圆 D. 抛 物线解：由 4sin2=3, 得 42x2y2y3, 即 y 2=3 x2=3 x2，y= 3x , 它表示两相交直线 .应选 B.四、能力训练( 一) 选择题5. 极坐标方程 co

12、s =43表示( )A. 一条平行于 x 轴的直线 B.一条垂直于 x 轴的直线.C.一个圆 D.一条抛物线x 2 cos6. 直线： 3x-4y-9=0 与圆： ( )为参数y 2sin ,的位置关系是 ( )A. 相切 B. 相离 C.直线过圆心D. 相交但直线不过圆心7. 若(x ，y) 与 (， )( R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标， t 表示参数，则下列各组曲 线：= 和 sin =612； =6和 tg =33， 2-9=0 和 = 3 ；x 222tx 2 2t和y 312ty 3 t其中表示相同曲线的组数为 ( )A.1 B.2 C.3 D.48.设M(1，1) ，N(2

13、，2) 两点的极坐标同时满足下列关系： 1+ 2=0 ，1+ 2=0，则 M，N两点位置关系是 ( )A. 重合 B.关于极点对称C.关于直线 = D. 关 于 极 轴2对称9. 极坐标方程 =sin +2cos 所表示的曲线是 ( )A. 直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线10. 经过点 M(1，5) 且倾斜角为 的直线， 以定点 M到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程3是( )Ax 1y 512t32tB.xy1512t32tC.xy1512t32tD.y 1x 53212tt11. 将参数方x ay b2m2m2m2m2m 2m2m222(m 是参数， ab0) 化为普通方程是 (

14、 ).2x y2A. 1( )x a2 2a b2 2x yB. 1( x a)2 2a b2 2x yC. 1( )x a2 2a b2 2x yD. 1(x a)2 2a b12. 已知圆的极坐标方程 =2sin( + ) ，则圆心的极坐标和半径分别为 ( )6A.(1, ),r=2 B.(1, ),r=1 C.(1, ),r=1 D.(1,3 6 3- ),r=23x t1t13. 参数方程 (t 为参数 ) 所表示的曲线是 ( )y 2A. 一条射线 B. 两条射线 C.一条直线 D. 两 条直线14. 双曲线xy12tg2 sec( 为参数 ) 的渐近线方 程为( ) 1 1A.y-

15、1= ( x 2) B.y= x 2 2C.y-1= 2(x 2)D.y+1= 2(x 2)15. 若直线x 4y btat( (t 为参数 ) 与圆 x 2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为 ( )2+y2-4x+1=0 相切，则直线的倾斜角为 ( )A. B.323C.3或23D.35或32x 2 pt16. 已知曲线 (t 为参数 ) 上的点 M，N对应的参数分别为 t 1，t 2，且 t 1+t 2=0，y 2 pt那么 M，N间的距离为 ( )A.2p(t 1+t 2) B.2p(t21+t22) C. 2p(t 1-t 2) D.2p(t 1-t 2) 217. 若点 P

16、(x ，y) 在单位圆上以角速度 按逆时针方向运动， 点 M(-2xy ，y 2-x2-x2) 也在单位圆上运动，其运动规律是 ( )A. 角速度 ，顺时针方向 B.角速度 ，逆时针方向C.角速度 2, 顺时针方向 D.角速度 2 ，逆时针方向18. 抛物线 y=x 2-10xcos +25+3sin -25sin2-10xcos +25+3sin -25sin2与 x 轴两个交点距离的最大值是 ( ).A.5 B.10 C.2 3 D.3319. 直线 = 与直线 l 关于直线 = ( R)对称，则 l 的方程是 ( )2 cos sin 43 3A B2 cos sin 2 cos cos

17、 3 3C Dcos 2 sin cos 2 sin( 二)填空题20. 若直线 l 的参数方程为x 3y 245t35t(t 为参数 ) ，则过点 (4 ，-1) 且与 l 平行的直线在 y 轴上的截距为.21. 参数方程xy11coscossincos（ 为参数）化成普通方程为 .22. 极坐标方程 =tg sec 表示的曲线是 .23. 直线xy123t3t(t 为参数 ) 的倾斜角为 ；直线上一点 P(x ，y) 与点 M(-1，2) 的距离为 .( 三) 解答题24.设椭圆xy4 cos2 3 sin( 为参数 ) 上一点 P，若点 P 在第一象限， 且 xOP=3，求点 P 的坐标

18、 .2x 2 pt25. 曲线 C的方程为 (p 0，t 为参数 ) ，当 t -1 ，2时，曲线 C 的端y 2pt点为 A， B，设F 是曲线 C的焦点，且 SAFB=14，求 P的值.26. 已知椭圆2x22y=1 及点 B(0，-2) ，过点 B 作直线 BD，与椭圆的左 半部分交于 C、D两点，又过椭圆的右焦点 F 2 作平行于 BD的直线，交椭圆于 G，H两点 .(1) 试判断满足 BC BD=3GF 2H成立的直线 BD 是否存在 ?并说明理2 F由 .(2) 若点 M为弦CD的中点， SBMF2=2，试求直线 BD的方程 .27. 如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线xy83

19、tg4sec( 为参数 ) 的左焦点.和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为94，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.28.A ，B为椭圆2x2a2y2b=1，(a b0) 上的两点， 且 OAOB，求 AOB的面积的最大值和最小值 .29. 已知椭圆2 y2x24 16=1，直线 l x12y8=1，P 是 l 上一点， 射线 OP交椭圆于点 R，又点 Q在 OP上且 满足 OQ OP =OR2，当点 P 在 l 上移动时， 求点 Q的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线 .参考答案( 一 )1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 1

20、3.C 14.C 15.D( 二 )16.-4 ；17.y =-2(x-12),(x 12);18. 抛 物线； 19.135 ,|3 2 t|( 三 )20.(8 5 4 ,51552 3) ； 21. ;330.(1) 不存在， (2)x+y+2=0 ； 23.15(27-3 41) ；24.S max=max=ab2， smax=a2a2 2b2b;2.( x1)52 y(521)=1(x,y) 不同时为零)2 2单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。.