62等差数列典型例题及详细解答.docx
《62等差数列典型例题及详细解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《62等差数列典型例题及详细解答.docx（68页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
62等差数列典型例题及详细解答
精心整理
1．等差数列的定义
一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的
前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，往常用
字母__d__表示．
2．等差数列的通项公式
假如等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.
3．等差中项
假如A＝，那么A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
（1）通项公式的推行：
an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
殒铃庐瑩釷貽栊殴泷撸鲣铨纲鵬烴。
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数
列，公差为2d.
精心整理
（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差
数列．
（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋*
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn
na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列?
Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．【思虑辨析】
釕燒铉鹑涛織头詐荦节缬鍰鵂窍嘸。
判断下边结论能否正确（请在括号中打“√”或
“×”）
（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的
精心整理
差都是常数，则这个数列是等差数列．（×）
（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对随意n∈N*，
都有2an＋1＝an＋an＋2.（√）
（3）等差数列{an}的单一性是由公差d决定
的．（√）
（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为
n的一次函数．（×）
（5）数列{an}知足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数
列．（×）
（6）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（此中p，q为常数），则数列{an}必定是等差数列．（√）
1．（2015重·庆）在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，
娈鏃遞彥鹩蘋擞圇浊鎔閶谇狹蝼廢。
则a6等于（）
A．－1B．0C．1D．6
答案B
分析由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－
精心整理
4＝0，选B.
2．（2014福·建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1
＝2，S3＝12，则a6等于（）
A．8B．10C．12D．14
答案C
分析由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，
解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，应选
C.
3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列
前11项和S11等于（）
A．58B．88C．143D．176
答案B
分析S11＝＝＝88.
4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则
a1＋a2＋＋a7等于（）
精心整理
A．14B．21C．28D．35
答案C
分析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，
a1＋a2＋＋a7＝7a4＝28.
5．（2014·京北）若等差数列{an}知足a7＋a8＋a9>0，
a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最
大．韉鯤麥雜胀鳝綺鈍铌語聋閌謀戰擊。
答案
8
分析
因为数列
{an}是等差数列，且
a7＋a8＋a9＝3a8
＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜
0.故当n＝8时，其前n项和最大．
题型一等差数列基本量的运算
例1
（1）在数列{an}中，若a1＝－2，且对随意的
n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为
（）
精心整理
A．2B．10C.D.
（2）已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10
项和S10等于（）
A．100B．210
C．380D．400
答案
（1）C
（2）B
分析
（1）由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，
所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，
所以S10＝10×（－2）＋×＝.
（2）因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，
脱皸莳玺務荜现黲辽缕卖鰱執晓頂。
故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.
思想升华
（1）等差数列运算问题的一般求法是设
出首项a1和公差d，而后由通项公式或前n项和公
式转变成方程（组）求解．
（2）等差数列的通项公式及
精心整理
前n项和公式，共波及五个量a1，an，d，n，Sn，
知此中三个就能求此外两个，表现了方程的思想．
亿鷥俭塹缽鄴賅玀裥马輊创择錛餌。
（1）（2015课·标全国Ⅱ）设Sn是等差数列{an}的
前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于（）
间嶁點颠阑黿缈辦鵒歐娇嘍恸辫浓。
A．5B．7C．9D．11
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且知足－＝
1，则数列{an}的公差是（）
．1C．2D．3
答案
（1）A
（2）C
分析
（1）∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，
a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，
S5＝＝5a3＝5.应选A.
（2）∵Sn＝，∴＝，又－＝1，
得－＝1，即a3－a2＝2，
精心整理
∴数列{an}的公差为2.
题型二等差数列的判断与证明
例2已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N*），
数列{bn}知足bn＝（n∈N*）．
（1）求证：
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明原因．
（1）证明因为an＝2－（n≥2，n∈N*），
濾薮繯細掺議躊备夺棟滅恋約犧襪。
bn＝（n∈N*），
所以bn＋1－bn＝－
＝－＝－＝1.
又b1＝＝－.
