62等差数列典型例题及详细解答.docx

1、62等差数列典型例题及详细解答精心整理1等差数列的定义一般地，假如一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用字母_d_表示2等差数列的通项公式假如等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项假如A，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推行：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.殒铃庐瑩釷貽栊殴泷撸鲣铨纲鵬烴。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.精心

2、整理(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak*5等差数列的前 n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前 n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列?SnAn2Bn(A、B为常数)7等差数列的前 n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值【思虑辨析】釕燒铉鹑涛織头詐荦节缬鍰鵂窍嘸。判断下边结论能否正确 (请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的精心整理差都是常数，则这个数列是等差数列 ( )(2

3、)数列an为等差数列的充要条件是对随意 nN*，都有2an1anan2.( )(3)等差数列an的单一性是由公差 d决定的( )(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( )(5)数列an知足an1ann，则数列an是等差数列( )(6)已知数列an的通项公式是anpnq(此中p，q为常数)，则数列an必定是等差数列()1(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，娈鏃遞彥鹩蘋擞圇浊鎔閶谇狹蝼廢。则a6等于( )A1B0C1D6答案 B分析 由等差数列的性质，得 a62a4a222精心整理40，选B.2(2014福建)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312

4、，则a6等于( )A8B10C12D14答案 C分析 由题意知a12，由S33a1d12，解得d2，所以a6a15d25212，应选C.3在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11等于( )A58B88C143D176答案 B分析 S1188.4设数列an是等差数列，若 a3a4a512，则a1a2a7等于( )精心整理A14B21C28D35答案 C分析 a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5(2014京北)若等差数列an知足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大韉鯤麥雜胀鳝綺鈍铌語聋閌謀戰擊。答案8分析因为数列an是等差数列，且a

5、7a8a93a80，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90.故当n8时，其前n项和最大题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列an中，若a12，且对随意的nN*有2an112an，则数列an前10项的和为( )精心整理A2B10C.D.(2)已知在等差数列an中，a27，a415，则前10项和S10等于( )A100 B210C380 D400答案 (1)C (2)B分析 (1)由2an112an得an1an，所以数列an是首项为2，公差为的等差数列，所以S1010(2).(2)因为a27，a415，所以d4，a13，脱皸莳玺務荜现黲辽缕卖鰱執晓頂。故S101031094210.

6、思想升华 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，而后由通项公式或前 n项和公式转变成方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及精心整理前n项和公式，共波及五个量a1，an，d，n，Sn，知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想亿鷥俭塹缽鄴賅玀裥马輊创择錛餌。(1)(2015课标全国)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5等于( )间嶁點颠阑黿缈辦鵒歐娇嘍恸辫浓。A5B7C9D11(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且知足1，则数列an的公差是( )1C2D3答案 (1)A (2)C分析 (1)an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31

7、，S55a35.应选A.(2)Sn，又1，得1，即a3a22，精心整理数列an的公差为2.题型二 等差数列的判断与证明例2已知数列an中，a1，an2(n2，nN*)，数列bn知足bn(nN*)(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明原因(1)证明 因为an2(n2，nN*)，濾薮繯細掺議躊备夺棟滅恋約犧襪。bn(nN*)，所以bn1bn1.又b1.所以数列bn是以为首项，1为公差的等差数列(2)解 由(1)知bnn，贞纹氢鴯獺泽齠聾驤蒔靨觞執鹼絹。则an11.精心整理设f(x)1，则f(x)在区间(，)和(，)上为减函数所以当n3时，an获得最小值1，当n4

8、时，an获得最大值3.引申研究例2中，若条件变成a1，nan1(n1)ann(n1)，研究数列an的通项公式解由已知可得1，橈妈鮐壳畬著餿锦瑤愜單轮萨赂铕。即1，又a1，是以为首项，1为公差的等差数列，(n1)1n，ann2n.思想升华 等差数列的四个判断方法精心整理(1)定义法：证明对随意正整数 n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对随意正整数 n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，依据定义得出数列an为等差数列(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对随意正整数 n恒建立，依据定义判断数列 an为等差数列際鉗谚

