安徽大学2014第二学期量子力学期末试题(几乎全原题).pdf

1、1.1.已知算符Lv=zzyyxxeLeLeLrrr+与算符 pv=zzyyxxepepeprrr+(yxeerr,和zer分别表示直角坐标系单位矢量)，对易关系满足pipLh=,，式中zyx,=，证明 0,2=pLvv。证：zzyyxxepLepLepLpLrrrrrrrr,2222+=,222222zxyxzyxxxpLpLpppLpL+=+=vQ zzxzxzyyxyxyppLpLpppLpLp,+=()()0=+=zyyzyzzyppppippppihh；同理，,222222zyxyzyxyypLpLpppLpL+=+=v zzyzyzxxyxyxppLpLpppLpLp,+=()()

2、0=+=zxxzxzzxppppippppihh 同理，,222222yzxzzyxzzpLpLpppLpL+=+=v yyzyzyxxzxzxppLpLpppLpLp,+=()()0=+=yxxyxyyxppppippppihh 证毕 2.2.在 t=0 时，自由粒子波函数为()=axaxbxax202sin20,a.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b.求出几率最大的动量值；c.求出发现粒子在xdpaa+hh区间中的几率；d.()?,=tx（积分形式即可）。6 分 a.dxieeaeiaxiaxaaxippxx222122=hh dxeeiaxpaxixpaxixx41)(

3、)/()(21hhh+=)(1)(14122)(22)(aaxpaixaaxpaixxxepaiepaiai+=hhhhh 2221)(22sin)2()(41xxpaaapia+=hhhh 该态中粒子动量可能测得值为 xp b.)(12sin0)(22222xxxxxpaapdpddppd=hh 0)(42sin2cos422=+xxxxpapapapahhhh 02sin2cos)(22=+apapappaxxxxhhhh 有解 apxh=c.axxaxpapaaiphhhhh22cos2)()(23=发现粒子在xdpaa+hh区间中的几率为 xxdpadpahh1)(2=d.xtmpip

4、ixdpeptxxx=hhh2212)2(1)(),(33a.粒子在二维无限深方势阱中运动，=其它区域,0,0,0ayaxV，求解出能级和能量本征函数(能量最低的两个态)；b.加上微扰yH=求解最低的两个能级的一级微扰修正。解：（1）能级和能量本征函数为()Lh,)(321=+2=212221222021nnnnmaEnn ),(,sinsin221)0(21下同阱内aynaxnann=基态是非简并的，能级)(011E，本征函数为 ayaxasinsin2)0(11=。第一激发态是二重简并的，能级)(012E,本征函数为=22=22=021012ayaxaayaxasinsinsinsin)(

5、)(2)基态能级的一级修正等于H的平均值，即 =aaadxdyayaxyaHE00222)0(11)0(11)1(112sinsin4。对于和，容易算出H的矩阵元为 2481256,2aHHaHH=。在,子空间中，H的矩阵表示为 181102481102414=442aH。由0=112)(detEH，可解得),(=()2175028250=13014=81102414=2242112.)(aaaHHE。结论：在微扰作用下，基态能级升高42a，第一激发能级的重心也升高42a，同时分裂为二，裂距为0.065()2a。44求轨道角动量1=l的情况下，相应zyxlll,在()zll,2表象中：a.zl

6、的矩阵表示；b.zl的本征矢；c.yxll,矩阵表示。解：a.由于轨道角动量1=l的情况下任意方向上的分量测量可取三个数值,h，0，即本征值有h，0三个，所以zyxlll,可用33矩阵表示。若选()zll,2作为力学量完全集，即取()zll,2表象，那zl在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值 =100000001)(hzl (1)b.zl本征矢 1,1,=zll,0,1,=zll,1,1,=zll zzlllllll,)1(,22h+=zzzzllllll,h=其对应的表示为001，010,100 c.yxll,在()zll,2表象中的矩阵表示 我们知道，这只要将yxll,

7、作用于()zll,2的基矢并以()zll,2基矢展开，从展开系数来获得。由 yxzlill,h=,xyzlill,h=,+=lllz,h 因此 zzzzllllllll,)(,h+=+zzllll,)1(+=h 1,+=+zzllAlll 由2,Allllllzz=+zzzzlllllll,22h=2222)1(hhhzzllll+=2)1)(h+=zzllll )1)(+=zzllllAh 即 1,)1)(,+=+zzzzlllllllllh 同理可得 1,)1)(,+=zzzzlllllllllh 而()+=lllx21，故 1,)1)(1,)1)(2,+=zzzzzzzxllllllll

8、lllllllh 0,121,1h=xl,1,120,1h=xl,0,121,1h=xl 得系数矩阵为0101010102h,转置得=0101010102)(hxl (2)由于对易式不随表象而变，故利用对易式yxzlill,h=以及(1),(2),即得()=0i0i0i0i02i1)(zxxzyhhlllll (3)55一质量为m的粒子在一维势箱ax=axaxaxxxV0,2,0,)(（1）中运动，甚小，试求基态能量准确到2的修正值以及应满足的条件。解：本题，一维无限深势阱，微扰取 2=axH （2）xanaanEnnsin2,2)0(2222)0(=h。（3）求到二级，矩阵元一般形式 222

