弹性力学试卷2009(答案).pdf

1、 1 华 中 科 技 大 学 土 木 工 程 与 力 学 学 院华 中 科 技 大 学 土 木 工 程 与 力 学 学 院 弹性力学考试卷（半开卷）弹性力学考试卷（半开卷）20082009 学年度第二学期 成绩 学号 专业 班级 姓名 一、判断题（正确的打，错误的打）（12 分）1.平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体，又适用于各向异性体。()2.若物体内一点的位移 u,v,w 均为零，则该点必有应变xyz0。()3.在弹性体中，如果位移以速度 c 进行传播，则应力、应变以及质点速度都以同样的速度 c 传播。()4.xK(x2+y2)z，yKy2z，z0，xy2

2、Kxyz，yz0，zx0。K 是不为零的已知常数，这一组应变分量不可能存在。()5.两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为椭圆形。()6.各向同性弹性体有 3 个独立的弹性常数，它们是 E（弹性模量），（泊松比），G（剪切弹性模量）。()每题分 二、填空题（9 分）1.在等截面直杆扭转问题的应力解法中，如引入 Prandtl（普朗特）扭转应力函数 F(x,y)求解，可导出以下公式，试分别指出其物理意义：xzyzFFG,Gyx=是（内部静力平衡 ）；2FC=（C 为常数）是（应变协调 ）；zRM2GFdxdy=（R 为单连域）是（端面上静力平衡 ）；sF0=（s 为

3、R 的边界线）是（周界上静力平衡 ）。一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 八八 分数分数 12 9 19 15 15 15 15 15 2 2.在位移变分解法中，李兹法要求位移试验函数满足(位移边界 )条件，而迦辽金法还要求满足 (静力边界 )条件。3.平面波分为纵波和横波，在地震时，地震波中的（纵波 ）总是比（横波 ）先到。瑞利（Rayleigh）表面波的速度比横波的速度（小 ）。每空分 三.简答题 1.曲梁（F 作用在上端部abr2+=处，a,bb-a）的受力情况如图 1 所示，写出应力边界条件（固定端除外）。（7 分）解答：()()()()rr arar arr brbr b0q0

4、q=()()()ba0bra0ba0drF sindrF cosabrdrFsinM2=+=ijijd0=O O x x b b a a r F M 图1 qb qa y y 3 2.简述弹性动力学问题的提法。(12分)弹性动力学问题的提法：（1 1）求求 i ij j i ij j u ui i 1 15 5 个个未未知知量量，使使满满足足 1 15 5 个个基基本本方方程程：运动方程：2yxzxx22xyyzy22yzxzz2uXxyztvYxyztwZxyzt+=+=+=几何方程：xyzyzzxxyuvw,xyzwvyzuwzxvuxy=+=+=+本构方程：xxyyzzxyxyyzyzz

5、xzx2G2G2GGGG=+=+=+=（2）还需满足边界条件：uu,vv,ww=，xyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZ+=+=+=及初始条件：()()()()()()()()()11t 0t022t0t 033t0t 0uufx,y,zx,y,ztvvfx,y,zx,y,ztwwfx,y,zx,y,zt=4 四八题中任选四八题中任选 4 题。题。四、等厚双连薄壁杆，其右侧竖壁开一水平槽(见图 2)，当承受扭矩 M 时，试求该轴最大剪应力及总的抗扭刚度。（15 分）解：（1）将扭杆分为两部分：左侧是边长为 a 的闭口正方形扭杆，右侧是三个边长为 a、宽度为 的狭长矩形构成的开口

6、扭杆。闭口扭杆 开口扭杆：（2）（3）因为a （4）总抗扭刚度为 。图2 a a a 111111122411MMM SM 4a2A2a4GA4Ga=22222232333MM3MM3aa3GaGa=22122222aMM,MMaa=+1212MMM+=()()122222M2 aMa a=+=+()max122M2 a=+()22MGaa=+()22MGaa=+()22MGaa=+5 五、如图 3 所示的楔形体的两侧面受均布法向压力 q 作用，试求出该楔形体的应力分量（不计体力，设应力函数为()2Ur f=）。（15 分）解：（1）应力函数需满足双调和方程22U0=，即22222211U0r