所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
（2）解由
（1）知bn＝n－，
贞纹氢鴯獺泽齠聾驤蒔靨觞執鹼絹。
则an＝1＋＝1＋.
精心整理
设f（x）＝1＋，
则f（x）在区间（－∞，）和（，＋∞）上为减函数．
所以当n＝3时，an获得最小值－1，当n＝4时，an
获得最大值3.
引申研究
例2中，若条件变成a1＝，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n
1），研究数列{an}的通项公式．解由已知可得＝＋1，
橈妈鮐壳畬著餿锦瑤愜單轮萨赂铕。
即－＝1，又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋（n－1）·1＝n－，
∴an＝n2－n.
思想升华等差数列的四个判断方法
精心整理
（1）定义法：
证明对随意正整数n都有an＋1－an等于
同一个常数．
（2）等差中项法：
证明对随意正整数n都有2an＋1＝
an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an
an－1＝an－1－an－2＝＝a2－a1，依据定义得出数列{an}为等差数列．
（3）通项公式法：
得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p
对随意正整数n恒建立，依据定义判断数列{an}为
等差数列．
際鉗谚闔謅纯鹉樹覺喲靈獵夢龈鐿。
（4）前n项和公式法：
得出Sn＝An2＋Bn后，依据
Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}銣釵誚辞阙旧電瓊锲僑軺鳜檩傩轹。
为等差数列．
精心整理
（1）若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1
＋2a2n}是（）
A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列
C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列
（2）在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋（n∈N*），则
巩縐寫滥吓专闾兽袭裆恹檻伦峽驻。
该数列的通项为（）
A．an＝B．an＝
C．an＝D．an＝
答案
（1）C
（2）A
分析
（1）∵a2n－1＋2a2n－（a2n－3＋2a2n－2）
（a2n－1－a2n－3）＋2（a2n－a2n－2）
2＋2×2＝6，
∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．
（2）由已知式＝＋可得釹缍佇嗆將閘擻崢義嘗钭辽齟薮飆。
－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的
精心整理
等差数列，所以＝n，即an＝.
精心整理
题型三等差数列的性质及应用
命题点1等差数列的性质
例3
（1）（2015广·东）在等差数列{an}中，若a3＋a4
a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
繾证氬測療兗讥榇躓钯懲贏悦呒襉。
（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，
S20＝30，则S30＝________.
答案
（1）10
（2）60
分析
（1）因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6
a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即
a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
（2）∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝
10，S20＝30，S20－S10＝20，
颌颈问馏羨鈐訣变櫝掃违聂濃譎宠。
S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.
命题点2等差数列前n项和的最值
精心整理
例4在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为
Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn获得最大值，
并求出它的最大值．
解∵a1＝20，S10＝S15，
10×20＋d＝15×20＋d，
d＝－.
方法一由an＝20＋（n－1）×＝－n＋.
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.
湊帥谐缪權灣溆帮銃蛏癆桡针鍥峥。
∴当n＝12或13时，Sn获得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
方法二Sn＝20n＋·
＝－n2＋n
精心整理
＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最
大值为S12＝S13＝130.
方法三由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12
S13＝130.
引申研究
例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其余条件不变，求当n取何值时，Sn获得最小值，并求出最小值．
解由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，雙峤颛毙签驏芻遼荠术麽鹫缂埡贴。
精心整理
∴当n＝12或13时，Sn获得最小值，
最小值S12＝S13＝＝－130.
思想升华
（1）等差数列的性质：
溆蘢葒琿缨铉凫擱伟闖歿颜綾盏达。
①项的性质：
在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d?
d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．
②和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，
芻诨劌漁酾践钊潴邇礫妝绊颦筆堅。
则
a．S2n＝n（a1＋a2n）＝＝n（an＋an＋1）；
b．S2n－1＝（2n－1）an.