9、闔謅纯鹉樹覺喲靈獵夢龈鐿。(4)前n项和公式法：得出 SnAn2Bn后，依据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列 an銣釵誚辞阙旧電瓊锲僑軺鳜檩傩轹。为等差数列精心整理(1)若an是公差为1的等差数列，则a2n12a2n是( )A公差为3的等差数列B公差为4的等差数列C公差为6的等差数列D公差为9的等差数列(2)在数列an中，若a11，a2，(nN*)，则巩縐寫滥吓专闾兽袭裆恹檻伦峽驻。该数列的通项为( )Aan BanCan Dan答案 (1)C (2)A分析 (1)a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3)2(a2na2n2)2226，a2n12a2n是公差为6

10、的等差数列(2)由已知式可得釹缍佇嗆將閘擻崢義嘗钭辽齟薮飆。，知是首项为1，公差为211的精心整理等差数列，所以n，即an.精心整理题型三 等差数列的性质及应用命题点1 等差数列的性质例3(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.繾证氬測療兗讥榇躓钯懲贏悦呒襉。(2)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案 (1)10 (2)60分析 (1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)S10，S20S10，S30S20成等差数列，且 S10

11、10，S2030，S20S1020，颌颈问馏羨鈐訣变櫝掃违聂濃譎宠。S30301021030，S3060.命题点2 等差数列前n项和的最值精心整理例4 在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn获得最大值，并求出它的最大值解 a120，S10S15，1020d1520d，d.方法一 由an20(n1)n.得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.湊帥谐缪權灣溆帮銃蛏癆桡针鍥峥。当n12或13时，Sn获得最大值，且最大值为S12S131220130.方法二 Sn20nn2n精心整理2.nN*，当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12S

12、13130.方法三 由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或13时，Sn有最大值，且最大值为 S12S13130.引申研究例4中，若条件“a120”改为a120，其余条件不变，求当n取何值时，Sn获得最小值，并求出最小值解 由S10S15，得a11a12a13a14a150，a130.又a120，a120，雙峤颛毙签驏芻遼荠术麽鹫缂埡贴。精心整理当n12或13时，Sn获得最小值，最小值S12S13130.思想升华 (1)等差数列的性质：溆蘢葒琿缨铉凫擱伟闖歿颜綾盏达。项的性质：在等差数列an中，aman(mn)d?d(mn)，其几何意义是点(n，an

13、)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，芻诨劌漁酾践钊潴邇礫妝绊颦筆堅。则aS2nn(a1a2n) n(anan1)；bS2n1(2n1)an.(2)求等差数列前 n项和Sn最值的两种方法：骘縮繳贰赌馒跷殇賁鴛骄苋蝦禮標。函数法：利用等差数列前 n项和的函数表达式 Sn精心整理an2bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：a当a10，d0时，知足的项数 m使得Sn获得最大值Sm；b当a10，d0时，知足的项数 m使得Sn获得最小值Sm.(1)等差数列an的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a82，则当Sn取最大值时，n

14、的值是( )A5B6C7D8(2)设数列an是公差d0的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为( )精心整理A5 B6C5或6 D11(3)已知等差数列an的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为_答案 (1)B (2)C (3)110分析 (1)依题意得2a64,2a72，a620，a710；又数列an是等差数列，所以在该数列中，前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选B.蛮翹蓽壞東间潋恻涞关册绳炝税让。(2)由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大，选C.(3)因为等差数列an的

