同济大学《高等数学第五版》习题答案.pdf

1、习题 11 1.设 A=(,5)(5,+),B=10,3),写出 AB,AB,AB 及 A(AB)的表达式.解 AB=(,3)(5,+),AB=10,5),AB=(,10)(5,+),A(AB)=10,5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:(AB)C=AC B C.证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xB C xAC B C,所以 (AB)C=AC B C.3.设映射 f:X Y,AX,BX.证明 (1)f(AB)=f(A)f(B);(2)f(AB)f(A)f(B).证明 因为 yf(AB)xAB,使 f(x)=y (因为 xA 或 xB)yf(A)或 yf(B)y f

2、(A)f(B),所以 f(AB)=f(A)f(B).(2)因为 yf(AB)xAB,使 f(x)=y(因为 xA 且 xB)yf(A)且 yf(B)y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B).4.设映射f:XY,若存在一个映射g:YX,使,其中IXIfg=?YIgf=?X、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IX x=x;对于每一个yY,有IY y=y.证明:f是双射,且g是f的逆映射:g=f 1.证明 因为对于任意的yY,有x=g(y)X,且f(x)=fg(y)=I y y=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f

3、(x1)f(x2),否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2)x1=x2.因此 f 既是单射,又是满射,即 f 是双射.对于映射g:YX,因为对每个yY,有g(y)=xX,且满足f(x)=fg(y)=I y y=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射 f:XY,AX.证明:(1)f 1(f(A)A;(2)当f是单射时,有f 1(f(A)=A.证明(1)因为xA f(x)=yf(A)f 1(y)=xf 1(f(A),所以 f 1(f(A)A.(2)由(1)知f 1(f(A)A.另一方面,对于任意的xf 1(f(A)存在yf(A),使f 1(y)=xf(x)=y.因为yf(A

4、)且f是单射,所以xA.这就证明了f 1(f(A)A.因此f 1(f(A)=A.6.求下列函数的自然定义域:(1)23+=xy;解 由 3x+20 得32x.函数的定义域为),32+.(2)211xy=;解 由 1x20 得x1.函数的定义域为(,1)(1,1)(1,+).(3)211xxy=;解 由x0 且 1x20 得函数的定义域D=1,0)(0,1.(4)241xy=;解 由 4x20 得|x|0 得函数的定义域 D=(1,+).(10)xey1=.解 由 x0 得函数的定义域 D=(,0)(0,+).7.下列各题中,函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2

5、,g(x)=2lg x;(2)f(x)=x,g(x)=2x;(3)334)(xxxf=,31)(=xxxg.(4)f(x)=1,g(x)=sec2xtan2x.解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0 时,g(x)=x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设0,1x 20.因为当x1x2时,0)1)(1(112121221121=xxxxxxxxyy,所以函数xxy=1在区间(,1)内是单调增加的.(2)对于任意的x1,x2(0,+),当x1x2时,有 0ln)()ln()ln(2121221121+=+=xxxxxxxxyy,所以

6、函数 y=x+ln x 在区间(0,+)内是单调增加的.10.设 f(x)为定义在(l,l)内的奇函数,若 f(x)在(0,l)内单调增加,证明 f(x)在(l,0)内也单调增加.证明 对于x1,x2(l,0)且x1x2.因为 f(x)在(0,l)内单调增加且为奇函数,所以 f(x2)f(x1),f(x2)f(x1),这就证明了对于x1,x2(l,0),有f(x1)0);(4)f(x+a)+f(xa)(a0).解(1)由 0 x21 得|x|1,所以函数f(x2)的定义域为1,1.(2)由 0sin x1 得 2nx(2n+1)(n=0,1,2 ),所以函数 f(sin x)的定义域为 2n,

7、(2n+1)(n=0,1,2 ).(3)由 0 x+a1 得ax1a,所以函数 f(x+a)的定义域为a,1a.(4)由 0 x+a1 且 0 xa1 得:当210a时,无解.因此当210a时函数无意义.18.设=0,040cot0hhS?确定,定义域为?40cot00Sh.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0 x100时

8、,p=90.令0.01(x0100)=9075,得x0=1600.因此当x1600时,p=75.当100 x1600时,p=90(x100)0.01=910.01x.综合上述结果得到 .=1600 751600100 01.0911000 90 xxxxp (2).N时,xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数,当=0.001 时,求出数N.解.0lim=nnx nnnxn1|2cos|0|=.0,要使|x n0|,只要n.取1=N,则nN,有|xn0|.当=0.001 时,1=N=1000.3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim2=nn;(2)231213lim=+nnn;(3)1

9、lim22=+nann (4).19 999.0lim=?个nn (1)分析 要使n,即1n.证明 因为0,1=N,当 nN 时,有|01|2n,所以01lim2=nn.(2)分析 要使+=+nnnn41)12(21|231213|,只须n.证明 因为0,41=N,当 nN 时,有+|231213|nn,所以231213lim=+nnn.(3)分析 要使.证明 因为0,2aN=,当nN 时,有+|1|22nan,所以1lim22=+nann.(4)分析 要使|0.99 91|=1101n,只须1101nn.证明 因为0,1lg1+=N,当nN 时,有|0.99 91|0,NN,当 nN 时,有

