力学中的泛函分析和变分原理第八讲.pdf

1、力学中的泛函分析 与变分原理 研究生课程 大连理工大学工程力学系 授课教师：郭旭教授授课教师：郭旭教授 第八第八讲：有界线性泛函与共轭空间讲：有界线性泛函与共轭空间 课课 程程 回回 顾顾 设和都是线性赋范空间，定义在整个上，而在上取值的有界线性算子的全体，记为,.如果规定,中任意两个算子 (1)加法为：1+2=1+2 (2)数与算子乘积为：=则,便成为线性空间。定理：设为线性赋范空间，而为Banach空间，则,为Banach空间。算子强收敛 设 ,如果对 ,均有 0,则称算子 强收敛于.课课 程程 回回 顾顾 逆算子 设有算子:,如果对于每一个 均有唯一的 与之对应，使得 =,则称算子是一对

2、一的(或单射的)，这些确定了一个由到的算子，称为的逆算子，记为1.定理：线性算子是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。线性算子的谱 设为一复常数，是复线性空间上的线性算子，为恒同算子，如果 具有有界逆算子，则称为的一个正则值。正则值的全体称为正则集，以 表示，如果不属于正则集，即 不具有有界的逆算子，则称为的谱点，谱点的集合称为算子的谱，以 表示。如果对于某个0,使得 0=00有非零解，则称0为的固有值，0称为相应0的固有元素，显然固有值属于谱。课课 程程 回回 顾顾 不动点 设为Banach空间，为由到的算子，且 非空，如果点,满足=,则称为算子的不动点，或者说不动点是算子方程=的解。

3、压缩算子、压缩系数 设集合 ,如果存在常数 0,1,使对任意的,均有不等式 ,则称为集合上的压缩算子，称为压缩系数。压缩映像原理 设算子映射Banach空间的闭集为自己，且为压缩算子，压缩系数为,则算子在内存在唯一的不动点,使得=.若0为内的任意点，作序列+1=,=0,1,2,则序列 ,并有误差估计 1 0 0 课课 程程 回回 顾顾 泛函 设是实数域上的线性赋范空间，是的线性子空间，:,若满足：,+=+则是上的一个线性泛函，或者说由到实数域的算子称为泛函。有界线性泛函在处的值()也可表示为：=,.的线性是指：+,=,+,.共轭空间 定义在整个线性赋范空间上的所有有界线性泛函所构成的空间,称为

4、空间的共轭空间，记为.4.2 某些空间的共轭 1 维欧氏空间的共轭空间 空间中每个元素均可表示为个有序数组=1,2,其范数定义为=2=11/2.若给定一个有序数组 1,2,则 =1是上的一个有界线性泛函。若()是上的有界线性泛函，取一组基 1,其中=0,1,其第个分量为1，其余为0.中任一元素均可表示为=1.由于的线性，有 =1=1=1 4.2.1 其中=.即上任一有界线性泛函均可表示为(4.2.1)的形式，或者说4.2.1 是定义在上有界线性泛函的一般形式。4.2 某些空间的共轭 2 维欧氏空间的共轭空间 由 4.2.1 可知，由它在个基向量1,2,上的值1,2,唯一地确定，或者每给定个标量

5、1,2,由 4.2.1 可确定上的一个泛函。特别地,若把个标量分别取为 1,2,=1,0,0,0,1,0,0,0,1,则由 4.2.1 可以确定个泛函，分别记为1,2,它们在基向量上的取值为=1,=0,1,2,称为 1,的对偶基。设维向量空间的基为 1,1,2,是的基。上的任一线性泛函可表示为：=11+22+.维欧氏空间的共轭空间是它自身，即=.定理：设是一个有限维空间，若0,对一切 都有 0=0,即 ,0,=0 0=.4.2 某些空间的共轭 3 Hilbert空间的共轭空间 为Hilbert空间，固定 ,=,是定义在上的有界线性泛函。由 =,又有 是 中的下确界，于是有 .若取=,有 =,=

6、,故.比较前后关于 的不等式，有=,即泛函的范数有界。显然不同的生成不同的泛函.因此，利用空间上的元素可生成上的有界线性泛函，即Hilbert空间的线性泛函是由同空间的元素产生。Risez表现定理：对于Hilbert空间上任一有界线性泛函,存在唯一的 ,使得：=,且=.反之，任一 唯一地确定了上的一个有界线性泛函,满足 =,且=.Hilbert空间是自共轭的。4.2 某些空间的共轭 4 力学中的共轭空间 令和是应力和应变空间，线弹性体应变能是 =12 这表示应力(1/2倍)是应变空间上的(连续)线性泛函，应力空间是应变空间的共轭空间。物体的总势能：=12 对,是对,上的连续线性泛函映射为标量势能.4.3 弱收敛性 5 弱收敛性 设为线性赋范空间，,0,如果对于每一个 ,均有lim=0，则称 弱收敛于0,记作：0.设为线性赋范空间，,0.如果对于每一个 均有 0,则称泛函序列 弱*收敛于泛函0,记作0.强收敛蕴含着弱收敛，弱收敛一般并不蕴含着强收敛。谢谢大家！谢谢大家！欢迎欢迎提问！提问！研究生课程