15、首项a120，公差d2，代入乞降公式得，Snna1d20n2精心整理n221n22，又因为nN*，所以n10或n11时，Sn获得最大值，最大值为 110.6等差数列的前 n项和及其最值典例 (1)在等差数列an中，2(a1a3a5)3(a7a9)54，则此数列前 10项的和S10等于( )A45 B60C75 D90(2)在等差数列an中，S10100，S10010，则S110_.(3)等差数列an中，已知a50，a4a70，a2a3a1da2d(a1a2)2d，因为d正负不确立，因此a2a3符号不确立，应选项A错；若a1鍺椟櫻數澮饴劍蠆瑶銀辦澇鷥炼傷。a30，a1a2a1a3d(a1a3)d

16、，因为d正负不确立，因此a1a2符号不确立，应选项B错；若0a10，d0，a20，a30，所以aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，所以a2，应选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)沣掳缕盏嫵繢吳謎遜鍘糞痹蘊奮綾。d20，应选项D错3设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m等于( )A3 B4C5 D6精心整理答案 C分析 数列an为等差数列，且前 n项和为Sn，数列也为等差数列，即0，解得m5，经查验为原方程的解，应选 C.繪峤鎣賂鳗礙蝇权鎦创单蠷鳶幃鱿。4数列an的首项为3，bn为等差数列，且 bnan1an(nN*)，若b32，b101

17、2，则a8等于( )A0 B3C8 D11答案 B分析 设bn的公差为d，b10b37d12(2)14，d2.b32，b1b32d246.諭鼋屢钗玨锐禮谓對絢鍍倾鈾滗銅。精心整理b1b2b77b1d7(6)2120.又b1b2b7(a2a1)(a3a2)(a8a7)a8a1a830，讯惧坜铤蛊氈谝設妈财苹荞懔劢悫。a83.应选B.5已知数列an知足an1an，且a15，设an的前n项和为Sn，则使得Sn获得最大值的序号n鐳缲鈞恽鷯茲獸瀏鏘鋌厦诊湿馆鮭。的值为( )A7 B8C7或8 D8或9答案 C分析 由题意可知数列an是首项为5，公差为的等差数列，所以 an5(n1)，该数列前7项是正数项

18、，第8项是0，从第9项开始是负数项，所精心整理以Sn获得最大值时，n7或8，应选C.6已知数列an中，a11且(nN*)，则a10臚猕熱鹭蠅师轫巹鸣筍銮鲅銪骏钗。_.答案分析 由已知得(101)134，故a10.7已知递加的等差数列 an知足a11，a3a4，则an_.答案 2n1分析 设等差数列的公差为 d，a3a4，12d(1d)24，解得d24，即d2.因为该数列为递加数列，故 d2.an1(n1)22n1.精心整理8设数列an的通项公式为 an2n10(nN*)，则|a1|a2|a15|_.鲁麥從烛閎轢脶阍濕瘪悅著齔麽顯。答案 130分析由aN*知是以为首项，n2n10(n)n8a为公

19、差的等差数列，又由an2n100得n5，n5时，an0，当n5时，an0，|a1|a2|锺铁麩韩捣积緋黷懼輯癤蚀邓贮沧。|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a15)20110130.9若数列an的前n项和为Sn，且知足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明当n2时，由an2Snn10，S得SnSn12SnSn1，所以2，精心整理又2，故是首项为 2，公差为2的等差数列(2)解 由(1)可得2n，Sn.当n2时，anSnSn1.户謗蹤积谭婦玨储鮫苧锒儐泷鵡屡。当n1时，a1不合适上式故an10等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10

20、，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？解 方法一 由S3S11得3a1d11a1d，则da1.垆絢睪謀圇慍贳裆鏢謔漲侠显傳閹。进而Snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故当n7时，Sn最大方法二 因为Snan2bn是对于n的二次函数，精心整理由S3S11，可知Snan2bn的图象对于n7对称由方法一可知 a0，故当n7时，Sn最大杂丽誒憑睑隱却讵復詢贫币廩怂缏。方法三 由方法一可知，da1.要使Sn最大，则有即解得n，故当n7时，Sn最大方法四 由S3S11，可得2a113d0，债窺恸闰锁兗磧釅鸵氣鸸凤藶轉輾。即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，Sn最大B