62等差数列典型例题及详细解答.docx
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62等差数列典型例题及详细解答
精心整理
1.等差数列的定义
一般地,假如一个数列从第2项起,每一项与它的
前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做
等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,往常用
字母__d__表示.
2.等差数列的通项公式
假如等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
假如A=,那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推行:
an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
殒铃庐瑩釷貽栊殴泷撸鲣铨纲鵬烴。
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数
列,公差为2d.
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(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差
数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+*
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn
na1+d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列?
Sn=An2+Bn(A、B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最__大__值;若a1<0,d>0,则Sn存在最__小__值.【思虑辨析】
釕燒铉鹑涛織头詐荦节缬鍰鵂窍嘸。
判断下边结论能否正确(请在括号中打“√”或
“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的
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差都是常数,则这个数列是等差数列.(×)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*,
都有2an+1=an+an+2.(√)
(3)等差数列{an}的单一性是由公差d决定
的.(√)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为
n的一次函数.(×)
(5)数列{an}知足an+1-an=n,则数列{an}是等差数
列.(×)
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(此中p,q为常数),则数列{an}必定是等差数列.(√)
1.(2015重·庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,
娈鏃遞彥鹩蘋擞圇浊鎔閶谇狹蝼廢。
则a6等于()
A.-1B.0C.1D.6
答案B
分析由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-
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4=0,选B.
2.(2014福·建)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1
=2,S3=12,则a6等于()
A.8B.10C.12D.14
答案C
分析由题意知a1=2,由S3=3a1+×d=12,
解得d=2,所以a6=a1+5d=2+5×2=12,应选
C.
3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列
前11项和S11等于()
A.58B.88C.143D.176
答案B
分析S11===88.
4.设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则
a1+a2++a7等于()
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A.14B.21C.28D.35
答案C
分析∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,
a1+a2++a7=7a4=28.
5.(2014·京北)若等差数列{an}知足a7+a8+a9>0,
a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最
大.韉鯤麥雜胀鳝綺鈍铌語聋閌謀戰擊。
答案
8
分析
因为数列
{an}是等差数列,且
a7+a8+a9=3a8
>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<
0.故当n=8时,其前n项和最大.
题型一等差数列基本量的运算
例1
(1)在数列{an}中,若a1=-2,且对随意的
n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为
()
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A.2B.10C.D.
(2)已知在等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10
项和S10等于()
A.100B.210
C.380D.400
答案
(1)C
(2)B
分析
(1)由2an+1=1+2an得an+1-an=,
所以数列{an}是首项为-2,公差为的等差数列,
所以S10=10×(-2)+×=.
(2)因为a2=7,a4=15,所以d=4,a1=3,
脱皸莳玺務荜现黲辽缕卖鰱執晓頂。
故S10=10×3+×10×9×4=210.
思想升华
(1)等差数列运算问题的一般求法是设
出首项a1和公差d,而后由通项公式或前n项和公
式转变成方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及
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前n项和公式,共波及五个量a1,an,d,n,Sn,
知此中三个就能求此外两个,表现了方程的思想.
亿鷥俭塹缽鄴賅玀裥马輊创择錛餌。
(1)(2015课·标全国Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的
前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于()
间嶁點颠阑黿缈辦鵒歐娇嘍恸辫浓。
A.5B.7C.9D.11
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且知足-=
1,则数列{an}的公差是()
.1C.2D.3
答案
(1)A
(2)C
分析
(1)∵{an}为等差数列,∴a1+a5=2a3,
a1+a3+a5=3a3=3,得a3=1,
S5==5a3=5.应选A.
(2)∵Sn=,∴=,又-=1,
得-=1,即a3-a2=2,
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∴数列{an}的公差为2.
题型二等差数列的判断与证明
例2已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),
数列{bn}知足bn=(n∈N*).
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明原因.
(1)证明因为an=2-(n≥2,n∈N*),
濾薮繯細掺議躊备夺棟滅恋約犧襪。
bn=(n∈N*),
所以bn+1-bn=-
=-=-=1.
