微分中值定理及其应用.docx

1、微分中值定理及其应用分类号 UDC 单位代码密 级 公 开 学 号 2006040223四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：指导教师：学科专业： 提交论文日期： 论文答辩日期： 学位授予单位：XXXXXX 数学与应用数学 2010年 4月 20 日 2010年 4月 28 日 四川文理学院中 国 达 州2010 年 4 月摘要 ABSTRACT 引言第一章 微分中值定理历史 . 11.1引言 11.2微分中值定理产生的历史 . 2第二章 微分中值定理介绍 . 42.1罗尔定理 42.2拉格朗日中值定理 42.3柯西中值定理 6第三章 微分中值定理应用 . 73.1根

2、的存在性的证明 73.2一些不等式的证明 83.3求不定式极限 103.3.1 0 型不定式极限 1003.3.2型不定式极限 113.4利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 . 12第四章 结论. 14参考文献 1516致谢微分中值定理及其应用学生 ：XXX 指导老师： XXX摘要 微分中值定理是微分学的基本定理之一 ,在微分学有着重要的地位，其发展经历了 几百年费马作为微积分的创立者 ,提出了费马定理，罗尔在方程的解法中又有了罗尔定理 的前身，拉格朗日在解析函数论一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在微分计算教 程中给出最初的柯西定理在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别微 分中

3、值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识在第三章微分中值定理的应用中 分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一 些经典的例题来诠释关键词： 罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限DIFFERENTIAL MEAN V ALUE THEOREM AND ITSAPPLICATIONstudent: Hu Zhanhong Supervisor: Hu RongABSTRACT Mean Value Theorem is one of the fundamental theorem of differential calc

4、ulus, the differential calculus plays an important role. Its development through the centuries, Fermat as the founder of calculus proposed Fermats theorem, Rolle in Equation Solution in the former, there has been Rolles theorem, Lagrange in the theory of analytic functions the first time a book Lagr

5、ange mean value theorem, Cauchy in the differential Computer Course given in the initial Cauchys theorem. In the second chapter presenteda detailed description of the Mean Value Theorem of the three major factions. Mean Value Theorem is very broad, can be seen in many areas of their theoretical know

6、ledge. Chapter III Application of Mean Value Theorem to prove the root, respectively, from the existence of the problem, that some of inequality, a brief description of the infinitive limit its application in three directions, and with some classic examples to explain.Key words: Rolles theorem，Lagra

7、nge theorem，Cauchy mean value theorem，Root of， Infinitive Limit第一章 微分中值定理历史11.1引言微分中值定理是微分学的基本定理之一 , 是研究函数的有力工具 . 微分中值定理有着明 显的几何意义和运动学意义 . 以拉格朗日 (Lagrange) 中值定理为例 , 它的几何意义： 一个定义 在区间 a,b上的可微(注：连续且除端点外处处具有不垂直于 x轴的切线) 的曲线弧 f(x),其上至少有一点 C， 使曲线在这一点的切线平行于连接点 (a, f(a)与(b,f(b) 的割线它 的运动学意义： 设 f 是质点的运动规律， 质点在

8、时间区间 a, b上走过的路程 f (b) f (a) , f(b) f (a)代表质点在 (a,b)上的平均速度， 在 (a,b)上至少存在某一时刻 ，使得质点在 ba的瞬时速度恰好是它的平均速度 .人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代 . 古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论 : “过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底” ,这正是拉格 朗日定理的特殊情况 . 希腊著名数学家阿基米德 (Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论 , 求 出抛物弓形的面积 .意大利卡瓦列里 (Cavalieri) 在不可分量几何学 (1635 年) 的卷一中给出处理平面 和立体图

9、形切线的有趣引理 , 其中引理 3基于几何的观点也叙述了同样一个事实 : 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦 . 这是几何形式的微分中值定理 , 被人们称为卡瓦列里定理 .人们对微分中值定理的研究 ,从微积分建立之时就开始了 . 1637 年,著名法国数学家费 马(Fermat) 在求最大值和最小值的方法中给出费马定理 ,在教科书中 , 人们通常将它称 为费马引理 .1691 年, 法国数学家罗尔 (Rolle) 在方程的解法 一文中给出多项式形式的罗 尔定理 .1797年,法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理 , 并给出最初的证明 对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯

