弹性力学试卷2009(答案).pdf

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1华中科技大学土木工程与力学学院华中科技大学土木工程与力学学院弹性力学考试卷（半开卷）弹性力学考试卷（半开卷）20082009学年度第二学期成绩学号专业班级姓名一、判断题（正确的打，错误的打）（12分）1.平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体，又适用于各向异性体。

（）2.若物体内一点的位移u,v,w均为零，则该点必有应变xyz0。

（）3.在弹性体中，如果位移以速度c进行传播，则应力、应变以及质点速度都以同样的速度c传播。

（）4.xK（x2+y2）z，yKy2z，z0，xy2Kxyz，yz0，zx0。

K是不为零的已知常数，这一组应变分量不可能存在。

（）5.两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触，其接触面为椭圆形。

（）6.各向同性弹性体有3个独立的弹性常数，它们是E（弹性模量），（泊松比），G（剪切弹性模量）。

（）每题分二、填空题（9分）1.在等截面直杆扭转问题的应力解法中，如引入Prandtl（普朗特）扭转应力函数F（x,y）求解，可导出以下公式，试分别指出其物理意义：

xzyzFFG,Gyx=是（内部静力平衡）；2FC=（C为常数）是（应变协调）；zRM2GFdxdy=（R为单连域）是（端面上静力平衡）；sF0=（s为R的边界线）是（周界上静力平衡）。

一一二二三三四四五五六六七七八八分数分数12919151515151522.在位移变分解法中，李兹法要求位移试验函数满足（位移边界）条件，而迦辽金法还要求满足（静力边界）条件。

3.平面波分为纵波和横波，在地震时，地震波中的（纵波）总是比（横波）先到。

瑞利（Rayleigh）表面波的速度比横波的速度（小）。

每空分三.简答题1.曲梁（F作用在上端部abr2+=处，a,bb-a）的受力情况如图1所示，写出应力边界条件（固定端除外）。

（7分）解答：

（）（）（）（）rrarararrbrbrb0q0q=（）（）（）ba0bra0ba0drFsindrFcosabrdrFsinM2=+=ijijd0=OOxxbbaarFM图1qbqayy32.简述弹性动力学问题的提法。

（12分）弹性动力学问题的提法：

（11）求求iijjiijjuuii1155个个未未知知量量，使使满满足足1155个个基基本本方方程程：

运动方程：

2yxzxx22xyyzy22yzxzz2uXxyztvYxyztwZxyzt+=+=+=几何方程：

xyzyzzxxyuvw,xyzwvyzuwzxvuxy=+=+=+本构方程：

xxyyzzxyxyyzyzzxzx2G2G2GGGG=+=+=+=

（2）还需满足边界条件：

uu,vv,ww=，xyxzxxyyzyxzyzzlmnXlmnYlmnZ+=+=+=及初始条件：

（）（）（）（）（）（）（）（）（）11t0t022t0t033t0t0uufx,y,zx,y,ztvvfx,y,zx,y,ztwwfx,y,zx,y,zt=4四八题中任选四八题中任选4题。

题。

四、等厚双连薄壁杆，其右侧竖壁开一水平槽（见图2），当承受扭矩M时，试求该轴最大剪应力及总的抗扭刚度。

（15分）解：

（1）将扭杆分为两部分：

左侧是边长为a的闭口正方形扭杆，右侧是三个边长为a、宽度为的狭长矩形构成的开口扭杆。

闭口扭杆开口扭杆：

（2）（3）因为a（4）总抗扭刚度为。

图2aaa111111122411MMMSM4a2A2a4GA4Ga=22222232333MM3MM3aa3GaGa=22122222aMM,MMaa=+1212MMM+=（）（）122222M2aMaa=+=+（）max122M2a=+（）22MGaa=+（）22MGaa=+（）22MGaa=+5五、如图3所示的楔形体的两侧面受均布法向压力q作用，试求出该楔形体的应力分量（不计体力，设应力函数为（）2Urf=）。

（15分）解：

（1）应力函数需满足双调和方程22U0=，即22222211U0rrrr+=亦即：

（）（）22222114ff0rrrr+=（）（）42242dfdf140rdd+=（）fAcos2Bsin2CD=+（）2UrAcos2Bsin2CD=+

（2）应力分量：

（）（）2r22222r21U1U2Acos2Bsin2CDrrrU2Acos2Bsin2CDr1U1U2Asin22Bcos2Crrr=+=+=+=（3）边界条件：

