高等光学教程-第4章参考答案.pdf

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第四章第四章标量衍射理论基础标量衍射理论基础4.1证明（4-21）式所示的索末菲辐射条件成立。

证明：

球面是中心位于面上的发散球面波的波面，假定面上的光场分布表示为2S1S2Srjkr）式中exp（Ur表示产生发散球面波的点光源到球面2S上任意一点的距离。

1exp（）cos（）cos（,）rjjknrnrrrUUUn,rnrkr当时，有Rr，所以这时有1）,cos（rn2）exp（）exp（1rjkrjkrjkrrjkjknUUU当时，上式分母中的Rr可用R来代替，于是2exp（）1limlimlim（cossin）RRRjkrRjkRkrjkrnRRUUlim0jkrReR4.2参考图4-8，考虑在瑞利索末菲理论中采用下式所表示的格林函数，即010110101exp（）exp（）（）jkrjkrPrrG

（1）证明G的法线方向的导数在孔径平面上为零。

（2）利用这个格林函数，求出用孔径上的任意扰动来表示0（）pU的表达式，要得到这个结果必须用什么样的边界条件。

（3）利用

（2）的结果，求出当孔径被从2P点发散的球面波照明时0（）pU的表达式证明:

下面是教材中图4-81

（1）由两项迭加而成，它们分别表示从互为镜像的点和）（1PG0P0P发出的两个初相位相同的单位振幅的球面波。

孔径平面上任一点的1S1PG值为010101011）exp（）exp（）（rrjkrjkrPG（P4.2-1）1（）PG的法向导数为0101010101010101）exp

（1）,cos（）exp

（1）,cos（rrrrnrnGjkjkrjkrrjkn（P4.2-2）对于互为镜像点的和0P0P来说，有）,cos（）,cos（0101rnrn0101rr（P4.2-3）将以上关系式代入（P4.2-2）式，得到0nG（P4.2-4）

（2）根据（4-22）式，观察点的光扰动可以用整个平面上的光扰动U和它的法向导数来表示0P1S1d41）（0SsnnPGUGUU（P4.2-5）由，得0101rr01011）exp

（2）（rjkrPG（P4.2-6）将上式和（P4.2-4）式一同代入（P4.2-5）式，得到11d）exp（21d41）（01010SSsrjkrnsGnPUUU（P4.2-7）为了将上式所表示的结果进一步简化，根据孔径上的场去计算点的复振幅分布，只需要规定如下两个边界条件：

0P）（0PU（a）在孔径上，场分布的法向导数nU与不存在衍射屏时的值完全相同。

（b）在面上除去孔径外的其余部分，即位于衍射屏的几何阴影区的那一部分上面1S0nU。

2根据上述边界条件01001exp（）11（）dd42jkrPsnnrUUUGs（P4.2-8）（3）参考教材中图4-5，孔径由位于点的发散球面波照明，即2P）exp（）（21211jkrrAPU21212121exp（）1cos（,）jkrAjknrUnrr因为21r，即211rk，因此有212121exp（）cos（,）jkrAjknrUnr将上式代入（P4.2-8）式，得到点光场的复振幅0PsrjkrrjkrAjkPd）exp（）exp（）,cos（21）（01012121210rnUsrrrrjkjAd）,cos（）（exp2101210121rn4.3考虑非单色扰动，其中心频率为（,）Ptu而带宽为，定义一个相关的复数值扰动，它只是由的负频分量构成。

因此（,）Ptexp（2ju（,）P（,）Ptu0（,）PttduU其中（,）PU是的傅里叶谱。

假定几何关系如图p4-3（,）Ptu所示，证明若01nrv则图p4-3010101exp（）1（,）（,）cos（,）jkrPtPtrdsjruun01式中v，而2k，为介质的折射率，为光在其中的传播速度。

nv3证明：

根据方程（4-52），我们写出sePjvrrtPvrtjdd）,（22）,cos（）（012101010Unu）,（tPu的中心频率为，带宽为。

当）2,2（时，上式中第一个积分才不为0，在的条件下，变化很小，因此可以用代替并将它拿出积分号之外。

在vr01的条件下用）2exp（j01vr代替）2exp（01vrj，因此有方程201001101cos（,）1（,）exp（）（,）ddjtPtjkrPesjrnruU当点在之外时，上式改写为1P0）,（1tPusrrkjtPjtPd）,cos（）exp（）,

（1）,（0101010rnuu式中v，2k4.4

（1）一个半径为1cm的圆孔用=500nm的单色平面波垂直照明，希望在垂直于光轴平面上1cm的观察区内观察菲涅耳衍射，求观察距离至少为多少？

（2）有一个边长为2.5cm的正方形孔径，若要观察夫琅和费衍射，求观察距离至少为多少？

解答：

（1）运用（4-109）式，代入数据，得2223max0.254xym取得332.5zm1.36zm

（2）运用（4-118）式22max22z，代入数据，得1636zm4.5用单位振幅的单色平面波垂直照明下列衍射屏，分别求出衍射屏后表面复振幅的角谱。

（1）直径为d的圆孔。

（2）直径为d的不透明圆屏。

（3）宽度为的单缝a（4）直径为的金属细丝a解答.