（2）求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：
骘縮繳贰赌馒跷殇賁鴛骄苋蝦禮標。
①函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn
精心整理
an2＋bn，经过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
②邻项变号法：
a．当a1＞0，d＜0时，知足的项数m使得Sn获得
最大值Sm；
b．当a1＜0，d＞0时，知足的项数m使得Sn获得
最小值Sm.
（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋
a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是
（）
A．5B．6C．7D．8
（2）设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项
和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为
（）
精心整理
A．5B．6
C．5或6D．11
（3）已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，
则前n项和Sn的最大值为________．
答案
（1）B
（2）C（3）110
分析
（1）依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7
＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，所以在该数列中，
前6项均为正数，自第7项起此后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.
蛮翹蓽壞東间潋恻涞关册绳炝税让。
（2）由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，
故当n＝5或6时，Sn最大，选C.
（3）因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，
代入乞降公式得，
Sn＝na1＋d＝20n－×2
精心整理
＝－n2＋21n＝－2＋2，
又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn获得最
大值，最大值为110.
6．等差数列的前n项和及其最值
典例
（1）在等差数列{an}中，2（a1＋a3＋a5）＋3（a7＋
a9）＝54，则此数列前10项的和S10等于（）
A．45B．60
C．75D．90
（2）在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110
________.
（3）等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}
摄龐龌辽灯煙浔侩敵躍誄膚紉樯酽。
的前n项和Sn的最大值为（）
A．S4B．S5C．S6D．S7
思想点拨
（1）求等差数列前n项和，能够经过求解
基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也能够利用
精心整理
等差数列的性质：
a1＋an＝a2＋an－1＝；
（2）求等差数列前n项和的最值，能够将Sn化为对于
的二次函数，求二次函数的最值，也能够察看等差数列的符号变化趋向，找最后的非负项或非正项．
来罵榇绂儂练羈讎讖员傥圓阴胁鲷。
分析
（1）由题意得a3＋a8＝9，
所以S10＝＝＝＝45.
（2）方法一设数列{an}的公差为d，首项为a1，
则解得
所以S110＝110a1＋d＝－110.
方法二因为S100－S10＝＝－90，
所以a11＋a100＝－2，
所以S110＝
精心整理
＝＝－110.
（3）因为所以
所以Sn的最大值为S5.
答案
（1）A
（2）－110（3）B
温馨提示
（1）利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到n∈N*；
（2）利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减
少了运算量．
[方法与技巧]
1．在解相关等差数列的基本量问题时，可经过列关
于a1，d的方程组进行求解．
2．证明等差数列要用定义；此外还能够用等差中项
法，通项公式法，前n项和公式法判断一个数列是镯諫憐苇腳鵝蔣锆証紙扰舆桨点负。
否为等差数列．
精心整理
3．等差数列性质灵巧使用，能够大大减少运算量．
4．在碰到三个数成等差数列问题时，可设三个数为
（1）a，a＋d，a＋2d；
（2）a－d，a，a＋d；（3）a－d，a
＋d，a＋3d等，可视详细状况而定．
鉤膩鹊姗輻潜驮凉榇热鴯蠼跞錨織。
[失误与防备]
1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一
次函数，当公差d＝0时，an为常数．
2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二
次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是
常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，
它从第二项起成等差数列．
鏢繳傯鸸諳嬋屆樹篋癤圍争绑鈑闻。
A组专项基础训练
（时间：
35分钟）
精心整理
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6
＝36，则a7＋a8＋a9等于（）
A．63B．45C．36D．27
答案B
分析由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6
为等差数列．
即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），
获得S9－S6＝2S6－3S3＝45，应选B.
