同济大学《高等数学第五版》习题答案.pdf

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习题111.设A=（,5）（5,+）,B=10,3）,写出AB,AB,AB及A（AB）的表达式.解AB=（,3）（5,+）,AB=10,5）,AB=（,10）（5,+）,A（AB）=10,5）.2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律:

（AB）C=ACBC.证明因为x（AB）CxABxA或xBxAC或xBCxACBC,所以（AB）C=ACBC.3.设映射f:

XY,AX,BX.证明

（1）f（AB）=f（A）f（B）;

（2）f（AB）f（A）f（B）.证明因为yf（AB）xAB,使f（x）=y（因为xA或xB）yf（A）或yf（B）yf（A）f（B）,所以f（AB）=f（A）f（B）.

（2）因为yf（AB）xAB,使f（x）=y（因为xA且xB）yf（A）且yf（B）yf（A）f（B）,所以f（AB）f（A）f（B）.4.设映射f:

XY,若存在一个映射g:

YX,使,其中IXIfg=?

YIgf=?

X、IY分别是X、Y上的恒等映射,即对于每一个xX,有IXx=x;对于每一个yY,有IYy=y.证明:

f是双射,且g是f的逆映射:

g=f1.证明因为对于任意的yY,有x=g（y）X,且f（x）=fg（y）=Iyy=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像,所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1x2,必有f（x1）f（x2）,否则若f（x1）=f（x2）gf（x1）=gf（x2）x1=x2.因此f既是单射,又是满射,即f是双射.对于映射g:

YX,因为对每个yY,有g（y）=xX,且满足f（x）=fg（y）=Iyy=y,按逆映射的定义,g是f的逆映射.5.设映射f:

XY,AX.证明:

（1）f1（f（A）A;

（2）当f是单射时,有f1（f（A）=A.证明

（1）因为xAf（x）=yf（A）f1（y）=xf1（f（A）,所以f1（f（A）A.

（2）由

（1）知f1（f（A）A.另一方面,对于任意的xf1（f（A）存在yf（A）,使f1（y）=xf（x）=y.因为yf（A）且f是单射,所以xA.这就证明了f1（f（A）A.因此f1（f（A）=A.6.求下列函数的自然定义域:

（1）23+=xy;解由3x+20得32x.函数的定义域为）,32+.

（2）211xy=;解由1x20得x1.函数的定义域为（,1）（1,1）（1,+）.（3）211xxy=;解由x0且1x20得函数的定义域D=1,0）（0,1.（4）241xy=;解由4x20得|x|0得函数的定义域D=（1,+）.（10）xey1=.解由x0得函数的定义域D=（,0）（0,+）.7.下列各题中,函数f（x）和g（x）是否相同？

为什么？

（1）f（x）=lgx2,g（x）=2lgx;

（2）f（x）=x,g（x）=2x;（3）334）（xxxf=,31）（=xxxg.（4）f（x）=1,g（x）=sec2xtan2x.解

（1）不同.因为定义域不同.

（2）不同.因为对应法则不同,x0时,g（x）=x.（3）相同.因为定义域、对应法则均相相同.（4）不同.因为定义域不同.8.设0,1x20.因为当x1x2时,0）1）（1（112121221121=xxxxxxxxyy,所以函数xxy=1在区间（,1）内是单调增加的.

（2）对于任意的x1,x2（0,+）,当x1x2时,有0ln）（）ln（）ln（2121221121+=+=xxxxxxxxyy,所以函数y=x+lnx在区间（0,+）内是单调增加的.10.设f（x）为定义在（l,l）内的奇函数,若f（x）在（0,l）内单调增加,证明f（x）在（l,0）内也单调增加.证明对于x1,x2（l,0）且x1x2.因为f（x）在（0,l）内单调增加且为奇函数,所以f（x2）f（x1）,f（x2）f（x1）,这就证明了对于x1,x2（l,0）,有f（x1）0）;（4）f（x+a）+f（xa）（a0）.解

（1）由0x21得|x|1,所以函数f（x2）的定义域为1,1.

（2）由0sinx1得2nx（2n+1）（n=0,1,2）,所以函数f（sinx）的定义域为2n,（2n+1）（n=0,1,2）.（3）由0x+a1得ax1a,所以函数f（x+a）的定义域为a,1a.（4）由0x+a1且0xa1得:

当210a时,无解.因此当210a时函数无意义.18.设=0,040cot0hhS?

确定,定义域为?

40cot00Sh.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.

（1）将每台的实际售价p表示为订购量x的函数;

（2）将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;（3）某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？

解

（1）当0x100时,p=90.令0.01（x0100）=9075,得x0=1600.因此当x1600时,p=75.当100x1600时,p=90（x100）0.01=910.01x.综合上述结果得到.=160075160010001.091100090xxxxp

（2）.N时,xnnxlimn与其极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时,求出数N.解.0lim=nnxnnnxn1|2cos|0|=.0,要使|xn0|,只要n.取1=N,则nN,有|xn0|.当=0.001时,1=N=1000.3.根据数列极限的定义证明:

（1）01lim2=nn;

（2）231213lim=+nnn;（3）1lim22=+nann（4）.19999.0lim=?

个nn

（1）分析要使n,即1n.证明因为0,1=N,当nN时,有|01|2n,所以01lim2=nn.

