高等光学教程-第4章参考答案.pdf

1、第四章第四章 标量衍射理论基础标量衍射理论基础 4.1 证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。证明：球面是中心位于面上的发散球面波的波面，假定面 上的光场分布表示为 2S1S2Srjkr)式中exp(Ur表示产生发散球面波的点光源到球面2S上任意一点的距离。1 exp()cos()cos(,)rjjknrnrrrUUUn,rn rkr 当时，有Rr，所以这时有 1),cos(rn 2)exp()exp(1rjkrjkrjkrrjkjknUUU 当时，上式分母中的Rr可用R来代替，于是 2exp()1limlimlim(cossin)RRRjkrRjkRkrjkrnRRUU lim0jkr

2、ReR 4.2 参考图 4-8，考虑在瑞利索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即 010110101exp()exp()()jkrjkrPrrG(1)证明G的法线方向的导数在孔径平面上为零。(2)利用这个格林函数，求出用孔径上的任意扰动来表示0()pU的表达式，要得到这个结果必须用什么样的边界条件。(3)利用(2)的结果，求出当孔径被从2P点发散的球面波照明时0()pU的表达式 证明:下面是教材中图 4-8 1（1）由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点和)(1PG0P0P发出的两个初相位相同的单位振幅的球面波。孔径平面上任一点的1S1PG值为 010101011)exp()exp()(

3、rrjkrjkrPG （P4.2-1）1()PG的法向导数为 0101010101010101)exp(1),cos()exp(1),cos(rrrrnrnGjkjkrjkrrjkn （P4.2-2）对于互为镜像点的和0P0P来说，有),cos(),cos(0101rnrn 0101rr （P4.2-3）将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到 0nG （P4.2-4）（2）根据（4-22）式，观察点的光扰动可以用整个平面上的光扰动U和它的法向导数来表示 0P1S1d41)(0SsnnPGUGUU （P4.2-5）由，得 0101rr01011)exp(2)(rjkrPG （P4.2-6）将上

4、式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到 11d)exp(21d41)(01010SSsrjkrnsGnPUUU （P4.2-7）为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径上的场去计算点的复振幅分布，只需要规定如下两个边界条件：0P)(0PU（a）在孔径上，场分布的法向导数nU 与不存在衍射屏时的值完全相同。（b）在面上除去孔径外的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面1S0n U。2根据上述边界条件 01001exp()11()dd42jkrPsnnrUUUGs （P4.2-8）（3）参考教材中图 4-5，孔径由位于点的发散球面波照明，即 2P)exp()(21211

5、jkrrAPU 21212121exp()1cos(,)jkrAjknrUn rr 因为21r，即211rk，因此有 212121exp()cos(,)jkrAjknrUn r 将上式代入（P4.2-8）式，得到点光场的复振幅 0PsrjkrrjkrAjkPd)exp()exp(),cos(21)(01012121210rnU srrrrjkjAd),cos()(exp2101210121rn 4.3 考虑非单色扰动，其中心频率为(,)P tu而带宽为，定义一个相关的复数值扰动，它只是由的负频分量构成。因此 (,)P texp(2ju(,)P(,)P tu0(,)P tt duU 其中(,)P

6、U是的傅里叶谱。假定几何关系如图 p4-3(,)P tu所示，证明若01nrv 则 图 p4-3 010101exp()1(,)(,)cos(,)jkrP tP trdsjruun01 式中v，而2k，为介质的折射率，为光在其中的传播速度。nv 3证明：根据方程（4-52），我们写出 sePjvrrtPvrtjdd),(22),cos()(012101010Unu),(tPu的中心频率为，带宽为。当)2,2(时，上式中第一个积分才不为 0，在的条件下，变化很小，因此可以用代替并将它拿出积分号之外。在vr01的条件下用)2exp(j01vr代替)2exp(01vrj，因此有方程 20100110

7、1cos(,)1(,)exp()(,)ddjtP tjkrPesjrn ruU 当点在之外时，上式改写为 1P0),(1tPusrrk jtPjtPd),cos()exp(),(1),(0101010rnuu 式中 v ，2k 4.4（1）一个半径为 1cm 的圆孔用=500nm 的单色平面波垂直照明，希望在垂直于光轴平面上 1cm 的观察区内观察菲涅耳衍射，求观察距离至少为多少？（2）有一个边长为 2.5cm 的正方形孔径，若要观察夫琅和费衍射，求观察距离至少为多少？解答：（1）运用(4-109)式，代入数据，得 2223max0.254xym 取 得 332.5zm1.36zm（2）运用(

8、4-118)式 22max22z，代入数据，得 1636zm 4.5 用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏，分别求出衍射屏后表面复振幅的角谱。（1）直径为 d 的圆孔。（2）直径为 d 的不透明圆屏。（3）宽度为的单缝 a（4）直径为的金属细丝 a解答.（1）22221coscos2coscoscos,cosddJAt 4（2）22221coscos2coscoscos,coscos,cosddJAt（3）coscossinccos,cosaaAt（4）coscossinccos,coscos,cosaaAt 以上运用了巴比涅原理。4.6 有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4-6 所示

9、的双缝，缝关于、轴对称，缝长为X、缝宽为Y，中心相距，设光波波长为，双缝所在的平面与观察平面相距di，求屏上夫琅和费衍射的强度分布 图 p4-6 解答：透射光波场 YXYX2rectrect2rectrect),(),(),(0tUU)exp()exp()sinc()sinc(),(yyyxfjfjYfXfXYUF 2sincsinccosiiiXxYyXYddyd 夫琅和费衍射图样 221(,)exp()exp()2sincsinccos2iiiiijkXxYyx yjkzxyXYyj dddd Ud 光强分布 222222(,)sincsinccosiiiiXYXxYyIx yddd Uy

