安徽大学2014第二学期量子力学期末试题(几乎全原题).pdf

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1.1.已知算符Lv=zzyyxxeLeLeLrrr+与算符pv=zzyyxxepepeprrr+（yxeerr,和zer分别表示直角坐标系单位矢量），对易关系满足pipLh=,，式中zyx,=，证明0,2=pLvv。

证：

zzyyxxepLepLepLpLrrrrrrrr,2222+=,222222zxyxzyxxxpLpLpppLpL+=+=vQzzxzxzyyxyxyppLpLpppLpLp,+=（）（）0=+=zyyzyzzyppppippppihh；同理，,222222zyxyzyxyypLpLpppLpL+=+=vzzyzyzxxyxyxppLpLpppLpLp,+=（）（）0=+=zxxzxzzxppppippppihh同理，,222222yzxzzyxzzpLpLpppLpL+=+=vyyzyzyxxzxzxppLpLpppLpLp,+=（）（）0=+=yxxyxyyxppppippppihh证毕2.2.在t=0时，自由粒子波函数为（）=axaxbxax202sin20,a.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b.求出几率最大的动量值；c.求出发现粒子在xdpaa+hh区间中的几率；d.（）?

=tx（积分形式即可）。

6分a.dxieeaeiaxiaxaaxippxx222122=hhdxeeiaxpaxixpaxixx41）（）/（）（21hhh+=）

（1）（14122）（22）（aaxpaixaaxpaixxxepaiepaiai+=hhhhh2221）（22sin）2（）（41xxpaaapia+=hhhh该态中粒子动量可能测得值为xpb.）（12sin0）（22222xxxxxpaapdpddppd=hh0）（42sin2cos422=+xxxxpapapapahhhh02sin2cos）（22=+apapappaxxxxhhhh有解apxh=c.axxaxpapaaiphhhhh22cos2）（）（23=发现粒子在xdpaa+hh区间中的几率为xxdpadpahh1）（2=d.xtmpipixdpeptxxx=hhh2212）2

（1）（）,（33a.粒子在二维无限深方势阱中运动，=其它区域,0,0,0ayaxV，求解出能级和能量本征函数（能量最低的两个态）；b.加上微扰yH=求解最低的两个能级的一级微扰修正。

解：

（1）能级和能量本征函数为（）Lh,）（321=+2=212221222021nnnnmaEnn）,（,sinsin221）0（21下同阱内aynaxnann=基态是非简并的，能级）（011E，本征函数为ayaxasinsin2）0（11=。

第一激发态是二重简并的，能级）（012E,本征函数为=22=22=021012ayaxaayaxasinsinsinsin）（）

（2）基态能级的一级修正等于H的平均值，即=aaadxdyayaxyaHE00222）0（11）0（11）1（112sinsin4。

对于和，容易算出H的矩阵元为2481256,2aHHaHH=。

在,子空间中，H的矩阵表示为181102481102414=442aH。

由0=112）（detEH，可解得）,（=（）2175028250=13014=81102414=2242112.）（aaaHHE。

结论：

在微扰作用下，基态能级升高42a，第一激发能级的重心也升高42a，同时分裂为二，裂距为0.065（）2a。

44求轨道角动量1=l的情况下，相应zyxlll,在（）zll,2表象中：

a.zl的矩阵表示；b.zl的本征矢；c.yxll,矩阵表示。

解：

a.由于轨道角动量1=l的情况下任意方向上的分量测量可取三个数值,h，0，即本征值有h，0三个，所以zyxlll,可用33矩阵表示。

若选（）zll,2作为力学量完全集，即取（）zll,2表象，那zl在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值=100000001）（hzl

（1）b.zl本征矢1,1,=zll,0,1,=zll,1,1,=zllzzlllllll,）1（,22h+=zzzzllllll,h=其对应的表示为001，010,100c.yxll,在（）zll,2表象中的矩阵表示我们知道，这只要将yxll,作用于（）zll,2的基矢并以（）zll,2基矢展开，从展开系数来获得。

由yxzlill,h=,xyzlill,h=,+=lllz,h因此zzzzllllllll,）（,h+=+zzllll,）1（+=h1,+=+zzllAlll由2,Allllllzz=+zzzzlllllll,22h=2222）1（hhhzzllll+=2）1）（h+=zzllll）1）（+=zzllllAh即1,）1）（,+=+zzzzlllllllllh同理可得1,）1）（,+=zzzzlllllllllh而（）+=lllx21，故1,）1）（1,）1）（2,+=zzzzzzzxlllllllllllllllh0,121,1h=xl,1,120,1h=xl,0,121,1h=xl得系数矩阵为0101010102h,转置得=0101010102）（hxl

（2）由于对易式不随表象而变，故利用对易式yxzlill,h=以及

（1）,

（2）,即得（）=0i0i0i0i02i1）（zxxzyhhlllll（3）55一质量为m的粒子在一维势箱ax=axaxaxxxV0,2,0,）（

（1）中运动，甚小，试求基态能量准确到2的修正值以及应满足的条件。

解：

本题，一维无限深势阱，微扰取2=axH

（2）xanaanEnnsin2,2）0（2222）0（=h。

（3）求到二级，矩阵元一般形式222=22=0lnadxaxlaxaxnalHnasinsinsinsin（4）基态，1=n。

一级修正aHE2=11=11）（。

（5）二级修正）（sin）（）（）（）（20121122001221124=1=lElaEElHElll122221222212118=1218=llllll）（）（）（coshh。

a）当l为偶数时，0=11l）（，这时0=21）（E；b）当l为奇数时，令,L321=1+2=kkl上式给出2221=2221=222212=1+112=1+418=hhhkkkkkkE）（）（（6）222222122+2=hhaaE（7）由）（）（）（011121EEE，可得a22h（8）10.10.考虑在无限深势阱（ax0）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。