又b1==-.
所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解由
(1)知bn=n-,
贞纹氢鴯獺泽齠聾驤蒔靨觞執鹼絹。
则an=1+=1+.
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设f(x)=1+,
则f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)上为减函数.
所以当n=3时,an获得最小值-1,当n=4时,an
获得最大值3.
引申研究
例2中,若条件变成a1=,nan+1=(n+1)an+n(n
1),研究数列{an}的通项公式.解由已知可得=+1,
橈妈鮐壳畬著餿锦瑤愜單轮萨赂铕。
即-=1,又a1=,
∴是以=为首项,1为公差的等差数列,
∴=+(n-1)·1=n-,
∴an=n2-n.
思想升华等差数列的四个判断方法
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(1)定义法:
证明对随意正整数n都有an+1-an等于
同一个常数.
(2)等差中项法:
证明对随意正整数n都有2an+1=
an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an
an-1=an-1-an-2==a2-a1,依据定义得出数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:
得出an=pn+q后,得an+1-an=p
对随意正整数n恒建立,依据定义判断数列{an}为
等差数列.
際鉗谚闔謅纯鹉樹覺喲靈獵夢龈鐿。
(4)前n项和公式法:
得出Sn=An2+Bn后,依据
Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}銣釵誚辞阙旧電瓊锲僑軺鳜檩傩轹。
为等差数列.
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(1)若{an}是公差为1的等差数列,则{a2n-1
+2a2n}是()
A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列
(2)在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则
巩縐寫滥吓专闾兽袭裆恹檻伦峽驻。
该数列的通项为()
A.an=B.an=
C.an=D.an=
答案
(1)C
(2)A
分析
(1)∵a2n-1+2a2n-(a2n-3+2a2n-2)
(a2n-1-a2n-3)+2(a2n-a2n-2)
2+2×2=6,
∴{a2n-1+2a2n}是公差为6的等差数列.
(2)由已知式=+可得釹缍佇嗆將閘擻崢義嘗钭辽齟薮飆。
-=-,知{}是首项为=1,公差为-=2-1=1的
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等差数列,所以=n,即an=.
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题型三等差数列的性质及应用
命题点1等差数列的性质
例3
(1)(2015广·东)在等差数列{an}中,若a3+a4
a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
繾证氬測療兗讥榇躓钯懲贏悦呒襉。
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,
S20=30,则S30=________.
答案
(1)10
(2)60
分析
(1)因为{an}是等差数列,所以a3+a7=a4+a6
a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即
a5=5,a2+a8=2a5=10.
(2)∵S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,且S10=
10,S20=30,S20-S10=20,
颌颈问馏羨鈐訣变櫝掃违聂濃譎宠。
S30-30=10+2×10=30,∴S30=60.
命题点2等差数列前n项和的最值
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例4在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为
Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn获得最大值,
并求出它的最大值.
解∵a1=20,S10=S15,
10×20+d=15×20+d,
d=-.
方法一由an=20+(n-1)×=-n+.
得a13=0.
即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
湊帥谐缪權灣溆帮銃蛏癆桡针鍥峥。
∴当n=12或13时,Sn获得最大值,
且最大值为S12=S13=12×20+×=130.
方法二Sn=20n+·
=-n2+n
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=-2+.
∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最
大值为S12=S13=130.
方法三由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.
5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12
S13=130.
引申研究
例4中,若条件“a1=20”改为a1=-20,其余条件不变,求当n取何值时,Sn获得最小值,并求出最小值.
解由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0,
∴a13=0.又a1=-20,∴a12<0,a14>0,雙峤颛毙签驏芻遼荠术麽鹫缂埡贴。
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∴当n=12或13时,Sn获得最小值,
最小值S12=S13==-130.
思想升华
(1)等差数列的性质:
溆蘢葒琿缨铉凫擱伟闖歿颜綾盏达。
①项的性质:
在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d?
d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
②和的性质:
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,
芻诨劌漁酾践钊潴邇礫妝绊颦筆堅。
则
a.S2n=n(a1+a2n)==n(an+an+1);
b.S2n-1=(2n-1)an.
