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1、历年中考压轴题精选历年中考压轴题精选一、解答题1.(北京8分)如图 ,在平面直角坐标系 O 中 ,我把由两条射线AE ,BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C(注：不含AB线段).A(1 ,0) ,B(1 ,0) ,AEBF ,且半圆与 轴的交点D在射线AE的反向延长线上.(1)求两条射线AE ,BF所在直线的距离;(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时 ,写出b的取值范围;当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时 ,写出b的取值范围;(3) AMPQ(四个顶点A ,M ,P ,Q按顺时针方向排列)的各顶点都在图形C上 ,且不都在两条射线上 ,求点M

2、的横坐标 的取值范围.【答案】解：(1)连接AD、DB ,那么点D在直线AE上 ,如图1。点D在以AB为直径的半圆上 ,ADB=90。BDAD。在RtDOB中 ,由勾股定理得 ,BD= 。AEBF ,两条射线AE、BF所在直线的距离为 。(2)当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有一个公共点时 ,b的取值范围是b= 或1当一次函数 = +b的图象与图形C恰好只有两个公共点时 ,b的取值范围是1当点M在射线AE上时 ,如图2.AMPQ四点按顺时针方向排列 ,直线PQ必在直线AM的上方。PQ两点都在弧AD上 ,且不与点A、D重合。 0AMPQ且AM=PQ ,0当点M不在弧AD上时 ,如图3 ,

3、点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列 ,直线PQ必在直线AM的下方 ,此时 ,不存在满足题意的平行四边形。当点M在弧BD上时 ,设弧DB的中点为R ,那么ORBF ,当点M在弧DR上时 ,如图4 ,过点M作OR的垂线交弧DB于点Q ,垂足为点S ,可得S是MQ的中点.四边形AMPQ为满足题意的平行四边形。0 。当点M在弧RB上时 ,如图5 ,直线PQ必在直线AM的下方 ,此时不存在满足题意的平行四边形。当点M在射线BF上时 ,如图6 ,直线PQ必在直线AM的下方 ,此时 ,不存在满足题意的平行四边形。综上 ,点M的横坐标x的取值范围是21或0 。【考点】一次函数综合题 ,勾股定理 ,平行四边形

4、的性质 ,圆周角定理。【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角 ,从而判定三角形ADB为等腰直角三角形 ,其直角边的长等于两直线间的距离。(2)利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量 的取值范围即可。(3)根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上 ,可能会出现四种情况 ,分类讨论即可。2.(天津10分)抛物线 ： .点F(1 ,1).() 求抛物线 的顶点坐标;() 假设抛物线 与 轴的交点为A.连接AF ,并延长交抛物线 于点B ,求证： 抛物线 上任意一点P( )( ).连接PF.并延长交抛物线 于点Q( ) ,试判断 是否成立?请说明理由;() 将抛物线 作适当的平移

5、.得抛物线 ： ,假设 时. 恒成立 ,求m的最大值.【答案】解： (I) ,抛物线 的顶点坐标为( ).(II)根据题意 ,可得点A(0 ,1) ,F(1 ,1).AB 轴.得AF=BF=1 , 成立.理由如下：如图 ,过点P作PMAB于点M ,那么FM= ,PM= ( )。RtPMF中 ,有勾股定理 ,得 又点P( )在抛物线 上 ,得 ,即 ,即 。过点Q( )作QNAB ,与AB的延长线交于点N ,同理可得 PMF=QNF=90 ,MFP=NFQ ,PMFQNF。 ,这里 , 。 ,即 。() 令 ,设其图象与抛物线 交点的横坐标为 , ,且 ,抛物线 可以看作是抛物线 左右平移得到的

6、 ,观察图象.随着抛物线 向右不断平移 , , 的值不断增大 ,当满足 ,. 恒成立时 ,m的最大值在 处取得。当 时.所对应的 即为m的最大值。将 带入 ,得 。解得 或 (舍去)。此时 , ,得解得 , 。m的最大值为8。【考点】二次函数综合题 ,抛物线的性质 ,勾股定理 ,相似三角形的判定和性质 ,图象平移 ,解一元二次方程。【分析】(I) 只要把二次函数变形为 的形式即可。(II) 求出AF和BF即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出PF和QF即可。() 应用图象平移和抛物线的性质可以证明。3.(河北省12分)如图 ,在平面直角坐标系中 ,点P从原点O出发 ,沿 轴向右以毎

7、秒1个单位长的速度运动t秒(t0) ,抛物线 经过点O和点P ,矩形ABCD的三个顶点为 A (1 ,0) ,B (1 ,5) ,D (4 ,0).(1)求 , (用含t的代数式表示)：(2)当4在点P的运动过程中 ,你认为AMP的大小是否会变化?假设变化 ,说明理由;假设不变 ,求出AMP的值;求MPN的面积S与t的函数关系式 ,并求t为何值时 , ;(3)在矩形ABCD的内部(不含边界) ,把横、纵坐标都是整数的点称为好点.假设抛物线将这些好点分成数量相等的两局部 ,请直接写出t的取值范围.【答案】解：(1)把 =0 , =0代入 ,得 =0。把 =t , =0代入 ,得t2+ t=0 ,

8、t0 , =t。(2)不变.如图 ,当 =1时 , =1t ,故M(1 ,1t) ,tanAMP=1 ,AMP=45。S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM= (t4)(4t16)+ (4t16)+(t1)3 (t1)(t1)= t2 t+6。解 t2 t+6= ,得：t1= ,t2= 。4t= 。(3)【考点】二次函数综合题。【分析】(1)由抛物线 经过点O和点P ,将点O与P的坐标代入方程即可求得 , 。(2)当 =1时 , =1t ,求得M的坐标 ,那么可求得AMP的度数。由S=S四边形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM ,即可求得关于t的二次函数

