微分中值定理及其应用.docx

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微分中值定理及其应用

分类号UDC单位代码

密级公开学号2006040223

四川文理学院

学士学位论文

论文题目：

微分中值定理及其应用

论文作者：

指导教师：

学科专业：

提交论文日期：

论文答辩日期：

学位授予单位：

XXX

XXX数学与应用数学2010年4月20日2010年4月28日四川文理学院

中国达州

2010年4月

摘要

ABSTRACT

引言

第一章微分中值定理历史.1

1.1引言1

1.2微分中值定理产生的历史.2

第二章微分中值定理介绍.4

2.1罗尔定理4

2.2拉格朗日中值定理4

2.3柯西中值定理6

第三章微分中值定理应用.7

3.1根的存在性的证明7

3.2一些不等式的证明8

3.3求不定式极限10

3.3.10型不定式极限10

0

3.3.2型不定式极限11

3.4利用拉格朗日定理讨论函数的单调性.12

第四章结论.14

参考文献15

16

致谢

微分中值定理及其应用

学生：

XXX指导老师：

XXX

摘要微分中值定理是微分学的基本定理之一,在微分学有着重要的地位，其发展经历了几百年．费马作为微积分的创立者,提出了费马定理，罗尔在《方程的解法》中又有了罗尔定理的前身，拉格朗日在《解析函数论》一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理．在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别．微分中值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识．在第三章微分中值定理的应用中分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一些经典的例题来诠释．

关键词：

罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限

DIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMANDITS

APPLICATION

student:

HuZhanhongSupervisor:

HuRong

ABSTRACTMeanValueTheoremisoneofthefundamentaltheoremofdifferentialcalculus,thedifferentialcalculusplaysanimportantrole.Itsdevelopmentthroughthecenturies,FermatasthefounderofcalculusproposedFermat'stheorem,Rollein"EquationSolution"intheformer,therehasbeenRolle'stheorem,Lagrangeinthe"theoryofanalyticfunctions"thefirsttimeabookLagrangemeanvaluetheorem,Cauchyinthe"differentialComputerCourse"givenintheinitialCauchy'stheorem.InthesecondchapterpresentedadetaileddescriptionoftheMeanValueTheoremofthethreemajorfactions.MeanValueTheoremisverybroad,canbeseeninmanyareasoftheirtheoreticalknowledge.ChapterIIIApplicationofMeanValueTheoremtoprovetheroot,respectively,fromtheexistenceoftheproblem,thatsomeofinequality,abriefdescriptionoftheinfinitivelimititsapplicationinthreedirections,andwithsomeclassicexamplestoexplain.

Keywords:

Rolle'stheorem，Lagrangetheorem，Cauchymeanvaluetheorem，Rootof，InfinitiveLimit

第一章微分中值定理历史

[1]

1.1引言

微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具.微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日（Lagrange）中值定理为例,它的几何意义：

一个定义在区间[a,b]上的可微（注：

连续且除端点外处处具有不垂直于x轴的切线）的曲线弧f（x）,

其上至少有一点C，使曲线在这一点的切线平行于连接点（a,f（a））与（b,f（b））的割线．它的运动学意义：

设f是质点的运动规律，质点在时间区间[a,b]上走过的路程f（b）f（a）,f（b）f（a）代表质点在（a,b）上的平均速度，在（a,b）上至少存在某一时刻，使得质点在ba

的瞬时速度恰好是它的平均速度.

人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究

中,得到如下结论:

“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德（Archimedes）正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:

曲线段上

必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之时就开始了.1637年,著名法国数学家费马（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马引理.1691年,法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最

初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy）,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》（1823年）、《微分计算教程》（1829年）以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.

1.2微分中值定理产生的历史

费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,费马的“虚拟等式法”基于一种非常直观的想法,如果f（x0）为f（x）的极大值,那么从直观上来看，f（x）在x0附近值变化很小,当e很小时xx0,f（x）和f（xe）相差很小.用现代语言来说,对于函数f（x）,让自变量从x变化到xe,当f（x）为极值时,f（x）和f（xe）的差近似为0,用e除虚拟等式,f（xe）f（x）0,然后让e0,就得到函数极值点的导数值为0,这就是费马定

e

理:

函数f（x）在xx0处取极值,并且可导,则f（x）0.应该指出:

费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.

罗尔在论著《方程的解法》给出了“在多项式a0xna1xn1an1xa00的两个相

邻根中,方程na0xn1（n1）a1xn2an10至少有一个实根.”这是定理:

“f（x）在

［a,b］上连续,在（a,b）上可导,并且f（a）f（b）,则必存在一点（a,b）,使f（）0”

的特例.也就是以上定理被称为罗尔定理的原因.最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联

系.现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.

拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指:

“f（x）在［a,b］上连续,在（a,b）上可导,则存在一点（a,b）,,使f（b）f（a）f（）.”这一定理是拉格朗日在

ba《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:

“函数f（x）在x0和x之间连续,f（x）

的最大值为A,最小值为B,则f（x）f（x0）必取［B,A］中一个值.”

xx0

历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的.这个证明很大程度建立在直观基础上,所以并不是严格的.它依赖于这样一个事实:

当

f（z）0,f（z）在［a,b］上单调增加.所用的条件也比现在强,现代中值定理只须f（x）在［a,b］上可导,而拉格朗日最初的中值定理,却需f（x）在［a,b］上可导,并存在连续导数.并且所用连续概念,也是直观的,“假设变量连续地变化,那么函数将会产生相应变化,但是如果不经过一切中间值,它就不会从一个值过渡到另一个值.”十九世纪初,在以柯西等为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限、连续、导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明,柯西在《无穷小计算概论》中证明了：

如果f（x）在［a,b］为连续,则必有一个［a,b］,使f（x）f（x0）f（）现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家博

xx0

（O.Bonnet）在其著作《CoursdeCalculDifferentieletintegral》中给出的,他不是利用f（x）的连续性,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明.

柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指:

设f（x）和F（x）在［a,b］上连续,在（a,b）上可导,并且F（x）0,则必有一个值（a,b）,使

f（b）f（a）f（）

F（b）F（a）F（）

柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理:

f（x）和F（x）在［a,b］上有连续的导数,并且F（x）在［a,b］上不为零,这时对于某一点［a,b］,有

f（b）f（a）f（）

F（b）F（a）F（）柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.

微分中值定理在柯西的微积分理论系统中