10、d 4.7 若用一个单位振幅的单色平面波垂直照明 5（1）图 p4-7(a)所示的方形环带，图中所示的两正方形中心重合，对应边平行，大小两正方形的边长分别为和2。02LiL（2）图 p4-7(b)所示的环状孔径，图中所示的两正方形中心重合，大小两圆的直径分别为和2。02LiL设光波波长为，孔径到观察平面的距离为 z，试导出该方形环带和环状孔径的夫琅和费衍射图样的表达式。图 p4-7(a)图 p4-7(b)解答：解答：(1)00(,)rectrectrectrect2222iiLLLL t 22220022224(,)sincsincsincsinciioiL xL yL xL yI x yLL

11、zzzzz（2）0()irrrcirccircLLt 不计（4.8-8）式中的指数因子zkrjjkzee22，得到 01010(2)(2)()()iiL JLW JLraa UU tF，rz，2rxy2，22222010101012222222200(2)(2)2(2)(2)()iiiiiiL JLL JLL L JLJLILLL LU 4.8 设光沿z方向传播，在计算菲涅耳衍射时，一种方法是先从平面上的孔径开始，计算与相距并垂直于1P001zz轴的二维平面上的场分布，再由处计算到处，最后计算到观察平面上的场分布。另一种计算方法是由孔径1P1P2PnP0出发直接一次按计算到观察平面。证明上述两

12、种方法是等价的，式中为平面nzz1zz2nPiz1iP 6至平面间的距离，i=1,2,3,。iP,(n)解答：设孔径上的场分布为0U，垂直于的面上由菲涅耳公式得到场分布 1P(1dd),(),(,(101yxyxhU)UU 即 ),(),(),10yxyxyxhU)(2exp221111yxzjkzjejkzh,(yx)(exp)exp(221111yxffzjjkzhHF)U,(yxF1(100),(),(),(),HUhUyxyxyxyxFFF(2U),(),()21yxyxyhU,x 所以 21021),(),()HHUHUyxyxyFFF2(U,x nnyHHUU0),)FFx(yx,

13、(H12)()(exp)exp()exp(),2221210yxnnffzzzjjkzjkzyUFexp(xjkz)(exp),220yxffzjyUFexp(F(nU(x(xjkz,x),(),(),00yxyxyhUHUFF 所以 ),(),()0yxyxyhU 结论成立。4.9 有一波长为的点光源，位于直角坐标系中的),0,0(0z点（）00zxoy平面上球面波的相位分布；(1)求在(2)若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似；z(3)在使用了上述二次曲面近似以后，与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。解答：发散球面波的一般表达式为)(krtjerA（1）在xo

14、y平面上，2220jk，近似表达式为 22020 xyjkjkzzee xyzeejkr（2）发散球面波指数因子的一般表达式为 722222000()|2()xyjkjkxyz zjk z zz zjkreeee（3）krt 1，222002()xytk zzzz 当b为一小量时有展开式 22/181211)1(bbb 因此有 bb211)1(2/1 所以 22210002()xyk zzkrzz 所以相位落后。4.10 有一波长为朝着点会聚的球面波（）。),0,0(0z00z1、求在xoy平面上球面波的相位分布。2、若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似。z3、在使用了上述二次曲面近

15、似以后与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。解答：会聚球面波的一般表达式为 )(krterA（1）在xoy平面上，2022zyxjkjkree，近似式为 02202zyxjkjkzee（2）会聚球面波指数因子的一般表达式为|2|)(02202022zzyxjkzzjkzzyxjkjkreeee（3）krt 1，|2|02202zzyxzzkt 当b为一小量时，有展开式 22/181211)1(bbb 因此有 bb211)1(2/1 所以 0|2|022012krzzyxzzk 所以相位超前。4.11 在图 4-17 中设衍射孔径的宽度为，亮区和暗区之间为过渡区。证明过渡区的边

16、界W2 8由抛物线或来描述。zxW4)(2zxW4)(2证明证明：图 p4-11 教材(4.7-6)式所表示的衍射积分中主要贡献来自于图 4-17 中平面上宽度为4z的正方形部分，该正方形的中心点位于 y x和，面积与成正比，表示观察点(,与zz)x y平面之间的距离。观察点的三维坐标直接决定了(,)x y z平面上对积分有贡献的正方形的中心和边长。在图 p4-11 中共有 4 条曲线，分别用 1，2，3，4 编号，画曲线 1，2 时对应的坐标x0，曲线 1 是亮区与过渡区的交界线，对于亮区来说要求积分区域全部在孔径平面上透光的范围之内。因此由边长为的正方形确定 1)x2(W 1)4z2(Wx 所以21()4Wxz 曲线 2 是暗区与过渡区的交界线，对于暗区来说要求积分区域全部在孔径平面上不透光的范围之内。因此由边长为的正方形确定 22()Wx 22()4xWz 所以22()4Wxz 代替1x或2x，将曲线方程表示为 x考虑一般情况，用2()4Wxz 曲线 3、曲线 4 与曲线 1、曲线 2 不同之处在于坐标x取负值，对于曲线 3 来说长度差 33|Wx4Wxz 23()4Wxz 曲线