用LINGO处理规划问题的探讨.pdf

1、-6 8-中国科技信息 2 0 0 6 年第 1 期 C H I N A S C I E N C E A N D T E C H N O L O G Y I N F O R M A T I O N J a n.2 0 0 6科 技 论 坛在工程技术、经济管理、科学研究和日常生活等诸多领域中，人们经常遇到一类决策问题，即在一系列限制条件下，寻求使某个或多个指标达到最大可最小，这种决策问题通常称为最优化问题。最优化理论是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性学科。它主要解决最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。主要研究方法是定量化、系统化和模型化方法，特别是运用各种数学模

2、型和技术来解决问题。它主要有决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成。当遇到的实际问题时即使建立了模型，找到了解的方法，对于较大的计算量也是望而却步。“工欲善其事，必先利其器”，手中有一个方便的求解最优化问题的工具就显得很重要。L I N G O 系列优化软件包就给我们提供了理想的选择。由于此类问题涉及到的基础知识比较多，而且在求解时用单纯形法比较麻烦，所以在高职院校一般不学相关内容。随着计算机的普及应用软件的升级，求解问题已不再麻烦，也便于高职学生掌握。故在高职院校的教学中渗透用L I N G O 软件来处理此类问题对学生在今后的工作是十分有益的。1，L I N G O 软件简介L I N

3、G O 是一个利用线性规划和非线性规划来简洁地阐述、解决和分析复杂问题的简便工具。其特点是程序执行速度很快，易于输入、修改、求解和分析一个数学规划问题，因此L I N G O 在教育、科研和工业界得到了广泛应用。L I N G O 主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。L I N G O 中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。2，初识 L I N G O当你在W i n d o w s 操作系统下开始运行L I N G O系统时，会得到一个窗口：外层是主框架窗口，

4、包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为L I N G OM o d e l L I N G O 1 的窗口是L I N G O 的默认模型窗口，建立的模型都要在该窗口内编码实现，下面举一个简单例子。例2.1 (生产计划问题)某工厂生产A，B，C 三种产品，每种产品都是得用同一种原材料加工而成，每种产品每生产一件所需的原材料数、加工工时、每件产品的利润以及工厂现有的原材料和加工工时见下表：问工厂应该制定什么样的生产计划，才能获得最大利润？解：设x1,x2,x3分别表示计划生产的产品A，B，C 的产量（单位：件），建立线性规划模型：用 L I N G O

5、 处理规划问题的探讨吕良军 郝振莉 黄河水利职业技术学院 4 7 5 0 0 1摘 要：运用L I N G O 软件辅助教学是运筹学教学模式的重大变革，实际上L I N G O 还是最优化问题的一种建模语言，易于方便地输入、求解和分析最优化问题。由于这些特点，L I N G O 软件在教学、科研和工业、商业、服务等领域得到广泛应用，同时也便于高职高专学生掌握和应用。关键词：L I N G O软件；最优化问题；数学模型；辅助教学接下来用L i n g o 来求解这处问题。先在L i n g o 窗口中输入如下代码：m a x=2 0*x 1+3 0*x 2+1 0*x 3;2*x 1+x 2+x

6、 3 =7;1 0 0*x 1+3 0 0*x 2+2 0 0*x 3 =1 1 0 0;然后点击工具条上的按钮运行即可。得出如下结果：G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o n f o u n d a t i t e r a t i o n:2O b j e c t i v e v a l u e:1 3 0.0 0 0 0 V a r i a b l e V a l u e R e d u c e d C o s t X 1 2.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 2 3.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 3

7、 0.0 0 0 0 0 0 1 2.0 0 0 0 0即最优解为：产品A 生产2 件，B 生产3 件，不生产产品C，可以获得1 3万元的最大利润。3，应用举例一般讲，在经济、管理等方面经常会碰到下列问题：1）解决问题目标函数能用数值指标来反映；2）存在着多种方案；3）要求达到的目标是一定约束条件下实现的。下面举例说明L i n g o 在经济管理方面的应用。例3 1（合理利用线材问题）现要做1 0 0 钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m 和1.5 m 的元钢各一根。已知原料长7.4 m，问应如何下料，使用的原材料最省。解 最简单做法是：在第一根原材料上截取2.9 m,2.1 m 和1.5

8、 m 的元钢各一根级成一套，每根原材料余下料头0.9 m，为了做1 0 0 套钢架，需用原材料1 0 0 根，有9 0 m 料头，若改为用套裁，则可以节约原材料。下面有几种套裁方案，都可以考虑采用。见下表(单位米)为了得到1 0 0 套钢架，需要混合使用各种下料方案。设按方案的原材料数为x1，方案为x2，方案为 x3，方案为 x4，方案为 x5。根据上表可列出以下数学模型：目标函数：m i n f(x)=0 x1+0.1 x2+0.2 x3+0.3 x4+0.8 x5约束条件：接下来用L i n g o 来求解这处问题。先在L i n g o 窗口中输入如下代码：m i n=0*x 1+0.1

