力学中的泛函分析和变分原理第八讲.pdf

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力学中的泛函分析与变分原理研究生课程大连理工大学工程力学系授课教师：

郭旭教授授课教师：

郭旭教授第八第八讲：

有界线性泛函与共轭空间讲：

有界线性泛函与共轭空间课课程程回回顾顾设和都是线性赋范空间，定义在整个上，而在上取值的有界线性算子的全体，记为,.如果规定,中任意两个算子

（1）加法为：

1+2=1+2

（2）数与算子乘积为：

=则,便成为线性空间。

定理：

设为线性赋范空间，而为Banach空间，则,为Banach空间。

算子强收敛设,如果对,均有0,则称算子强收敛于.课课程程回回顾顾逆算子设有算子:

如果对于每一个均有唯一的与之对应，使得=,则称算子是一对一的（或单射的），这些确定了一个由到的算子，称为的逆算子，记为1.定理：

线性算子是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。

线性算子的谱设为一复常数，是复线性空间上的线性算子，为恒同算子，如果具有有界逆算子，则称为的一个正则值。

正则值的全体称为正则集，以表示，如果不属于正则集，即不具有有界的逆算子，则称为的谱点，谱点的集合称为算子的谱，以表示。

如果对于某个0,使得0=00有非零解，则称0为的固有值，0称为相应0的固有元素，显然固有值属于谱。

课课程程回回顾顾不动点设为Banach空间，为由到的算子，且非空，如果点,满足=,则称为算子的不动点，或者说不动点是算子方程=的解。

压缩算子、压缩系数设集合,如果存在常数0,1,使对任意的,均有不等式,则称为集合上的压缩算子，称为压缩系数。

压缩映像原理设算子映射Banach空间的闭集为自己，且为压缩算子，压缩系数为,则算子在内存在唯一的不动点,使得=.若0为内的任意点，作序列+1=,=0,1,2,则序列,并有误差估计100课课程程回回顾顾泛函设是实数域上的线性赋范空间，是的线性子空间，:

若满足：

+=+则是上的一个线性泛函，或者说由到实数域的算子称为泛函。

有界线性泛函在处的值（）也可表示为：

=,.的线性是指：

+,=,+,.共轭空间定义在整个线性赋范空间上的所有有界线性泛函所构成的空间,称为空间的共轭空间，记为.4.2某些空间的共轭1维欧氏空间的共轭空间空间中每个元素均可表示为个有序数组=1,2,其范数定义为=2=11/2.若给定一个有序数组1,2,则=1是上的一个有界线性泛函。

若（）是上的有界线性泛函，取一组基1,其中=0,1,其第个分量为1，其余为0.中任一元素均可表示为=1.由于的线性，有=1=1=14.2.1其中=.即上任一有界线性泛函均可表示为（4.2.1）的形式，或者说4.2.1是定义在上有界线性泛函的一般形式。

4.2某些空间的共轭2维欧氏空间的共轭空间由4.2.1可知，由它在个基向量1,2,上的值1,2,唯一地确定，或者每给定个标量1,2,由4.2.1可确定上的一个泛函。

特别地,若把个标量分别取为1,2,=1,0,0,0,1,0,0,0,1,则由4.2.1可以确定个泛函，分别记为1,2,它们在基向量上的取值为=1,=0,1,2,称为1,的对偶基。

设维向量空间的基为1,1,2,是的基。

上的任一线性泛函可表示为：

=11+22+.维欧氏空间的共轭空间是它自身，即=.定理：

设是一个有限维空间，若0,对一切都有0=0,即,0,=00=.4.2某些空间的共轭3Hilbert空间的共轭空间为Hilbert空间，固定,=,是定义在上的有界线性泛函。

由=,又有是中的下确界，于是有.若取=,有=,=,故.比较前后关于的不等式，有=,即泛函的范数有界。

显然不同的生成不同的泛函.因此，利用空间上的元素可生成上的有界线性泛函，即Hilbert空间的线性泛函是由同空间的元素产生。

Risez表现定理：

对于Hilbert空间上任一有界线性泛函,存在唯一的,使得：

=,且=.反之，任一唯一地确定了上的一个有界线性泛函,满足=,且=.Hilbert空间是自共轭的。

4.2某些空间的共轭4力学中的共轭空间令和是应力和应变空间，线弹性体应变能是=12这表示应力（1/2倍）是应变空间上的（连续）线性泛函，应力空间是应变空间的共轭空间。

物体的总势能：

=12对,是对,上的连续线性泛函映射为标量势能.4.3弱收敛性5弱收敛性设为线性赋范空间，,0,如果对于每一个,均有lim=0，则称弱收敛于0,记作：

0.设为线性赋范空间，,0.如果对于每一个均有0,则称泛函序列弱*收敛于泛函0,记作0.强收敛蕴含着弱收敛，弱收敛一般并不蕴含着强收敛。

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