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1、吉林大学离散数学课后习题答案第二章 命题逻辑2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法：方法一. 真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。例2.2.1 说明 G= (P Q R) (P Q) (P R)是恒真、恒假还是可满足。解：该公式的真值表如下：PQRP Q RP Q(P Q R) (P Q)P RG000111110011111101011111011

2、1111110010011101100111100100111111111表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。方法二. 以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。例2.2.2 说明 G= (P R) R) ( (Q P) P)是恒真、恒假还是可满足。解：由(P R) R= P R R=1，以及 (Q P) P= （ Q P） P = Q P P=0知，(P R) R) ( (Q P) P)=0，故G恒假。方法三. 设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是

3、恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，Pn，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，Pn，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。例子参见书中例2.4.3。方法五. 注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式G H是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：公式G H是恒真的，因此，如果待考查公式是G H型的，可将证明G H是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公

4、式是G H型的，可将证明G H是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。例2.2.3 证明 G= (P R) ( (Q R) ( P Q) R)恒真。证明：要证明(P R) ( (Q R) ( P Q) R)恒真，只需证明(P R) ( (Q R) ( P Q) R)。我们使用形式演绎法。（1）P R 规则1（2）Q R 附加前提（3） P R 规则2，根据（1）（4） Q R 规则2，根据（2）（5）（ P R） （ Q R） 规则2，根据（3）、（4）（6）（ P Q） R 规则2，根据（5）（7） （P Q） R 规则2，根据（6）（8）（P Q） R 规则2，根据（7）（9）(Q R) (

5、P Q) R) 规则3，根据（2）、（8）2.2.2 公式蕴涵的证明方法主要有如下方法：给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：方法一. 真值表法。将公式A和公式B同列在一张真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。例2.2.4 设A= (P Q R) (P Q)，B=(P R)，证明：A B。证明：PQRP Q RP QAB00011110011111010111101111111001001101100111001001111111表2.2.2由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真

6、，因此，A B。方法二. 证明A B是恒真公式。由例2.2.1知，(P Q R) (P Q) (P R)恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：(P Q R) (P Q) (P R)，即A B。例2.2.5 设A、B和C为命题公式，且A B。请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。（1）(A C) (B C)；（2）(A C) ( B C)。解：由A B知，A B是恒真公式，故A=1时，B不可能为0。真值表如下：ABCA B(A C) (B C)(A C) ( B C)000111001111010110011111110111111111表2.2.3从真值表可以看出，(A C) (B

7、 C)是恒真公式，所以，(A C) ( B C) (A C) (B C)正确；(A C) ( B C)不是恒真公式，所以，(A C) ( B C)不正确。例2.2.6 设A=(R P) Q，B= P Q，证明A蕴涵B。证明：我们来证明A B恒真。 (R P) Q) ( P Q)= ( ( R P) Q) ( P Q) =( R P) Q) ( P Q) =( R Q) ( P Q) ( P Q) =1方法三. 利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。对于例2.2.6，由基本等价式可得：A=(R P) Q= ( R P) Q= (R P) Q=( R Q) ( P Q)=( R Q) ( P Q)由

8、教材中基本蕴涵式2. P Q Q可知，( R Q) ( P Q) (P Q)，即A蕴涵B。方法四. 任取解释I，若I满足A，往证I满足B。例2.2.7 设A= P Q，B=(R Q) （P R） Q），证明A蕴涵B。证明：任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况： （1）在解释I下，P为假，这时，B等价于(R Q) （R Q），因此，I亦满足B。 （2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，P R Q为真，故B为真，即，I满足B。综上，I满足B，因此，A蕴涵B。方法五. 反证法，设结论假，往证前提假。对于例2.2.6，证明(R P) Q蕴涵 P Q，若使用方法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单

9、。假设存在解释I使P Q为假，则只有一种情形，P在I下为真，且Q在I下为假，这时R P在I下为真，故I弄假(R P) Q。因此，(R P) Q蕴涵 P Q。方法六. 分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取范式或主合取范式。若公式A的主析取范式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取范式中；或者，公式B的主合取范式中所包含的极大项均包含在公式A的主合取范式中，则公式A蕴涵公式B。使用这种方法需要注意，当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时，在求两公式的极小项或极大项时，要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。在例2.2.6中，A和B的主析取范式分别为：A= ( P Q R) ( P

10、Q R) ( P Q R) (P Q R) ( P Q R)，B= ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) (P Q R) ( P Q R)，可见，A B。A和B的主合取范式分别为：A=(P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ,B=( P Q R) ( P Q R)可见，A B。另外若给出前提集合S=G1 ，Gk ，公式G，证明S G有如下两种方法：1. G1 Gk G2. 形式演绎法：根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G。教材中已经给出了这方面的例子，在此不再赘述。2.2.3 求主合取范式和主析取范式1. 极小项与极大项的性质以3个原

11、子为例，则对应极小项和极大项的表为：PQR极小项极大项000m0= P Q RM0=P Q R001m1= P Q RM1=P Q R010m2= P Q RM2=P Q R011m3= P Q RM3=P Q R100m4= P Q RM4= P Q R 101m5=P Q RM5= P Q R110m6= P Q RM6= P Q R111m7= P Q RM7= P Q R表2.2.4 由表2.2.4可知，对n个命题原子P1，Pn，极小项有如下性质：（1）n个命题原子P1，Pn有个不同的解释，每个解释对应P1，Pn的一个极小项。（2）对P1，Pn的任意一个极小项m，有且只有一个解释使m取

12、1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为i，则m记为mi，于是关于P1，Pn的全部极小项为m0，m1，。（3）任意两个不同的极小项的合取式恒假：mi mj=0，ij。（4）所有极小项的析取式恒真：=1。极大项有如下性质：（1）n个命题原子P1，Pn有个不同的解释，每个解释对应P1，Pn的一个极大项。（2）对P1，Pn的任意一个极大项M，有且只有一个解释使M取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为i，则M记为Mi，于是关于P1，Pn的全部极大项为M0，M1，。（3）任意两个不同的极大项的析取式恒真：Mi Mj=1，ij。（4）所有极大项的合取式恒假：=0。2. 主合取范式与主析取范式之间的

13、关系由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：mi= Mi ，Mi= mi 由此可知，若P Q R为一公式G的主合取范式，则G = G = M0 = (M1 M2 M6) = M1 M2 M6 = m1 m2 m6为G的主析取范式。若（ P Q） （ P Q） （ P Q）为一公式H的主析取范式，则H= H = (（ P Q） （ P Q） （ P Q）) = （ （m0 m1 m3）= (m2)=M2 = P Q为H的主合取范式。一般地，若公式A中含n个命题原子，且A的主析取范式中含有k个极小项：，则 A的主析取范式中必含有其余的-k个极小项，不妨设为：，即 A=。因此， A= A = （） = =。由此可