9、 ,列方程即可求得t的值。(3)当 ,经过(2 ,-3)时 ,好点(2 ,-2)和(2 ,-1)在抛物线上方 ,此时 , , 。当 =3时 , ,在-1和-2之间 ,说明(3 ,-1)也在抛物线上方。因此 ,抛物线要将这些好点分成数量相等的两局部时 ,必须 。当 ,经过(3 ,-2)时 ,好点(3 ,-1)在抛物线上方 ,此时 , , 。当 =3时 , ,在-3和-4之间 ,说明好点(2 ,-3) ,(2 ,-2)和(2 ,-1)也在抛物线上方。因此 ,抛物线要将这些好点分成数量相等的两局部时 ,必须 。综上所述 ,t的取值范围是4.(山西省14分)如图 ,在平面直角坐标系中.四边形OABC是

10、平行四边形.直线l经过O、C两点.点A的坐标为(8 ,0) ,点B的坐标为(11 ,4) ,动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动 ,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿ABC的方向向点C运动 ,过点P作PM垂直于x轴 ,与折线O-C-B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时 ,另一点也随之停止运动 ,设点P、Q运动的时间为t秒(t0).MPQ的面积为S.(1)点C的坐标为 ,直线l的解析式为 .(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式 ,并写出相应的t的取值范围.(3)试求题(2)中当t为何值时 ,S的值最大 ,并求出S的最大值.(4)随着P、Q两点的运动

11、,当点M在线段CB上运动时 ,设PM的延长线与直线l相交于点N.试探究：当t为何值时 ,QMN为等腰三角形?请直接写出t的值.【答案】解：(1)(3 ,4); 。(2)根据题意 ,得OP=t ,AQ=2t.分三种情况讨论：当 时 ,如图l ,M点的坐标是( )。过点C作CDx轴于D ,过点Q作QE x轴于E ,可得AEOODC。 ,即 。Q点的坐标是( )。PE= 。S= 。当 时 ,如图2 ,过点Q作QFx轴于F , ,OF= 。Q点的坐标是( ) ,PF= 。S= 。当点Q与点M相遇时 , ,解得 。当 时 ,如图3 ,MQ= ,MP=4。S= 。综上所述 ,S= 。(3) 当 时 , ,

12、 ,抛物线开口向上 ,对称轴为直线 ,当 时 ,S随t的增大而增大。 当 时 ,S有最大值 ,最大值为 。当 时 , 。 ,抛物线开口向下 ,当 时 ,S有最大值 ,最大值为 。当 时 , , .S随t的增大而减小。又当 时 ,S=14.当 时 ,S=0. 。综上所述 ,当 时 ,S有最大值 ,最大值为 。(4)当 时 ,QMN为等腰三角形。【考点】动点问题 ,平行四边形的性质 , 待定系数法 ,直线上点的坐标与方程的关系 ,相似三角形的判定和性质 ,一、二次函数的增减性和最值 ,等腰三角形的判定。【分析】(1)由点A的坐标为(8 ,0) ,点B的坐标为(11 ,4) ,根据平行四边形对边平行

13、且相等的性质 ,可得点C的坐标为(11-8 ,4) ,即(3 ,4)。由点C在直线l ,根据点在直线上 ,点的坐标满足方程的关系 ,用待定系数法可求直线l的解析式。(2)分点Q在AB上 ,点M在OC上 ,点Q在BC上 ,点M在OC上 ,点Q在BC上 ,点M在BC上三种情况讨论即可。(3)按(2)的分段情况 ,根据一、二次函数的增减性和最值讨论即可。(4)易知 ,NMQ为直角 ,故要QMN为等腰三角形只有MQ=MN。M( ) ,N( ) ,Q( ) ,当点M在点Q的左边 , ,解得 , 。当点M在点Q的右边 , ,解得 , 。超过 ,舍去。当 时 ,QMN为等腰三角形。5.(内蒙古呼和浩特12分

14、)抛物线 的图象向上平移 个单位( )得到的新抛物线过点(1 ,8).(1)求 的值 ,并将平移后的抛物线解析式写成 的形式;(2)将平移后的抛物线在x轴下方的局部沿x轴翻折到x轴 上方 ,与平移后的抛物线没有变化的局部构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数 的解析式 ,并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图 ,同时写出该函数在 时对应的函数值 的取值范围;(3)设一次函数 ,问是否存在正整数 使得(2)中函数的函数值 时 ,对应的 的值为 ,假设存在 ,求出 的值;假设不存在 ,说明理由.【答案】解：(1)由题意可得 又点(1 ,8)在图象上 , 。 。(2) 。画图如下：当 时 , 。

15、(3)不存在。理由如下：当 且对应的 时 , ,解得 , ,且 得 。不存在正整数 满足条件。【考点】二次函数综合题 ,平移的性质 ,二次函数的顶点式 ,函数的图象特征 ,解一元二次方程和一元一次不等式组。【分析】(1)根据抛物线 的图象向上平移 个单位 ,可得 ,再利用又点(1 ,8)在图象上 ,求出 即可。(2)根据函数解析式画出图象 ,即可得出函数大小分界点。(3)根据当 且对应的 时 , ,得出 取值范围即可得出答案。6.(内蒙古巴彦淖尔、赤峰14分)如图(图1 ,图2) ,四边形ABCD是边长为4的正方形 ,点E在线段BC上 ,AEF=90 ,且EF交正方形外角平分线CP于点F ,交BC的延长线于点N ,FNBC.(1)假设点E是BC的中点(如图1) ,AE与EF相等吗?(2)点E在BC间运动时(如图2) ,设BE=x ,ECF的面积为y.求y与x