（1）22221coscos2coscoscos,cosddJAt4

（2）22221coscos2coscoscos,coscos,cosddJAt（3）coscossinccos,cosaaAt（4）coscossinccos,coscos,cosaaAt以上运用了巴比涅原理。

4.6有一单位振幅的单色平面波垂直照明如图p4-6所示的双缝，缝关于、轴对称，缝长为X、缝宽为Y，中心相距，设光波波长为，双缝所在的平面与观察平面相距di，求屏上夫琅和费衍射的强度分布图p4-6解答：

透射光波场YXYX2rectrect2rectrect）,（）,（）,（0tUU）exp（）exp（）sinc（）sinc（）,（yyyxfjfjYfXfXYUF2sincsinccosiiiXxYyXYddyd夫琅和费衍射图样221（,）exp（）exp（）2sincsinccos2iiiiijkXxYyxyjkzxyXYyjddddUd光强分布222222（,）sincsinccosiiiiXYXxYyIxydddUyd4.7若用一个单位振幅的单色平面波垂直照明5

（1）图p4-7（a）所示的方形环带，图中所示的两正方形中心重合，对应边平行，大小两正方形的边长分别为和2。

02LiL

（2）图p4-7（b）所示的环状孔径，图中所示的两正方形中心重合，大小两圆的直径分别为和2。

02LiL设光波波长为，孔径到观察平面的距离为z，试导出该方形环带和环状孔径的夫琅和费衍射图样的表达式。

图p4-7（a）图p4-7（b）解答：

解答：

（1）00（,）rectrectrectrect2222iiLLLLt22220022224（,）sincsincsincsinciioiLxLyLxLyIxyLLzzzzz

（2）0（）irrrcirccircLLt不计（4.8-8）式中的指数因子zkrjjkzee22，得到01010

（2）

（2）（）（）iiLJLWJLraaUUtF，rz，2rxy2，22222010101012222222200

（2）

（2）2

（2）

（2）（）iiiiiiLJLLJLLLJLJLILLLLU4.8设光沿z方向传播，在计算菲涅耳衍射时，一种方法是先从平面上的孔径开始，计算与相距并垂直于1P001zz轴的二维平面上的场分布，再由处计算到处，最后计算到观察平面上的场分布。

另一种计算方法是由孔径1P1P2PnP0出发直接一次按计算到观察平面。

证明上述两种方法是等价的，式中为平面nzz1zz2nPiz1iP6至平面间的距离，i=1,2,3,。

iP,（n）解答：

设孔径上的场分布为0U，垂直于的面上由菲涅耳公式得到场分布1P（1dd）,（）,（,（101yxyxhU）UU即）,（）,（）,10yxyxyxhU）（2exp221111yxzjkzjejkzh,（yx）（exp）exp（221111yxffzjjkzhHF）U,（yxF1（100）,（）,（）,（）,HUhUyxyxyxyxFFF（2U）,（）,（）21yxyxyhU,x所以21021）,（）,（）HHUHUyxyxyFFF2（U,xnnyHHUU0）,）FFx（yx,（H12）（）（exp）exp（）exp（）,2221210yxnnffzzzjjkzjkzyUFexp（xjkz）（exp）,220yxffzjyUFexp（F（nU（x（xjkz,x）,（）,（）,00yxyxyhUHUFF所以）,（）,（）0yxyxyhU结论成立。

4.9有一波长为的点光源，位于直角坐标系中的）,0,0（0z点（）00zxoy平面上球面波的相位分布；

（1）求在

（2）若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似；z（3）在使用了上述二次曲面近似以后，与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。

解答：

发散球面波的一般表达式为）（krtjerA

（1）在xoy平面上，2220jk，近似表达式为22020xyjkjkzzeexyzeejkr

（2）发散球面波指数因子的一般表达式为722222000（）|2（）xyjkjkxyzzjkzzzzjkreeee（3）krt1，222002（）xytkzzzz当b为一小量时有展开式22/181211）1（bbb因此有bb211）1（2/1所以22210002（）xykzzkrzz所以相位落后。

4.10有一波长为朝着点会聚的球面波（）。

）,0,0（0z00z1、求在xoy平面上球面波的相位分布。

2、若以轴为光轴，求该球面波相位因子的二次曲面近似。

z3、在使用了上述二次曲面近似以后与严格球面波的相位比较，相位是超前还是落后，请说明理由。

解答：

会聚球面波的一般表达式为）（krterA

（1）在xoy平面上，2022zyxjkjkree，近似式为02202zyxjkjkzee

（2）会聚球面波指数因子的一般表达式为|2|）（02202022zzyxjkzzjkzzyxjkjkreeee（3）krt1，|2|02202zzyxzzkt当b为一小量时，有展开式22/181211）1（bbb因此有bb211）1（2/1所以0|2|022012krzzyxzzk所以相位超前。

4.11在图4-17中设衍射孔径的宽度为，亮区和暗区之间为过渡区。

证明过渡区的边界W28由抛物线或来描述。

zxW4）（2zxW4）（2证明证明：

图p4-11教材（4.7-6）式所表示的衍射积分中主要贡献来自于图4-17中平面上宽度为4z的正方形部分，该正方形的中心点位于yx和，面积与成正比，表示观察点（,与zz）xy平面之间的距离。

观察点的三维坐标直接决定了（,）xyz平面上对积分有贡献的正方形的中心和边长。

在图p4-11中共有4条曲线，分别用1，2，3，4编号，画曲线1，2时对应的坐标x0，曲线1是亮区与过渡区的交界线，对于亮区来说要求积分区域全部在孔径平面上透光的范围之内。

因此由边长为的正方形确定1）x2（W1）4z2（Wx所以21（）4Wxz曲线2是暗区与过渡区的交界线，对于暗区来说要求积分区域全部在孔径平面上不透光的范围之内。

因此由边长为的正方形确定22（）Wx22（）4xWz所以22（）4Wxz代替1x或2x，将曲线方程表示为x考虑一般情况，用2（）4Wxz曲线3、曲线4与曲线1、曲线2不同之处在于坐标x取负值，对于曲线3来说长度差33|Wx4Wxz23（）4Wxz曲线