10、西 (Cauchy) , 他是数学分析严格 化运动的推动者 , 他的三部巨著分析教程、 无穷小计算教程概论 (1823 年) 、微分 计算教程(1829 年)以严格化为其主要目标 , 对微积分理论进行了重构 . 他首先赋予中值定理 以重要作用 , 使其成为微分学的核心定理 . 在无穷小计算教程概论中 , 柯西首先严格地证 明了拉格朗日定理 ,又在微分计算教程 中将其推广为广义中值定理柯西定理 . 从而发现 了最后一个微分中值定理 .1.2微分中值定理产生的历史费马作为微积分的创立者 ,他在研究极大和极小问题的解法时 , 得到统一的解法“虚拟 等式法” ,从而得出原始形式的费马定理 . 所谓的虚

11、拟等式法 , 费马的“虚拟等式法”基于一 种非常直观的想法 ,如果 f(x0)为 f (x)的极大值,那么从直观上来看， f (x) 在x0附近值 变化很小 ,当e很小时 x x0 , f(x)和 f(x e)相差很小 .用现代语言来说 ,对于函数 f(x) , 让自变量从 x变化到 x e,当 f (x)为极值时 , f(x)和 f (x e)的差近似为 0,用e除虚拟等 式, f (x e) f(x) 0 ,然后让 e 0, 就得到函数极值点的导数值为 0,这就是费马定e理: 函数 f(x)在 x x0处取极值 ,并且可导 ,则 f (x) 0. 应该指出 : 费马给出以上结论 , 微积分

12、还处于初创阶段 ,并没有明确导数 , 极限连续的概念 , 用现代眼光来看 ,其论断也是不 严格的 . 现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的 .罗尔在论著方程的解法给出了“在多项式 a0xn a1xn 1 an 1x a0 0 的两个相邻根中 , 方程 na0xn 1 (n 1)a1xn 2 an 1 0至少有一个实根 . ”这是定理 :“ f(x) 在a,b上连续 ,在 (a,b)上可导 , 并且 f(a) f (b) ,则必存在一点 (a,b), 使 f ( ) 0”的特例 .也就是以上定理被称为罗尔定理的原因 . 最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有 所不同 ,

13、 而且证明也大相径庭 , 它是罗尔利用纯代数方法加以证明的 , 和微积分并没有什么联系. 现在看到的罗尔定理 ,是后人根据微积分理论重新证明 , 并把它推广为一般函数 ,“罗尔 定理”这一名称是由德罗比什在 1834年给出 , 并由意大利数学家贝拉维蒂斯在 1846年发表的 论文中正式使用的 .拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理它是指 :“ f(x) 在a,b上连续 ,在 (a,b)上可导 ,则存在一点 (a,b), 使 f (b) f(a) f ( ). ”这一定理是拉格朗日在ba 解析函数论一书中首先给出的 ,它最初形式为 :“函数 f(x) 在x0和 x之间连续 , f (x)的最

14、大值为 A,最小值为 B,则 f(x) f(x0) 必取 B, A中一个值 .”x x0历史上拉格朗日定理证明有三个 , 最初的证明是拉格朗日在解析函数论中给出的 . 这个证明很大程度建立在直观基础上 ,所以并不是严格的 . 它依赖于这样一个事实 : 当f (z) 0, f (z)在a,b上单调增加 .所用的条件也比现在强 ,现代中值定理只须 f (x) 在 a,b上可导 ,而拉格朗日最初的中值定理 ,却需 f(x)在a,b上可导 ,并存在连续导数 .并 且所用连续概念 ,也是直观的 , “假设变量连续地变化 ,那么函数将会产生相应变化 , 但是如 果不经过一切中间值 ,它就不会从一个值过渡到

15、另一个值 .” 十九世纪初 , 在以柯西等为代 表的微积分严格化运动中 , 人们给出了极限、连续、导数的严格定义 ,也给拉格朗日中值定理 以新的严格证明 ,柯西在无穷小计算概论中证明了：如果 f (x)在a,b为连续 ,则必有 一个 a,b,使 f(x) f (x0) f ( )现代形式的拉格朗日定理 ,是由法国数学家博x x0(O.Bonnet) 在其著作 Cours de Calcul Differentiel et integral 中给出的 ,他不是利 用 f (x)的连续性 ,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明 .柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广 .它是指: 设 f(x)和 F(x)在a,b上连续,在 (a,b)上可导 ,并且 F (x) 0 ,则必有一个值 (a,b), 使f (b) f (a) f ( )F(b) F(a) F ( )柯西在微分计算教程中给出最初的柯西定理 : f(x)和 F(x)在a,b上有连续的 导数,并且 F (x)在a,b上不为零 ,这时对于某一点 a,b,有f (b) f (a) f ( )F(b) F(a) F ( ) 柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似 .微分中值定理在柯西的微积分理论系统中