9、=22=0lnadxaxlaxaxnalHnasinsinsinsin （4）基态，1=n。一级修正 aHE2=11=11)(。（5）二级修正)(sin)()()()(20121122001221124=1=lElaEElHElll 122221222212118=1218=llllll)()()(coshh。a）当 l为偶数时，0=11l)(，这时 0=21)(E；b）当 l为奇数时，令,L321=1+2=kkl上式给出 2221=2221=222212=1+112=1+418=hhhkkkkkkE)()(（6）222222122+2=hhaaE （7）由)()()(011121EEE，可得

10、 a22h （8）10.10.考虑在无限深势阱（ax 0）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。解：二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为 ()Lh,21=+2=21222122221nnnnaEnn（1）基态：22211=aEh。空间部分波函数是对称的：2=21=1111xanansin,)()(。自旋部分波函数是反对称的：)()()()(122121=00。总波函数)()()()()()()()(2211221121=11110011。（2）第一激发态：2221225=aEh。空间部分波函数

11、：)1()2()2()1(212121+=S，)1()2()2()1(212121=A。自旋部分波函数：12+21212121=21)()()()()()()()(),(S，)()()()(),(122121=21A。二电子体系的总波函数 122112+2121=12+21212121122121=21212121)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ASSA 基态不简并，第一激发态是四重简并的。11.11.在时间0=t时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：)()(33)(31)0,(3320 xucxuxux+=，式中)(xun是振

12、子的第n个本征函数。（1）试求3c的数值；（2）写出在t时刻的波函数；（3）在0=t时振子能量的平均值是多少？10=t秒时呢？解：（1）,13331222=+c 得 35=c。（2）tttexuexuexutxhhh273252210)(35)(33)(31),(+=。（3）在0=t时振子能量的平均值是 hhhh217352733253121222=+=E。10=t秒时振子能量的平均值也是h217。12.12.若)(xun是H的本征态，相应本征值为nE，即nnnuEuH=,求证 nnnuaEuaH)(h=证：()()xuExuHaaaaHnnn=+=+,1,21hQ()()()nnnnnnnn

13、nnnnnnnnnnnnnuaEuauEauauHauauaaauauuaaauuauaaaaaaauuaaauuaaauaauaH21a 21a 211a 211a 21a 21hhhhhhhhhhhQhhhhh=+=+=+=+=+=+=+证毕 13.粒子在二维无限深方势阱中运动=其余区域,a0,0,0),(yaxyxV 求粒子的能级和波函数,能级存在筒并?解：定态 S.eq 为()()()yxEyxyxVm,2-22=+h 势阱内()0,=yxV，则有()()yxEyxm,2-22=h 令 ()()()yYxXyx=,，则有()()()()EyYyYdydmxXxXdxdm=+222222

14、2-2-hh 令()()12222-ExXxXdxdm=h，则()()xXExXdxdm12222-=h 由边界条件()()00=aXX，得归一化解()=3,2,1,2,sin21212221111nnmaEaxnaxXnnh 由()()yYEyYdydm22222-=h 与边界条件()()00=aYY，得归一化解()=3,2,1,2,sin22222222222nnmaEaynaxYnnh 故粒子的能级和波函数分别为()=+=+=3,2,1,2212221222212121nnnnmaEEEnn,nnh()()ayaxaynaxnayYxXnn=0,0,sinsin221,21 若21nn=

15、，能级不筒并；若21nn，能级筒并度为满足Emann22222212h=+条件的正整数解()21nn，的个数(能级一般为二重筒并)。例如基态是非筒并的，能级2221,1Emah=，本征函数为=ayaxasinsin21,1；第一激发态是二重筒并的，能级2222,125maEh=，本征函数为=ayaxa2sinsin22,1，=ayaxasin2sin21,2 14.平面转子处于()cos0,A=态,（1）求zL的可能取值及平均值;（2）求转动能可能取值及平均值。解:已知平面转子的本征态为imme21=(,.2,1,0=m)，相应转动能本征值ImmE222h=，此外imme21=也是zL的本征态

16、，即zLmmmh=，()cos0,A=2+=iieeA()222+=iieeA 122122+=AA 归一化后,()1122220,+=zL的可能取值为hh,，平均值为()02121=+hh ILz22转动能可能取值为I22h，平均值为III2222212212hhh=+。15.若系统的哈密顿算符H与某个力学量I反对易，即:0,=+HIIHIH，设E为H的本征态，本征值为E，如果0EI，试证EI也是H的本征态，本征值为E。证，0,=+HIIHIHQ IHHI=则 EIH=EHI =EEI(EEEH=Q)=EIE 又0EIQ,故 EI也是H的本征态，且本征值为E，证毕。16.求自旋为21相应zyxS,S,S在()zSS,2表象中：a.zS的矩阵表示；b.zS的本征矢；c.yxSS,矩阵表示。解：a.由于自旋为21在任意方向上的分量测量可取二个数值,2h，即本征值有2h二个，所以zyxS,S,S可用22矩阵表示。若选()zSS,2作为力学量完全集，即取()zSS,2表象，那zS在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值 =10012)(hzS (1)b.zS本征矢 21,21