9、*x 2+0.2*x 3+0.3*x 4+0.8*x 5;x 1+2*x 2+x 4=1 0 0;2*x 3+2*x 4+x 5=1 0 0;3*x 1+x 2+2*x 3+3*x 5=1 0 0;说明：L I N G O 是规定j非负的，我们可发现输入方式与我们的数学书写的形式基本一致。然后点击工具条上的按钮运行即可。得出如下结果：G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o n f o u n d a t i t e r a t i o n:0O b j e c t i v e v a l u e:1 6.0 0 0 0 0 V a r i a b l e

10、 V a l u e R e d u c e d C o s t X 1 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 2 4 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 3 3 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 4 2 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 X 5 0.0 0 0 0 0 0 0.7 4 0 0 0 0 0 R o w S l a c k o r S u r p l u s D u a l P r i c e 1 1 6.0 0 0 0 0 -1.0 0 0 0 0 0 2 0.0 0 0 0 0 0 -0.6 0

11、 0 0 0 0 0 E-0 1 3 0.0 0 0 0 0 0 -0.1 2 0 0 0 0 0 4 0.0 0 0 0 0 0 0.2 0 0 0 0 0 0 E-0 1由上面结果可最优下料方案是：按方案下料4 0 根，按方案下料3 0 根，按方案下料2 0 根。即需9 0 根原材料就可以制造1 0 0 套钢架，余料理1 6 米。下面给出其结果的一般解释：“G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o n f o u n d a t i t e r a t i o n:0”表示L I N G O 在（用单纯形法）0 次迭代或旋转后得到最优解。“O b j

12、e c t i v e v a l u e:1 6.0 0 0 0 0”表示最优目标值为1 6。“V a l u e”给出最优解中各变量的值。“S l a c k o r S u r p l u s”给出松弛变量的值。“R e d u c e d C o s t”列出最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时，目标函数的变化率，其中基变量的r e d u c e c o s t值应为，对于非基变量j 相应的r e d u c e c o s t 值表示j 增加一个单位（此时假定其他非基变量保持不变）时目标函数减小的量（m a x 型问题）。上例中：X 1 对应的 r e d

13、 u c e c o s t 值为，表示当 X 1=1 时，目标函数值不变。“D u a l P r i c e”（对偶价格）列出最优单纯形表中判别数所在行的松弛变量的系数，表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率，输出结果中对应每一个约束有一个对偶价格。若其数值为，表示对应约束中不等式右端项若增加一个单位，目标函数将增加个单位。当R E D U C E C O S T 或 D U A L P R I C E 的值为，表示当微小扰动不影响目标函数。有时通过分析D U A L P R I C E，也可对产生不可行问题的原因有所了解。例3.2 使用L I N G O 软件计算6 个发点8 个收

14、点的最小费用运输问题，产销单位运价如下表:-6 9-中国科技信息 2 0 0 6 年第 1 期 C H I N A S C I E N C E A N D T E C H N O L O G Y I N F O R M A T I O N J a n.2 0 0 6科 技 论 坛使用L I N G O 软件，编制程序如下：m o d e l:s e t s:w a r e h o u s e s/w h 1.w h 6/:c a p a c i t y;v e n d o r s/v 1.v 8/:d e m a n d;l i n k s(w a r e h o u s e s,v e n

15、d o r s):c o s t,v o l u m e;e n d s e t sm i n=s u m(l i n k s:c o s t*v o l u m e);f o r(v e n d o r s(J):s u m(w a r e h o u s e s(I):v o l u m e(I,J)=d e m a n d(J);f o r(w a r e h o u s e s(I):s u m(v e n d o r s(J):v o l u m e(I,J)=c a p a c i t y(I);d a t a:c a p a c i t y=6 0 5 5 5 1 4 3 4 1

16、 5 2;d e m a n d=3 5 3 7 2 2 3 2 4 1 3 2 4 3 3 8;c o s t=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;e n d d a t ae n d然后点击工具条上的按钮运行即可。得出如下结果：G l o b a l o p t i m a l s o l u t i o n f o u n d a t i t e r a t i o n:2 0O b j e c t i v e v a l u e:6 6 4.0 0 0 0V a r i a b l e V a l u e R e d u c e d C o s tC A P A C I T Y(W H 1)6 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0C A P A C I T Y(W H 2)5 5.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0C A P A C I T Y(W H 3)5 1.0 0 0 0 0 0.0 0 0