精品高三复习专题探索性问题的常见类型及其求解策略doc.docx
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高三复习专题：
探索性问题的常见类型及其求解策略
在近儿年的高考试题中，有关探索性问题频频出现，涉及代数、三角、儿何,成为高考的热点之一。
正因如此，初等数学中有关探索性问题也就成为大家研究的热点。
多年来笔者对此也做了一些探讨。
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合己有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：
条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
每一种类型其求解策略乂有所不同。
因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。
下面分别加以说明：
一、条件追溯型
这类问题的基本特征是：
针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：
执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
例1.（2002年上海10）设函数/•⑴=sin2x,若是偶函数，贝Ut的一个可能值是o
分析与解答：
：
/（x+r）=sin2（x+r）=sin（2x+2r）.X/（x+偶函数
/.f（x+t）=f（-x+r）B|Jsin（2x+It）=sin（-2x+2r）。
由此可得
、2k+1
2x+2r=-2x+2/++t=tt-（-2x+2t）+2ki（keZ）/.t=7r（keZ）
4
评注：
本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.
二、结论探索型
这类问题的基本特征是：
有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：
先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
例2.（2004年上海文12）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。
设｛%｝是公比为q的无穷等比数列，下列｛%｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组。
（写出所有符合要求的组号）。
①Si与S2；②a2与S3;③ai与an；④q与a”.
其中n为大于1的整数，Sn为｛%｝的前n项和。
分析与解答：
（1）由S［和S2，司•知ai和a?
。
由—=q得公比q,故能确定%
数列是该数列的“基本量”。
（2）由a?
与S3,设其公比为q,首项为a.可得
a2=axq.ax=二，如=%+%q+%q~
・q
..如=%+a）q
'q~_
「•+（a2-S3）q+a2=0
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列｛%｝的基本量。
（3）由ai与a。
，可得=—,当n为奇数时，q可能有两个值,
%
故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。
（4）由q与an，由q二弓矿七可得。
］二三％，故数列｛%｝能够确定，是数列｛%｝
的一个基本量。
故应填①、④
评注：
数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。
木题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。
如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方而，不仅可以训练自己的思维，
而且可以纵观全局，从整体上对知识的金貌有一个较好的理解.
例3（2002上海）.规定C.=-（七J二3二吧）,其中eR,m是正整数，且
m\
&?
=1,这是组合数C；；1（n,m是正整数，且m（I）求C%的值;
（II）组合数的两个性质：
①C：
=CT；②C：
+C：
==C；：
»
是否都能推广到（xeR,m是正整数）的情形？
若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
（III）我们知道，组合数是正整数.那么，对于C.xeR,〃z是正整数,是否也有同样的结论？
你能举出一些C:
ER成立的例子吗？
分析与解答：
（I）史客四11628.
（II）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义.从这个角度很快可以看出：
性质①不能推广.例如当x=^2时，C上有定义，但C牙无意义.
性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：
+其中
xeR,秫是正整数.
类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论.事实上，
当刀=1时，e+C?
=x+l=C\.当m>2时，
妇_.（.T）・・・（m+1）"■T）・・・（i〃+2）
xv—m!
（/n-1）!
_x（x-l）---（x-m+2）fx-m+1
（m-1）!
vm>
x（x-l）---（x-/?
2+2）（x+1）
m\
Cm
x+l
由此，可以知道，性质②能够推广.
（III）从的定义不难知道，当x/Z且m工（）时，C；”eZ不成立，下面，我们将着眼点放在xeZ的情形.
先从熟悉的问题入手.当x>m时，C.就是组合数，故gZ.
当xWZ且X<〃7时，推广和探索的一般思路是：
能否把未知的情形（c：
f"且x一方面再一次考察定义：
仁”="七'）二（七〃‘+'）；另一方面，可以从具体的问题入手.
由（I）的计算过程不难知道：
C\=-C：
9.另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论.因此，将转化为驾可能是问题解决的途径.
事实上，当XV。
时，
A-（x-l）-*-（x-/?
z+l）n,（-A+/n-l）---（-x+l）（-x）v
■-；C-5-1
%1若-x+m-\>m,即x<-L则C’-i为组合数，故C：
eZ•
%1若-x+m-lC；=0……，可以猜想，此时C：
=OcZ.
这个结论不难验证.事实上,当0=0eZ.
综上，对于xeZ且〃2为正整数，均有C；MgZ.
评注：
类比是创造性的“模仿。
联想是“由此及彼”的思维跳跃.在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，乂有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性.
三条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更撮的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
例4（1999年全国）a、6是两个不同的平面，m、n是平面a及&之外的两条不同的直线，给出四个论断：
①m_Ln②aJ_B③n_1_8④m_La
以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题O
分析：
本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证。
分析与解答：
依题意可得以下四个命题：
（l）m±n,aJL6,n±B=>m±a；
（2）m±n,a±P,m±a=>n_LP；
（3）m±a,nJLB，m±ana_|_B；（4）a±P,n_LB,m±anmJLn。
不难发现，命题（3）、（4）为真命题，而命题
（1）、
（2）为假命题。
故填上命题（3）或⑷。
例5.（2004年北京）已知三个不等式：
ab>0,bc-ad>0,--->0（其中ab
a,b,c,d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）
A、0B、1C、2D、3
分析与解答：
若ab>0,he-ad>。
，则—=—一~—>0
ahab
cd
二ab>0,bc-ad>0=>>0
ab
十，ccd石thihc-ad八
若ab>0,>0测>0
abab
:
.be-ad>0,即。
。
>0,—>0=be—ad>0
ab
若阮则^^〉oabab
:
.ab>0,叩be-ad>0,—>0n〉0
ab
故三个命题均为真命题，选D。
四、存在判断型
这类问题的基本特征是：
要判断在某些确定条件下的某-•数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。
解决这类问题的基本策略是：
通常假
定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。
其中反证法在解题中起着重要的作用。
9
例6、（2004年福建）已知/（x）=4x+ax2--x\xeR）在区间［-1,1］上是增函数。
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=2x+-x3的两个非常零实根为xi、x2,试问：
是
否存在实数m，使得不等式+tm+1>|^-x2|对任意aeA及［-1,1］恒成立？
若存在，求ni的取值范围；若不存在，请说明理由。
分析与解答：
（1）=4+2心-2尤2,
・・・f（x）在［―1,1］上是增函数，
/.f\x）>0对XG［-1,1扼成立
即X，—ax—2W0,对xE［—1,1］恒成立①
设（p（x）=x1-ax-2
（p
（1）=1—。
―2V0.e（—i）=i+6/—2二—1《。
V1
・.•对尤G[-1,1],只有当Q=1时，尸（一1）=0以及当6?
=-1时，广⑴=0:
.A={a-\tij4x4-ax2-—x3=2x+—x3.
33
得x—0/或—cix—2=0,
=后+8>0
尤1，工2是方程尤2-0¥-2=0的物非零实根,
（2）*]—工』=J（X]+名）~—=yCl~+8,
=Jo,+8<3.
-对对任意。
wA及E[-1,1恒成立,
又...一1g（-l）=in2-/?
7-2>0,g（l）=m2+/n-2<0
所以，存在实数m,使不等式
m~+伽+1Z幅一方对任意QeA及E[-1,1]恒成立，其取值范围是{〃m>2,或〃?
<-2}
评注：
“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行
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