高中数学参数方程知识点汇总.docx
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高中数学参数方程知识点汇总
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参
数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程
化为直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的
参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
x
y
xtcosa
0(t为参数)
ytsina
0
(2)一般式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=
b
a
的直线的参数方程是
x
y
xat
0(t不参数)②
ybt
0
在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a
2+b2=1,②即为标准式,此
时,|t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a
2+b2≠1,则动点P到定点P
0的距离是
2b2
a|t|.
直线参数方程的应用设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
x
y
x
0
y
0
t
t
cosa
sina
(t为参数)
若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则
(1)P1、P2两点的坐标分别是
(x0+t1cosα,y0+t1sinα)
(x0+t2cosα,y0+t2sinα);
(2)|P1P2|=|t1-t2|;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则
t=
t1t
2
2
中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=|
t1t
2
2
|
(4)若P0为线段P1P2的中点,则
t1+t2=0.
.
3.圆锥曲线的参数方程
(1)圆圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是
x
y
a
b
r
r
cos
sin
(φ是参数)
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,φ∈[0,2π](见图)
22
xy
(2)椭圆椭圆1
(a>b>0)的参数方程是
22
ab
xacos
ybsin
(φ为参数)
22
yy
椭圆1
22
ab
(a>b>0)的参数方程是
x
y
bcos
asin
(φ为参数)
4.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角
度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,
射线Ox叫做极轴.
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,
缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到
OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极
坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
x
y
cos
sin
'
tg
22
x
y
x
2
y
(x0)
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化
例1在圆x
2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最
短和最长.
解:
将圆的方程化为参数方程:
.
x
y
2
1
5
cos
5sin
(为参数)
则圆上点P坐标为(2+5cos,1+5sin),它到所给直线之距离
d=
120cos
15sin
232
4
30
故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,
即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2).
(二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现.
1
例2极坐标方程ρ=
所确定的图形是()
23sincos
A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物
线
1
解:
ρ=
3
2
2[1(
1
2
cos
)]
1
1
2
1sin()
6
(三)综合例题赏析
x3cos
例3椭圆(是参数)的两个焦点坐标是
y15sin
()
A.(-3,5),(-3,-3)B.(3,3),(3,-5)
C.(1,1),(-7,1)D.(7,-1),(-1,-1)
2y
2
(x3)
(1)
解:
化为普通方程得1
925
∴a2=25,b
2=25,b
2=9,得c2=16,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5).
应选B.
例4参数方程
xcossin
22
1
y
2
(1sin)
(02
)
表示
A.双曲线的一支,这支过点(1,
1
2
)B.抛物线的一部分,这部分过(1,
1
2
)
.
C.双曲线的一支,这支过(-1,
1
2
)D.抛物线的一部分,这部分过(-1,
1
2
)
解:
由参数式得x
2=1+sinθ=2y(x>0)
即y=
1
2
x2(x>0).
2(x>0).
∴应选B.
例5在方程
x
y
sin
cos
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()
A.(2,-7)B.(
1
3
,
2
3
)C.(
1
2
,
1
2
)D.(1,0)
解:
y=cos2=1-2sin2=1-2x2
将x=
1
2
代入,得y=
1
2
∴应选C.
例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x
2-y=0表示同一曲线的方程是()
x
y
t
t
B.
x
y
cost
2
cos
t
C.
x
y
tgt
1
1
A.
cos2t
cos2t
xtgt
D.
y
1
1
cos
cos
2t
2t
解:
普通方程x
2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B.中x=cost∈〔-1,1〕,故排
除A.和B.
C.中y=
2
2cos
2
2sin
t
t
=ctg
2t=
1
tg
2
t
1
2
x
2y=1,故排除C.
=,即x
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为()
A.x
2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)
2+y2=4
解:
将ρ=
2y2
x,sinθ=
y
2y
x
2
代入ρ=4sinθ,得x2+y2=4y,即x2+(y-2)
2+y2=4y,即x2+(y-2)
2=4.
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos()表示的曲线是()
4
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆
.
解:
原极坐标方程化为ρ=
1
2
(cosθ+sinθ)
2
2=ρcosθ+ρsinθ,
∴普通方程为2(x
2+y2)=x+y,表示圆.
应选D.
例9在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4
例9图
解:
如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,
l交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有
cosθ=
OB
OP
2
,得ρcosθ=2,
∴应选B.
例104ρsin
2
2=5表示的曲线是()
A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物
线
解:
4ρsin
2
cos1
2=54ρ·22cos5.
2
把ρ=
2y2
xρcosθ=x,代入上式,得
2
2y
2
x=2x-5.
25
平方整理得y2=-5x+.
2=-5x+.
4
∴应选D.
.它表示抛物线.
例11极坐标方程4sin
2
θ=3表示曲线是()
A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物
线
解:
由4sin
2
θ=3,得4·
2
x
2
y
2
y
=3,即y2=3x
2=3x
2
,y=±3x,它表示两相交直线.