(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:
骘縮繳贰赌馒跷殇賁鴛骄苋蝦禮標。
①函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn
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an2+bn,经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
②邻项变号法:
a.当a1>0,d<0时,知足的项数m使得Sn获得
最大值Sm;
b.当a1<0,d>0时,知足的项数m使得Sn获得
最小值Sm.
(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a5+
a7=4,a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是
()
A.5B.6C.7D.8
(2)设数列{an}是公差d<0的等差数列,Sn为前n项
和,若S6=5a1+10d,则Sn取最大值时,n的值为
()
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A.5B.6
C.5或6D.11
(3)已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,
则前n项和Sn的最大值为________.
答案
(1)B
(2)C(3)110
分析
(1)依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=2>0,a7
=-1<0;又数列{an}是等差数列,所以在该数列中,
前6项均为正数,自第7项起此后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.
蛮翹蓽壞東间潋恻涞关册绳炝税让。
(2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d,所以a6=0,
故当n=5或6时,Sn最大,选C.
(3)因为等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,
代入乞降公式得,
Sn=na1+d=20n-×2
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=-n2+21n=-2+2,
又因为n∈N*,所以n=10或n=11时,Sn获得最
大值,最大值为110.
6.等差数列的前n项和及其最值
典例
(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+
a9)=54,则此数列前10项的和S10等于()
A.45B.60
C.75D.90
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110
________.
(3)等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}
摄龐龌辽灯煙浔侩敵躍誄膚紉樯酽。
的前n项和Sn的最大值为()
A.S4B.S5C.S6D.S7
思想点拨
(1)求等差数列前n项和,能够经过求解
基本量a1,d,代入前n项和公式计算,也能够利用
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等差数列的性质:
a1+an=a2+an-1=;
(2)求等差数列前n项和的最值,能够将Sn化为对于
的二次函数,求二次函数的最值,也能够察看等差数列的符号变化趋向,找最后的非负项或非正项.
来罵榇绂儂练羈讎讖员傥圓阴胁鲷。
分析
(1)由题意得a3+a8=9,
所以S10====45.
(2)方法一设数列{an}的公差为d,首项为a1,
则解得
所以S110=110a1+d=-110.
方法二因为S100-S10==-90,
所以a11+a100=-2,
所以S110=
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==-110.
(3)因为所以
所以Sn的最大值为S5.
答案
(1)A
(2)-110(3)B
温馨提示
(1)利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时,要注意到n∈N*;
(2)利用等差数列的性质求Sn,突出了整体思想,减
少了运算量.
[方法与技巧]
1.在解相关等差数列的基本量问题时,可经过列关
于a1,d的方程组进行求解.
2.证明等差数列要用定义;此外还能够用等差中项
法,通项公式法,前n项和公式法判断一个数列是镯諫憐苇腳鵝蔣锆証紙扰舆桨点负。
否为等差数列.
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3.等差数列性质灵巧使用,能够大大减少运算量.
4.在碰到三个数成等差数列问题时,可设三个数为
(1)a,a+d,a+2d;
(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a
+d,a+3d等,可视详细状况而定.
鉤膩鹊姗輻潜驮凉榇热鴯蠼跞錨織。
[失误与防备]
1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一
次函数,当公差d=0时,an为常数.
2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二
次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是
常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,
它从第二项起成等差数列.
鏢繳傯鸸諳嬋屆樹篋癤圍争绑鈑闻。
A组专项基础训练
(时间:
35分钟)
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1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6
=36,则a7+a8+a9等于()
A.63B.45C.36D.27
答案B
分析由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6
为等差数列.
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
获得S9-S6=2S6-3S3=45,应选B.