解：

二电子体系，总波函数反对称。

一维势阱中，体系能级为（）Lh,21=+2=21222122221nnnnaEnn

（1）基态：

22211=aEh。

空间部分波函数是对称的：

2=21=1111xanansin,）（）（。

自旋部分波函数是反对称的：

）（）（）（）（122121=00。

总波函数）（）（）（）（）（）（）（）（2211221121=11110011。

（2）第一激发态：

2221225=aEh。

空间部分波函数：

）1（）2（）2（）1（212121+=S，）1（）2（）2（）1（212121=A。

自旋部分波函数：

12+21212121=21）（）（）（）（）（）（）（）（）,（S，）（）（）（）（）,（122121=21A。

二电子体系的总波函数122112+2121=12+21212121122121=21212121）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（ASSA基态不简并，第一激发态是四重简并的。

11.11.在时间0=t时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：

）（）（33）（31）0,（3320xucxuxux+=，式中）（xun是振子的第n个本征函数。

（1）试求3c的数值；

（2）写出在t时刻的波函数；（3）在0=t时振子能量的平均值是多少？

10=t秒时呢？

解：

（1）,13331222=+c得35=c。

（2）tttexuexuexutxhhh273252210）（35）（33）（31）,（+=。

（3）在0=t时振子能量的平均值是hhhh217352733253121222=+=E。

10=t秒时振子能量的平均值也是h217。

12.12.若）（xun是H的本征态，相应本征值为nE，即nnnuEuH=,求证nnnuaEuaH）（h=证：

（）（）xuExuHaaaaHnnn=+=+,1,21hQ（）（）（）nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuaEuauEauauHauauaaauauuaaauuauaaaaaaauuaaauuaaauaauaH21a21a211a211a21a21hhhhhhhhhhhQhhhhh=+=+=+=+=+=+=+证毕13.粒子在二维无限深方势阱中运动=其余区域,a0,0,0）,（yaxyxV求粒子的能级和波函数,能级存在筒并?

解：

定态S.eq为（）（）（）yxEyxyxVm,2-22=+h势阱内（）0,=yxV，则有（）（）yxEyxm,2-22=h令（）（）（）yYxXyx=,，则有（）（）（）（）EyYyYdydmxXxXdxdm=+2222222-2-hh令（）（）12222-ExXxXdxdm=h，则（）（）xXExXdxdm12222-=h由边界条件（）（）00=aXX，得归一化解（）=3,2,1,2,sin21212221111nnmaEaxnaxXnnh由（）（）yYEyYdydm22222-=h与边界条件（）（）00=aYY，得归一化解（）=3,2,1,2,sin22222222222nnmaEaynaxYnnh故粒子的能级和波函数分别为（）=+=+=3,2,1,2212221222212121nnnnmaEEEnn,nnh（）（）ayaxaynaxnayYxXnn=0,0,sinsin221,21若21nn=，能级不筒并；若21nn，能级筒并度为满足Emann22222212h=+条件的正整数解（）21nn，的个数（能级一般为二重筒并）。

例如基态是非筒并的，能级2221,1Emah=，本征函数为=ayaxasinsin21,1；第一激发态是二重筒并的，能级2222,125maEh=，本征函数为=ayaxa2sinsin22,1，=ayaxasin2sin21,214.平面转子处于（）cos0,A=态,

（1）求zL的可能取值及平均值;

（2）求转动能可能取值及平均值。

解:

已知平面转子的本征态为imme21=（,.2,1,0=m），相应转动能本征值ImmE222h=，此外imme21=也是zL的本征态，即zLmmmh=，（）cos0,A=2+=iieeA（）222+=iieeA122122+=AA归一化后,（）1122220,+=zL的可能取值为hh,，平均值为（）02121=+hhILz22转动能可能取值为I22h，平均值为III2222212212hhh=+。

15.若系统的哈密顿算符H与某个力学量I反对易，即:

0,=+HIIHIH，设E为H的本征态，本征值为E，如果0EI，试证EI也是H的本征态，本征值为E。

证，0,=+HIIHIHQIHHI=则EIH=EHI=EEI（EEEH=Q）=EIE又0EIQ,故EI也是H的本征态，且本征值为E，证毕。

16.求自旋为21相应zyxS,S,S在（）zSS,2表象中：

a.zS的矩阵表示；b.zS的本征矢；c.yxSS,矩阵表示。

解：

a.由于自旋为21在任意方向上的分量测量可取二个数值,2h，即本征值有2h二个，所以zyxS,S,S可用22矩阵表示。

若选（）zSS,2作为力学量完全集，即取（）zSS,2表象，那zS在自身表象中的表示自然为对角矩阵，而对角元就是它的本征值=10012）（hzS

（1）b.zS本征矢21,21