7、rrr+=亦即：()()22222114 ff0rrrr+=()()42242d fd f140rdd+=()fAcos2Bsin2CD=+()2UrAcos2Bsin2CD=+（2）应力分量：()()2r22222r21 U1U2Acos2Bsin2CDrrrU2 Acos2Bsin2CDr1U1U2Asin22Bcos2Crrr=+=+=+=（3）边界条件：()()rq0=2Asin22Bcos2C02Asin22Bcos2C0=A0=()()2 Bsin2CDq2Bsin2CDq+=+=qD2=C0,B0=应力分量为：rrqq0=x y O q q 图 3 6 六、已知图 4 所示的悬臂

8、梁，其跨度为 l，抗弯刚度为 EJ，在自由端受集中载荷 P作用，试从下列函数中选择一个作为解题的位移函数，并由最小势能原理求最大挠度值。（15 分）（1）23123wa xa x=+（2）21xwa1cos2l=（3）31xwa1sin2l=解：解法一：（1）选择函数23123wa xa x=+，此函数满足固定端边界条件()x 0 x 0dww0,0dx=由最小势能原理确定系数 a2、a3。（2）应变能：()22ll2232001d wEJUEJdx2a6a xdx2dx2=+()()l222222 3223322330EJ4a24a a x36a xdxEJ 2a l6a a l6a l2=

9、+=+外力功：()()2323x lWP wP a la l=+总势能：()()2223231223323UWEJ 2a l6a a l6a lP a la l=+（3）最小势能原理：()2222123232PlEJ 4a l6a lPl02a l3a la2EJ=+=+=()22332123233PlEJ 6a l12a lPl0a l2a la6EJ=+=+=z l OP 图 4 x 7 23PlPa,a2EJ6EJ=232PlPPlxwxxx32EJ6EJ6EJl=最大挠度发生在自由端，其值为：3maxPlw3EJ=。解法二：（1）选择函数21xwa1cos2l=，此函数满足固定端边界条

10、件()x 0 x 0dww0,0dx=由最小势能原理确定系数 a1。（2）应变能：242ll2212001d wEJxUEJdxa cosdx2dx22l2l=421EJla42l=外力功：()1x lWP wPa=总势能：42111EJlUWaPa42l=（3）最小势能原理：4111EJlaP0a22l=31432PlaEJ=3432Plxw1cosEJ2l=最大挠度发生在自由端，其值为：3max1432PlwaEJ=。8 七、图5所 示 矩 形 板，长 度 远 大 于 高 度，体 力 不 计。试 证 函 数232333qx4y3yqy2yyU14hh10hh=+（q 为已知常数）是应力函数

11、，并指出能解决什么问题（在图上表示）。（15 分）解：(1)将函数 U 代入双调和方程：22U0=满足 所以，可作为应力函数。(2)应力分量为：23x333y32xy36qx y4qy3qyhh5hq4y3y12hhqx12y32hh=+=+=(3)边界条件：上边界：()()hhyxyyy22q,0=下边界：()()hhyxyyy220,0=左边界：()()()hh2322hhx33xl22hh222hhxy3xl22hh23222hhx33xl226ql y4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6ql y4qy3qyqlydyydyhh5h2=+=+=右边界：()()(

12、)hh2322hhx33x l22hh222hhxy3x l22hh23222hhx33x l226ql y4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6ql y4qy3qyqlydyydyhh5h2=+=+=能解决的问题：悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁上边受均布载荷，两端受力矩作用。y l O图 5 l x h ql2/2 ql2/2ql q ql 9 八、设，式中 A、B、D 是不全为零的常数。问在什么条件下该应变状态能成立？若不计体力，该应变状态能成立吗？（15 分）解：（1）将应变分量带入协调方程：经验证满足。（2）将应变分量带入本构方程：求得应

13、力分量：（3）将应力分量带入平衡方程，求得体力分量：当体力如此分布时，题设应变分量所对应的应力分量能满足平衡方程，题设应变状态能成立。（4）若不计体力，即 X=Y=Z=0，由平衡方程要求:()23By1A x0A0,B0+=()()D 12A 10D0=若不计体力，且 A、B、D 不全为零，则不能满足平衡方程。题设应变状态不能成立。2222yxyyzxyzxxx222222yyzxyyzyzzx222222xyyzzzxzxzx222yxx yxxyzy z2zyy zyyzxz x2xzz xzzxyx y+=+=+=+=+=+=xxxyxyyyyzyzzzzxzx2GG2GG2GG=+=+=+=()()()()()()()()()()xyxyxxyyxyyzxyzzx1EE1212 11E0121E0121 +=+=+=+()()()()()()()2D 12A 1XEy1213By1A xYE121Z0=+=+=yxzxxxyyzyyzxzzX0 xyzY0 xyzZ0 xyz+=+=+=