2.(2015·京北)设{an}是等差数列,以下结论中正确
熱綞騙皚亙谥紕藎吓鏤鹅枢讀戰擴。
的是()
A.若a1+a2>0,则a2+a3>0
B.若a1+a3<0,则a1+a2<0
C.若0<a1<a2,则a2>
D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0
答案C办讯骝跷憐跷倫誘项鱿駟胫赁鍍齔。
精心整理
分析设等差数列{an}的公差为d,若a1+a2>0,a2
a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,因为d正负不确立,因此a2+a3符号不确立,应选项A错;若a1
鍺椟櫻數澮饴劍蠆瑶銀辦澇鷥炼傷。
a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1+a3)-d,因为d正
负不确立,因此a1+a2符号不确立,应选项B错;
若00,d>0,a2>0,a3>0,所以a-
a1a3=(a1+d)2-a1(a1+2d)=d2>0,所以a2>,应选
项C正确;若a1<0,则(a2-a1)·(a2-a3)=d·(-d)=
沣掳缕盏嫵繢吳謎遜鍘糞痹蘊奮綾。
-d2≤0,应选项D错.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,
Sm=0,Sm+1=3,则m等于()
A.3B.4
C.5D.6
精心整理
答案C
分析∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列也为等差数列.
∴+=,即+=0,
解得m=5,经查验为原方程的解,应选C.
繪峤鎣賂鳗礙蝇权鎦创单蠷鳶幃鱿。
4.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=
an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于
()
A.0B.3
C.8D.11
答案B
∵分析设{bn}的公差为d,
∵
∵
∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2.
∵
∵
∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6.諭鼋屢钗玨锐禮谓對絢鍍倾鈾滗銅。
精心整理
b1+b2++b7=7b1+d
7×(-6)+21×2=0.
又b1+b2++b7=(a2-a1)+(a3-a2)++(a8-
a7)=a8-a1=a8-3=0,
讯惧坜铤蛊氈谝設妈财苹荞懔劢悫。
a8=3.应选B.
5.已知数列{an}知足an+1=an-,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn获得最大值的序号n
鐳缲鈞恽鷯茲獸瀏鏘鋌厦诊湿馆鮭。
的值为()
A.7B.8
C.7或8D.8或9
答案C
分析由题意可知数列{an}是首项为5,公差为-的
等差数列,所以an=5-(n-1)=,该数列前7项是
正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所
精心整理
以Sn获得最大值时,n=7或8,应选C.
6.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10
臚猕熱鹭蠅师轫巹鸣筍銮鲅銪骏钗。
________.
答案
分析由已知得=+(10-1)×=1+3=4,
故a10=.
7.已知递加的等差数列{an}知足a1=1,a3=a-4,
则an=________.
答案2n-1
分析设等差数列的公差为d,
a3=a-4,∴1+2d=(1+d)2-4,
解得d2=4,即d=±2.
因为该数列为递加数列,故d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
精心整理
8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则
|a1|+|a2|++|a15|=________.
鲁麥從烛閎轢脶阍濕瘪悅著齔麽顯。
答案130
分析
由a=
-
∈
N
*
知
是以-为首项,
n
2n
10(n
)
n
8
{a}
为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,∴n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|
锺铁麩韩捣积緋黷懼輯癤蚀邓贮沧。
++|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6++a15)
20+110=130.
9.若数列{an}的前n项和为Sn,且知足an+2SnSn
1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:
成等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)
证明
当
n
≥
2
时,由
a
n+2Snn-1=0,
S
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,
精心整理
又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由
(1)可得=2n,∴Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-==-.
户謗蹤积谭婦玨储鮫苧锒儐泷鵡屡。
当n=1时,a1=不合适上式.
故an=
10.等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?
解方法一由S3=S11得
3a1+d=11a1+d,则d=-a1.
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进而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,
又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大.
方法二因为Sn=an2+bn是对于n的二次函数,
精心整理
由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象对于n==7
对称.由方法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn
最大.
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方法三由方法一可知,d=-a1.
要使Sn最大,则有
即
解得≤n≤,故当n=7时,Sn最大.
方法四由S3=S11,可得2a1+13d=0,
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即(a1+6d)+(a1+7d)=0,
故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,
所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.
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