（2）分析要使+=+nnnn41）12（21|231213|,只须n.证明因为0,41=N,当nN时,有+|231213|nn,所以231213lim=+nnn.（3）分析要使.证明因为0,2aN=,当nN时,有+|1|22nan,所以1lim22=+nann.（4）分析要使|0.9991|=1101n,只须1101nn.证明因为0,1lg1+=N,当nN时,有|0.9991|0,NN,当nN时,有,从而aunn=lim|aun|un|a|una|0,NN,当nN时,有0lim=nnyMynN时,有=0,K1,当2k2K1时,有|x2ka|2K2+1时,有|x2k+1a|N,就有|xna|.因此xna（n）.习题131.根据函数极限的定义证明:

（1）;8）13（lim3=xx

（2）;12）25（lim2=+xx（3）424lim22=+xxx;（4）21241lim321=+xxx.证明

（1）分析|（3x1）8|=|3x9|=3|x3|,要使|（3x1）8|,只须31|3|0,31=,当0|x3|时,有|（3x1）8|,所以.8）13（lim3=xx

（2）分析|（5x+2）12|=|5x10|=5|x2|,要使|（5x+2）12|,只须51|2|0,51=,当0|x2|时,有|（5x+2）12|,所以.12）25（lim2=+xx（3）分析|）2（|2|244）4（2422=+=+=+xxxxxxx,要使+）4（242xx,只须0,=,当0|x

（2）|时,有+）4（242xx,所以424lim22=+xxx.（4）分析|）21（|2|221|212413=+xxxx,要使+212413xx,只须21|）21（|0,21=,当|）21（|0x时,有+212413xx,所以21241lim321=+xxx.2.根据函数极限的定义证明:

（1）2121lim33=+xxx;

（2）0sinlim=+xxx.证明

（1）分析333333|21212121xxxxxx=+=+,要使+212133xx,只须x.证明因为0,321=X,当|x|X时,有+212133xx,所以2121lim33=+xxx.

（2）分析xxxxx1|sin|0sin=,要使0sinxx,只须x.证明因为0,21=X,当xX时,有0sinxx,所以0sinlim=+xxx.3.当x2时,y=x24.问等于多少,使当|x2|时,|y4|0.001？

解由于x2,|x2|0,不妨设|x2|1,即1x3.要使|x24|=|x+2|x2|5|x2|0.001,只要0002.05001.0|2|=x,取=0.0002,则当0|x2|时,就有|x24|X时,|y1|0.01?

解要使01.034131222x,397=X.5.证明函数f（x）=|x|当x0时极限为零.6.求,）（xxxf=xxx|）（=当x0时的左右极限,并说明它们在x0时的极限是否存在.证明因为11limlim）（lim000=xxxxxxf,11limlim）（lim000=+xxxxxxf,）（lim）（lim00xfxfxx+=所以极限存在.）（lim0xfx因为1lim|lim）（lim000=xxxxxxxx,1lim|lim）（lim000=+xxxxxxxx,）（lim）（lim00xxxx+所以极限不存在.）（lim0xx7.证明:

若x+及x时,函数f（x）的极限都存在且都等于A,则.Axfx=）（lim证明因为,所以0,Axfx=）（limAxfx=+）（limX10,使当xX1时,有|f（x）A|0,使当xX2时,有|f（x）A|X时,有|f（x）A|0,0,使当0|xx0|时,有|f（x）A|.因此当x0xx0和x0xx0+时都有|f（x）A|0,10,使当x01xx0时,有|f（x）A0,使当x0xx0+2时,有|f（x）A|.取=min1,2,则当0|xx0|时,有x01xx0及x0xx0+2,从而有|f（x）A|0及M0,使当|x|X时,|f（x）|0,当|x|X时,有|f（x）A|=1.所以|f（x）|=|f（x）A+A|f（x）A|+|A|0及M0,使当|x|X时,|f（x）|0,=,当0|x3|时,有=0,=,当0|x0|时,有=104？

证明分析2|11221|+=+=xxxxy,要使|y|M,只须Mx2|1,即21|+0,21+=M,使当0|x0|+21,所以当x0时,函数xxy21+=是无穷大.取M=104,则21014+=.当2101|0|04+104.4.求下列极限并说明理由:

（1）xxn12lim+;

（2）xxx11lim20.解

（1）因为xxx1212+=+,而当x时x1是无穷小,所以212lim=+xxn.

（2）因为xxx+=1112（x1）,而当x0时x为无穷小,所以111lim20=xxx.5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:

6.函数y=xcosx在（,+）内是否有界？

这个函数是否为当x+时的无穷大？

为什么？

解函数y=xcosx在（,+）内无界.这是因为M0,在（,+）内总能找到这样的x,使得|y（x）|M.例如y（2k）=2kcos2k=2k（k=0,1,2,）,当k充分大时,就有|y（2k）|M.当x+时,函数y=xcosx不是无穷大.这是因为M0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有|y（x）|M.例如0）22cos（）22（）22（=+=+kkky（k=0,1,2,）,对任何大的N,当k充分大时,总有Nkx+=22,但|y（x）|=00,在（0,1中总可以找到点xk,使y（xk）M.例如当221+=kxk（k=0,1,2,）时,有22）（+=kxyk,当k充分大时,y（xk）M.当x0+时,函数xxy1sin1=不是无穷大