10、,从而 aunn=lim|aun|un|a|una|0,NN,当 nN 时,有0lim=nnyMynN 时,有 =0,K1,当 2k2K1时,有|x2ka|2K2+1 时,有|x2k+1a|N,就有|xna|.因此xna(n).习题 13 1.根据函数极限的定义证明:(1);8)13(lim3=xx (2);12)25(lim2=+xx (3)424lim22=+xxx;(4)21241lim321=+xxx.证明(1)分析|(3x1)8|=|3x9|=3|x3|,要使|(3x1)8|,只须31|3|0,31=,当 0|x3|时,有|(3x1)8|,所以.8)13(lim3=xx (2)分析|

11、(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|,要使|(5x+2)12|,只须51|2|0,51=,当 0|x2|时,有|(5x+2)12|,所以.12)25(lim2=+xx (3)分析|)2(|2|244)4(2422=+=+=+xxxxxxx,要使+)4(242xx,只须0,=,当 0|x(2)|时,有+)4(242xx,所以424lim22=+xxx.(4)分析|)21(|2|221|212413=+xxxx,要使+212413xx,只须21|)21(|0,21=,当|)21(|0 x时,有+212413xx,所以21241lim321=+xxx.2.根据函数极限的定义证明:(1)212

12、1lim33=+xxx;(2)0sinlim=+xxx.证明(1)分析 333333|21212121xxxxxx=+=+,要使+212133xx,只须x.证明 因为 0,321=X,当|x|X 时,有+212133xx,所以2121lim33=+xxx.(2)分析 xxxxx1|sin|0sin=,要使0sinxx,只须x.证明 因为0,21=X,当 xX 时,有0sinxx,所以0sinlim=+xxx.3.当x2 时,y=x24.问等于多少,使当|x2|时,|y4|0.001？解 由于x2,|x2|0,不妨设|x2|1,即 1x3.要使|x24|=|x+2|x2|5|x2|0.001,只

13、要0002.05001.0|2|=x,取=0.0002,则当 0|x2|时,就有|x24|X 时,|y1|0.01?解 要使01.034131222x,397=X.5.证明函数 f(x)=|x|当 x0 时极限为零.6.求,)(xxxf=xxx|)(=当 x0 时的左右极限,并说明它们在 x0 时的极限是否存在.证明 因为 11limlim)(lim000=xxxxxxf,11limlim)(lim000=+xxxxxxf,)(lim)(lim00 xfxfxx+=所以极限存在.)(lim0 xfx 因为 1lim|lim)(lim000=xxxxxxxx,1lim|lim)(lim000=+

14、xxxxxxxx,)(lim)(lim00 xxxx+所以极限不存在.)(lim0 xx 7.证明:若 x+及 x时,函数 f(x)的极限都存在且都等于 A,则.Axfx=)(lim 证明 因为,所以0,Axfx=)(limAxfx=+)(lim X10,使当xX1时,有|f(x)A|0,使当xX2时,有|f(x)A|X时,有|f(x)A|0,0,使当 0|xx0|时,有|f(x)A|.因此当x0 xx0和x0 xx0+时都有|f(x)A|0,10,使当x01xx0时,有|f(x)A0,使当x0 xx0+2时,有|f(x)A|.取=min1,2,则当0|xx0|时,有x01xx0及x0 xx0

15、+2,从而有|f(x)A|0 及M0,使当|x|X 时,|f(x)|0,当|x|X 时,有|f(x)A|=1.所以|f(x)|=|f(x)A+A|f(x)A|+|A|0 及 M0,使当|x|X 时,|f(x)|0,=,当 0|x3|时,有=0,=,当 0|x0|时,有=104？证明 分析2|11221|+=+=xxxxy,要使|y|M,只须Mx2|1,即21|+0,21+=M,使当 0|x0|+21,所以当 x0 时,函数xxy21+=是无穷大.取M=104,则21014+=.当2101|0|04+104.4.求下列极限并说明理由:(1)xxn12lim+;(2)xxx11lim20.解(1)

16、因为xxx1212+=+,而当 x 时x1是无穷小,所以212lim=+xxn.(2)因为xxx+=1112(x1),而当 x0 时 x 为无穷小,所以111lim20=xxx.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:6.函数 y=xcos x 在(,+)内是否有界？这个函数是否为当 x+时的无穷大？为什么？解 函数 y=xcos x 在(,+)内无界.这是因为M0,在(,+)内总能找到这样的 x,使得|y(x)|M.例如 y(2k)=2k cos2k=2k(k=0,1,2,),当 k 充分大时,就有|y(2k)|M.当 x+时,函数 y=xcos x 不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个时刻 N,使对一切大于 N 的 x,都有|y(x)|M.例如 0)22cos()22()22(=+=+kkky(k=0,1,2,),对任何大的 N,当 k 充分大时,总有Nkx+=22,但|y(x)|=00,在(0,1中总可以找到点xk,使y(xk)M.例如当 221+=kxk(k=0,1,2,)时,有 22)(+=kxyk,当k充分大时,y(xk)M.当x0+时,函数xxy1sin1=不是无穷大