（）（）rq0=2Asin22Bcos2C02Asin22Bcos2C0=A0=（）（）2Bsin2CDq2Bsin2CDq+=+=qD2=C0,B0=应力分量为：

rrqq0=xyOqq图36六、已知图4所示的悬臂梁，其跨度为l，抗弯刚度为EJ，在自由端受集中载荷P作用，试从下列函数中选择一个作为解题的位移函数，并由最小势能原理求最大挠度值。

（15分）

（1）23123waxax=+

（2）21xwa1cos2l=（3）31xwa1sin2l=解：

解法一：

（1）选择函数23123waxax=+，此函数满足固定端边界条件（）x0x0dww0,0dx=由最小势能原理确定系数a2、a3。

（2）应变能：

（）22ll2232001dwEJUEJdx2a6axdx2dx2=+（）（）l2222223223322330EJ4a24aax36axdxEJ2al6aal6al2=+=+外力功：

（）（）2323xlWPwPalal=+总势能：

（）（）2223231223323UWEJ2al6aal6alPalal=+（3）最小势能原理：

（）2222123232PlEJ4al6alPl02al3ala2EJ=+=+=（）22332123233PlEJ6al12alPl0al2ala6EJ=+=+=zlOP图4x723PlPa,a2EJ6EJ=232PlPPlxwxxx32EJ6EJ6EJl=最大挠度发生在自由端，其值为：

3maxPlw3EJ=。

解法二：

（1）选择函数21xwa1cos2l=，此函数满足固定端边界条件（）x0x0dww0,0dx=由最小势能原理确定系数a1。

（2）应变能：

242ll2212001dwEJxUEJdxacosdx2dx22l2l=421EJla42l=外力功：

（）1xlWPwPa=总势能：

42111EJlUWaPa42l=（3）最小势能原理：

4111EJlaP0a22l=31432PlaEJ=3432Plxw1cosEJ2l=最大挠度发生在自由端，其值为：

3max1432PlwaEJ=。

8七、图5所示矩形板，长度远大于高度，体力不计。

试证函数232333qx4y3yqy2yyU14hh10hh=+（q为已知常数）是应力函数，并指出能解决什么问题（在图上表示）。

（15分）解：

（1）将函数U代入双调和方程：

22U0=满足所以，可作为应力函数。

（2）应力分量为：

23x333y32xy36qxy4qy3qyhh5hq4y3y12hhqx12y32hh=+=+=（3）边界条件：

上边界：

（）（）hhyxyyy22q,0=下边界：

（）（）hhyxyyy220,0=左边界：

（）（）（）hh2322hhx33xl22hh222hhxy3xl22hh23222hhx33xl226qly4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6qly4qy3qyqlydyydyhh5h2=+=+=右边界：

（）（）（）hh2322hhx33xl22hh222hhxy3xl22hh23222hhx33xl226qly4qy3qydydy0hh5hql12y3dydyql2hh6qly4qy3qyqlydyydyhh5h2=+=+=能解决的问题：

悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力和力矩作用；或简支梁上边受均布载荷，两端受力矩作用。

ylO图5lxhql2/2ql2/2qlqql9八、设，式中A、B、D是不全为零的常数。

问在什么条件下该应变状态能成立？

若不计体力，该应变状态能成立吗？

（15分）解：

（1）将应变分量带入协调方程：

经验证满足。

（2）将应变分量带入本构方程：

求得应力分量：

（3）将应力分量带入平衡方程，求得体力分量：

当体力如此分布时，题设应变分量所对应的应力分量能满足平衡方程，题设应变状态能成立。

（4）若不计体力，即X=Y=Z=0，由平衡方程要求:

（）23By1Ax0A0,B0+=（）（）D12A10D0=若不计体力，且A、B、D不全为零，则不能满足平衡方程。

题设应变状态不能成立。

2222yxyyzxyzxxx222222yyzxyyzyzzx222222xyyzzzxzxzx222yxxyxxyzyz2zyyzyyzxzx2xzzxzzxyxy+=+=+=+=+=+=xxxyxyyyyzyzzzzxzx2GG2GG2GG=+=+=+=（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）xyxyxxyyxyyzxyzzx1EE121211E0121E0121+=+=+=+（）（）（）（）（）（）（）2D12A1XEy1213By1AxYE121Z0=+=+=yxzxxxyyzyyzxzzX0xyzY0xyzZ0xyz+=+=+=