吉林大学离散数学课后习题答案.docx
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吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑
§2.2主要解题方法
2.2.1证明命题公式恒真或恒假
主要有如下方法：
方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。
真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。
例2.2.1说明G=（PQR）（PQ）（PR）是恒真、恒假还是可满足。
解：
该公式的真值表如下：
P
Q
R
PQR
PQ
（PQR）（PQ）
PR
G
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.1
由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。
方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2说明G=（（PR）R）（（QP）P）是恒真、恒假还是可满足。
解：
由（PR）R=PRR=1，以及
（QP）P=（QP）P=QPP=0
知，（（PR）R）（（QP）P）=0，故G恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。
方法四.对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，Pn，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，Pn，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。
例子参见书中例2.4.3。
方法五.注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：
公式GH是恒真的；公式G，H等价的充要条件是：
公式GH是恒真的，因此，如果待考查公式是GH型的，可将证明GH是恒真的转化为证明G蕴涵H；如果待考查公式是GH型的，可将证明GH是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
例2.2.3证明G=（PR）（（QR）（（PQ）R））恒真。
证明：
要证明（PR）（（QR）（（PQ）R））恒真，只需证明（PR）（（QR）（（PQ）R））。
我们使用形式演绎法。
（1）PR规则1
（2）QR附加前提
（3）PR规则2，根据
（1）
（4）QR规则2，根据
（2）
（5）（PR）（QR）规则2，根据（3）、（4）
（6）（PQ）R规则2，根据（5）
（7）（PQ）R规则2，根据（6）
（8）（PQ）R规则2，根据（7）
（9）（QR）（（PQ）R）规则3，根据
（2）、（8）
2.2.2公式蕴涵的证明方法
主要有如下方法：
给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：
方法一.真值表法。
将公式A和公式B同列在一张真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。
例2.2.4设A=（PQR）（PQ），B=（PR），证明：
AB。
证明：
P
Q
R
PQR
PQ
A
B
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.2
由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，AB。
方法二.证明AB是恒真公式。
由例2.2.1知，（PQR）（PQ）（PR）恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：
（PQR）（PQ）（PR），即AB。
例2.2.5设A、B和C为命题公式，且AB。
请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。
（1）（AC）（BC）；
（2）（AC）（BC）。
解：
由AB知，AB是恒真公式，故A=1时，B不可能为0。
真值表如下：
A
B
C
AB
（AC）（BC）
（AC）（BC）
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.3
从真值表可以看出，（AC）（BC）是恒真公式，所以，（AC）（BC）（AC）（BC）正确；（AC）（BC）不是恒真公式，所以，（AC）（BC）不正确。
例2.2.6设A=（RP）Q，B=PQ，证明A蕴涵B。
证明：
我们来证明AB恒真。
（（RP）Q）（PQ）=（（RP）Q）（PQ）
=（（RP）Q）（PQ）
=（RQ）（PQ）（PQ）
=1
方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。
对于例2.2.6，由基本等价式可得：
A=（RP）Q
=（RP）Q
=（RP）Q
=（RQ）（PQ）
=（RQ）（PQ）
由教材中基本蕴涵式2.PQQ可知，（RQ）（PQ）（PQ），即A蕴涵B。
方法四.任取解释I，若I满足A，往证I满足B。
例2.2.7设A=PQ，B=（RQ）（（PR）Q），证明A蕴涵B。
证明：
任取解释I，若I满足A，则有如下两种情况：
（1）在解释I下，P为假，这时，B等价于（RQ）（RQ），因此，I亦满足B。
（2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，PRQ为真，故B为真，即，I满足B。
综上，I满足B，因此，A蕴涵B。
方法五.反证法，设结论假，往证前提假。
对于例2.2.6，证明（RP）Q蕴涵PQ，若使用方法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单。
假设存在解释I使PQ为假，则只有一种情形，P在I下为真，且Q在I下为假，这时RP在I下为真，故I弄假（RP）Q。
因此，（RP）Q蕴涵PQ。
方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取范式或主合取范式。
若公式A的主析取范式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取范式中；或者，公式B的主合取范式中所包含的极大项均包含在公式A的主合取范式中，则公式A蕴涵公式B。
使用这种方法需要注意，当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时，在求两公式的极小项或极大项时，要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。
在例2.2.6中，A和B的主析取范式分别为：
A=（PQR）（PQR）
（PQR）（PQR）（PQR），
B=（PQR）（PQR）（PQR）
（PQR）（PQR）（PQR），
可见，AB。
A和B的主合取范式分别为：
A=（PQR）（PQR）（PQR）,
B=（PQR）（PQR）
可见，AB。
另外若给出前提集合S={G1，…，Gk}，公式G，证明SG有如下两种方法：
1.G1…GkG
2.形式演绎法：
根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G。
教材中已经给出了这方面的例子，在此不再赘述。
2.2.3求主合取范式和主析取范式
1.极小项与极大项的性质
以3个原子为例，则对应极小项和极大项的表为：
P
Q
R
极小项
极大项
0
0
0
m0=PQR
M0=PQR
0
0
1
m1=PQR
M1=PQR
0
1
0
m2=PQR
M2=PQR
0
1
1
m3=PQR
M3=PQR
1
0
0
m4=PQR
M4=PQR
1
0
1
m5=PQR
M5=PQR
1
1
0
m6=PQR
M6=PQR
1
1
1
m7=PQR
M7=PQR
表2.2.4
由表2.2.4可知，对n个命题原子P1，…，Pn，极小项有如下性质：
（1）n个命题原子P1，…，Pn有
个不同的解释，每个解释对应P1，…，Pn的一个极小项。
（2）对P1，…，Pn的任意一个极小项m，有且只有一个解释使m取1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为i，则m记为mi，于是关于P1，…，Pn的全部极小项为m0，m1，…，
。
（3）任意两个不同的极小项的合取式恒假：
mimj=0，i≠j。
（4）所有极小项的析取式恒真：
=1。
极大项有如下性质：
（1）n个命题原子P1，…，Pn有
个不同的解释，每个解释对应P1，…，Pn的一个极大项。
（2）对P1，…，Pn的任意一个极大项M，有且只有一个解释使M取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为i，则M记为Mi，于是关于P1，…，Pn的全部极大项为M0，M1，…，
。
（3）任意两个不同的极大项的析取式恒真：
MiMj=1，i≠j。
（4）所有极大项的合取式恒假：
=0。
2.主合取范式与主析取范式之间的关系
由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：
mi=Mi，Mi=mi
由此可知，若PQR为一公式G的主合取范式，则
G=G
=M0
=（M1M2…M6）
=M1M2…M6
=m1m2…m6
为G的主析取范式。
若（PQ）（PQ）（PQ）为一公式H的主析取范式，则
H=H
=（（PQ）（PQ）（PQ））
=（（m0m1m3））
=（m2）
=M2
=PQ
为H的主合取范式。
一般地，若公式A中含n个命题原子，且A的主析取范式中含有k个极小项：
，则A的主析取范式中必含有其余的
-k个极小项，不妨设为：
，即
A=
。
因此，
A=A
=（
）
=
=
。
由此可
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