∴应选B.
四、能力训练
(一)选择题
5.极坐标方程ρcosθ=
4
3
表示()
A.一条平行于x轴的直线B.一条垂直于x轴的直线
.
C.一个圆D.一条抛物线
x2cos
6.直线:
3x-4y-9=0与圆:
()
为参数
y2sin,
的位置关系是()
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直
线不过圆心
7.若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,则下列
各组曲线:
①θ=和sinθ=
6
1
2
;②θ=
6
和tgθ=
3
3
,③ρ
2-9=0和ρ=3;④
x2
2
2
t
x22t
和
y3
1
2
t
y3t
其中表示相同曲线的组数为()
A.1B.2C.3D.4
8.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:
ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=0,
则M,N两点位置关系是()
A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=D.关于极轴
2
对称
9.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()
A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
10.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
是()
A.
x1
y5
1
2
t
3
2
t
B.
x
y
1
5
1
2
t
3
2
t
C.
x
y
1
5
1
2
t
3
2
t
D.
y1
x5
3
2
1
2
t
t
11.将参数方
xa
yb
2
m
2m
2
m
2m
2m
2
m
2m
2
2
2
(m是参数,ab≠0)化为普通方程是()
.
2
x
y
2
A.1()
xa
22
ab
22
xy
B.1(xa)
22
ab
22
xy
C.1()
xa
22
ab
22
xy
D.1(xa)
22
ab
12.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+),则圆心的极坐标和半径分别为()
6
A.(1,),r=2B.(1,),r=1C.(1,),r=1D.(1,
363
-),r=2
3
xt
1
t
13.参数方程(t为参数)所表示的曲线是()
y2
A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条
直线
14.双曲线
x
y
1
2
tg
2sec
(θ为参数)的渐近线方程为()
11
A.y-1=(x2)B.y=x
22
C.y-1=2(x2)
D.y+1=2(x2)
15.若直线
x4
ybt
at
((t为参数)与圆x2+y2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为()
2+y2-4x+1=0相切,则直线的倾斜角为()
A.B.
3
2
3
C.
3
或
2
3
D.
3
5
或
3
2
x2pt
16.已知曲线(t为参数)上的点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1+t2=0,
y2pt
那么M,N间的距离为()
A.2p(t1+t2)B.2p(t
2
1+t
2
2)C.│2p(t1-t2)│
D.2p(t1-t2)2
17.若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy,y2-x
2-x
2)也在单位
圆上运动,其运动规律是()
A.角速度ω,顺时针方向B.角速度ω,逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω,逆时针方向
18.抛物线y=x2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin
2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin
2
θ与x轴两个交点距离的最大值是()
.
A.5B.10C.23D.3
3
19.直线ρ=与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称,则l的方程是()
2cossin4
33
A.
B.
2cossin2coscos
33
C.
D.
cos2sincos2sin
(二)填空题
20.若直线l的参数方程为
x3
y2
4
5
t
3
5
t
(t为参数),则过点(4,-1)且与l平行的直线
在y轴上的截距为
.
21.参数方程
x
y
1
1
cos
cos
sin
cos
(为参数)化成普通方程为.
22.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.
23.直线
x
y
1
2
3t
3t
(t为参数)的倾斜角为;直线上一点P(x,y)与点M(-1,
2)的距离为.
(三)解答题
24.设椭圆
x
y
4cos
23sin
(θ为参数)上一点P,若点P在第一象限,且∠xOP=
3
,求
点P的坐标.
2
x2pt
25.曲线C的方程为(p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时,曲线C的端
y2pt
点为A,B,设F是曲线C的焦点,且S△AFB=14,求P的值.
26.已知椭圆
2
x
2
2
y
=1及点B(0,-2),过点B作直线BD,与椭圆的左半部分交于C、
D两点,又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线,交椭圆于G,H两点.
(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF2H│成立的直线BD是否存在?
并说明理
2│·│F
由.
(2)若点M为弦CD的中点,S△BMF2=2,试求直线BD的方程.
27.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
x
y
8
3tg
4sec
(θ为参数)的左焦点
.
和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为
9
4
,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
28.A,B为椭圆
2
x
2
a
2
y
2
b
=1,(a>b>0)上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大
值和最小值.
29.已知椭圆
2y
2
x
2416
=1,直线l∶
x
12
y
8
=1,P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,
又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│
2,当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程.
并说明轨迹是什么曲线.
.
参考答案
(一)1.B2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.C12.C13.C14.C15.D
(二)16.-4;17.y
2=-2(x-
1
2
),(x≤
1
2
);18.抛物线;19.135°,|32t|
(三)20.(
854
5
15
5
23
);21.;
3
30.
(1)不存在,
(2)x+y+2=0;23.
1
5
(27-341);24.Smax=
max=
ab
2
,smax=
a
2
a
22
b
2
b
;
2.
(x
1)
5
2y
(
5
2
1)
=1(x,y)不同时为零)
22
单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。
教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
.