2．（2015·京北）设{an}是等差数列，以下结论中正确
熱綞騙皚亙谥紕藎吓鏤鹅枢讀戰擴。
的是（）
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0
答案C办讯骝跷憐跷倫誘项鱿駟胫赁鍍齔。
精心整理
分析设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2>0，a2
a3＝a1＋d＋a2＋d＝（a1＋a2）＋2d，因为d正负不确立，因此a2＋a3符号不确立，应选项A错；若a1
鍺椟櫻數澮饴劍蠆瑶銀辦澇鷥炼傷。
a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝（a1＋a3）－d，因为d正
负不确立，因此a1＋a2符号不确立，应选项B错；
若00，d>0，a2>0，a3>0，所以a－
a1a3＝（a1＋d）2－a1（a1＋2d）＝d2>0，所以a2>，应选
项C正确；若a1<0，则（a2－a1）·（a2－a3）＝d·（－d）＝
沣掳缕盏嫵繢吳謎遜鍘糞痹蘊奮綾。
－d2≤0，应选项D错．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，
Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于（）
A．3B．4
C．5D．6
精心整理
答案C
分析∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经查验为原方程的解，应选C.
繪峤鎣賂鳗礙蝇权鎦创单蠷鳶幃鱿。
4．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝
an＋1－an（n∈N*），若b3＝－2，b10＝12，则a8等于
（）
A．0B．3
C．8D．11
答案B
∵分析设{bn}的公差为d，
∵
∵
∵b10－b3＝7d＝12－（－2）＝14，∴d＝2.
∵
∵
∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.諭鼋屢钗玨锐禮谓對絢鍍倾鈾滗銅。
精心整理
b1＋b2＋＋b7＝7b1＋d
7×（－6）＋21×2＝0.
又b1＋b2＋＋b7＝（a2－a1）＋（a3－a2）＋＋（a8－
a7）＝a8－a1＝a8－3＝0，
讯惧坜铤蛊氈谝設妈财苹荞懔劢悫。
a8＝3.应选B.
5．已知数列{an}知足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn获得最大值的序号n
鐳缲鈞恽鷯茲獸瀏鏘鋌厦诊湿馆鮭。
的值为（）
A．7B．8
C．7或8D．8或9
答案C
分析由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的
等差数列，所以an＝5－（n－1）＝，该数列前7项是
正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所
精心整理
以Sn获得最大值时，n＝7或8，应选C.
6．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋（n∈N*），则a10
臚猕熱鹭蠅师轫巹鸣筍銮鲅銪骏钗。
________.
答案
分析由已知得＝＋（10－1）×＝1＋3＝4，
故a10＝.
7．已知递加的等差数列{an}知足a1＝1，a3＝a－4，
则an＝________.
答案2n－1
分析设等差数列的公差为d，
a3＝a－4，∴1＋2d＝（1＋d）2－4，
解得d2＝4，即d＝±2.
因为该数列为递加数列，故d＝2.
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
精心整理
8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则
|a1|＋|a2|＋＋|a15|＝________.
鲁麥從烛閎轢脶阍濕瘪悅著齔麽顯。
答案130
分析
由a＝
－
∈
N
*
知
是以－为首项，
n
2n
10（n
）
n
8
{a}
为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|
锺铁麩韩捣积緋黷懼輯癤蚀邓贮沧。
＋＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋＋a15）
20＋110＝130.
9．若数列{an}的前n项和为Sn，且知足an＋2SnSn
1＝0（n≥2），a1＝.
（1）求证：
成等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）
证明
当
n
≥
2
时，由
a
n＋2Snn－1＝0，
S
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
精心整理
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
（2）解由
（1）可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
户謗蹤积谭婦玨储鮫苧锒儐泷鵡屡。
当n＝1时，a1＝不合适上式．
故an＝
10．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解方法一由S3＝S11得
3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.
垆絢睪謀圇慍贳裆鏢謔漲侠显傳閹。
进而Sn＝n2＋n＝－（n－7）2＋a1，
又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．
方法二因为Sn＝an2＋bn是对于n的二次函数，
精心整理
由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象对于n＝＝7
对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn
最大．
杂丽誒憑睑隱却讵復詢贫币廩怂缏。
方法三由方法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，则有
即
解得≤n≤，故当n＝7时，Sn最大．
方法四由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
债窺恸闰锁兗磧釅鸵氣鸸凤藶轉輾。
即（a1＋6d）＋（a1＋7d）＝0，
故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．
B
升级会员 