精品高三复习专题探索性问题的常见类型及其求解策略doc.docx

1、精品高三复习专题探索性问题的常见类型及其求解策略doc高三复习专题：探索性问题的常见类型及其求解策略在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何, 成为高考的热点之一。正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究 的热点。多年来笔者对此也做了一些探讨。探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完 备。要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。它 对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它 有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经 历一个发现问题、研究问题、解决问题的

2、全过程。探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断 型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略乂有所不同。因此，我们 在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制 定解题策略。下面分别加以说明：一、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确 定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成 立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的 过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作 充分条件，应引起注意。例1. (2002年上海10)

3、设函数/= sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个 可能值是 o分析与解答：/(x + r) = sin2(x + r) = sin(2x + 2r).X/(x + 偶函数/. f(x + t) = f(-x + r)B|Jsin(2x + It) = sin(-2x + 2r)。由此可得、 2k +12x + 2r = -2x + 2/ + + t = tt- (-2x + 2t) + 2ki(k e Z) /. t = 7r(k e Z)4评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分 条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这 类题要求学生

4、变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.二、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决 这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情 形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形 去认证结论。例2. （2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基 本量”。设%是公比为q的无穷等比数列，下列%的四组量中，一定能成为该 数列“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）。Si与S2；a2与S3;ai与an；q与a”.其中n为大于1的整数，Sn为%的前n项和。分析与解答：（1）由S和S2

5、，司知ai和a?。由=q 得公比q,故能确定 %数列是该数列的“基本量”。（2） 由a?与S3,设其公比为q,首项为a.可得a2 = axq.ax =二，如=% + %q + %q q. .如= % + a）q q _ + （a2 - S3）q + a2 = 0满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是 数列%的基本量。（3） 由ai与a。，可得=,当n为奇数时，q可能有两个值,%故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。（4） 由q与an，由q二弓矿七可得。二三，故数列%能够确定，是数列%的一个基本量。故应填、评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学

6、的最佳策略。木题考查确 定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能 够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方而，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的金貌有一个较好的理解.例3 (2002上海).规定C.=-(七J二3二吧),其中eR, m是正整数，且m&? = 1,这是组合数C；1 (n, m是正整数，且m2时，妇_ .(.T)(m + 1) T)(i + 2)x v m! (/n-1)!_ x(x-l)-(x-m + 2)f x-m + 1(m-1)! v m x(x-l)-(x-/?2 + 2)(x+1)mCmx+l由此，可以知道，性质能

7、够推广.(III)从的定义不难知道，当x/Z且m工()时，C；”eZ不成立，下面，我 们将着眼点放在xeZ的情形.先从熟悉的问题入手.当xm时，C.就是组合数，故g Z .当x W Z且X 7时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（c： f 且x m ,即x-L则 C-i为组合数，故C： eZ %1若-x + m-l m，即0 xm时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具 体的计算不难发现：C；=0，可以猜想，此时C：=OcZ.这个结论不难验证.事实上,当0x m a ； （2）mn, a P , m a =n_L P ；（3）m a , nJL B， m an a_|_B； （4） a

8、 P , n_L B , m a nmJLn。不难发现，命题（3）、（4）为真命题，而命题（1）、（2）为假命题。故填上命题 （3）或。例5.（2004年北京）已知三个不等式：ab0,bc-ad0,-0 （其中 a ba, b, c, d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论 组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、3分析与解答：若 ab 0,he - ad 。，则=一 0a h abc d二 ab 0,bc -ad 0 = 0a b十， c c d 石 thihc-ad 八若 ab 0, 0测 0a b ab:.be - ad 0,即。

9、 0, 0 = be ad 0a b若阮则o a b ab:.ab 0,叩be - ad 0, 0 n0a b故三个命题均为真命题，选D。四、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某-数学对象（数值、图 形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这 个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。 其中反证法在解题中起着重要的作用。9例6、(2004年福建)已知/(x) = 4x + ax2-xx e R)在区间-1,1上是增函数。(1)求实数a的值组成的

10、集合A；(2)设关于x的方程f(x) = 2x + -x3的两个非常零实根为xi、x2,试问：是否存在实数m，使得不等式+ tm +1 | - x2|对任意ae A及-1,1恒成立？若 存在，求ni的取值范围；若不存在，请说明理由。分析与解答：(1) = 4 +2心-2尤2,f(x)在1, 1上是增函数，/. fx) 0对X G - 1,1 扼成立即X，ax 2W0,对xE 1, 1恒成立 设(p(x) = x1 - ax-2(p( 1) = 1。2V0. e(i)= i + 6/ 2 o二1。V 1.对尤G -1,1,只有当Q = 1时，尸(一1) = 0以及当6? = -1时，广=0 :.A = a- a 0尤1，工2是方程尤2-0-2 = 0的物非零实根, (2 ) *工=J(X + 名) = y Cl +8,=Jo, + 8 3.-对对任意。w A及E - 1,1恒成立,又. 一1 Q g(-l) = in2 - /?7 - 2 0, g(l) = m2 + /n - 2 2,或? -2评注：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行