全等三角形经典习题汇集学而思.docx

1、全等三角形经典习题汇集学而思第一讲全等三角形的性质及判定【例 1 】 如图，AC / DE , BC / EF , AC DE .求证： AF BD .【补充】如图所示:AB / CD , AB CD 求证： AD / BC .【例2】 已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上， AB DC , BE CF , B C .求证:OA OD .【补充】已知：如图， AD BC , AC BD，求证： C D .【补充】如图，在梯形ABCD中，AD / BC , E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点 F .求证：FC AD .ADE/FBC【例3】如图，AB , CD相交于点0

2、, OA OB , E、F为CD上两点，AE / BF , CE DF .求证: AC / BD .【补充】已知，如图， AB AC , CE AB , BF AC，求证：BF CE .【例13】(1)如图， ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形 ABDE和正方形ACFG连结EG,试判 断厶ABC与厶AEG面积之间的关系，并说明理由 .(2 )园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成 .已知a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是 b平方米，这AN、CM交于P点.试求 APM的度数，并写出你的推理证明的过程.【例16】如图，I是厶ABC的内心，且 CA AI

3、 BC .若 BAC 80，求 ABC和 AIB的大小.【例17】已知：BD、CE是 ABC的高，点 P在BD的延长线上， BP AC，点Q在CE上，CQ AB , 求证： AP AQ :AP AQ .【例18】如左下图，在矩形 ABCD中，E为CB延长线上一点且 ACCE , F为AE的中点.求证：BFFD .如右下图,在ABC 中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DMEF于M.求证：FMEM .A18.补充：如图，已知 ABD等腰三角形.ACD 60 ,且 ADB 901-BDC .求证:2ABC是【例19】如图，ABC为边长是1的等边三角形， BDC为顶角（BDC）是1

4、20的等腰三角形，以 D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB于M , AC 于N，连接 MN，形成一个 AMN 求 AMN的周长. ; 家庭作业r； 5 p 丄 【习题1】 已知：如图， AB II DE , AC / DF , BE CF 求证：AB DE 【习题 2】 已知： DEFA MNP，且 EF= NP,/ F=Z P,Z D= 48 / E= 52 MN = 12cm，求：/ P 的 度数及DE的长.【习题3】如图，矩形 ABCD中，E是AD上一点，CE EF交AB于F点，若DE 2，矩形周长为16 , 且CE EF，求AE的长.【习题4】在四边形ABCD中，AD / BC

5、, A的平分线AE交DC于E .求证：当BE是 B的角平分线时，有 AD BC AB .【备选2】 如图所示，在 ABC中，AD BC于点D , B 2 C .求证： AB BD CD .【备选3】如图， ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,DE丄DF,交AB于点E,连结EG EF(1)求证：BG= CF.(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由C第二讲 全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】 在厶ABC中，AB 5, AC 9，则BC边上的中线 AD的长的取值 范围是什么？1ABC中，AD是中线.求证： AD (AB AC). 2【

6、例2】已知：如图，梯形 于点F 求证：ABCD中，AD / BC，点E是CD的中点,BCE 也 FDE .BE的延长线与 AD的延长线相交【例3】 如图，在 ABC中，D是BC边的中点，F ,BDE 也 CDF .E分别是AD及其延长线上的点， CF / BE .求证:【例4】 如图， ABC中，ABAC，AD是中线.求证： DAC DAB .【例5】如图，已知在 ABC中, 长BE交AC于F , AFAD是BC边上的中线， E是AD上一点，延 EF，求证：AC BE .【例6】如图所示，在ABC 和 ABC中，AD、AC ACAD AD ,求证ABC也ABCBAD分别是BC、B C上的中线，

7、且 AB AB ,【例7】 如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F，交EF 于点G，若BG CF，求证： AD为 ABC的角平分线.【例8】 已知AD为 ABC的中线,ADB , ADC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证:BE CF EF .【例9】 在Rt ABC中， A 90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED FD 以 线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝 角三角形？【例10】已知 ABC,/ B=Z C, D, E分别是 AB及AC延长线上的一点，且

8、BD=CE,连接DE交底BC于G, 求证GD=GE.D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM 2 CN2 DM 2 DN2，求【例10】在Rt ABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足 DFE 90 .若AD 3， BE 4，则线段DE的长度为 .图6【习题1】如图，在等腰 ABC中，AB求证： EDB FDC AC , D是BC的中点，过A作AEDE , AFDF，且 AE AF F【习题2】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，且BE AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么?【习题3】如右下图，在 ABC中，若B 2 C， ADBC

9、， E为BC边的中点.求证： AB 2DE 【备选1】如图，已知 AB=DC, AD=BC,求证：/ E=Z F【备选2】如图， ABC中，AB AC ,O是BD中点，过0点的直线分别交 DA、BC的延长线于E, F.与AC 交于F .求证：BE AF , AE CF .第三讲 全等三角形与角平分线问题【例1】 在 ABC中，D为BC边上的点，已知 BAD CAD , BD CD，求证： AB AC .【例2】 已知 ABC中，AB AC , BE、CD分别是 ABC及 ACB平分线求证： CD BE .【例3】 如图，在 ABC中， B 60 , AD、CE分别平分 BAC、 BCA，且AD

10、与CE的交点为F .求 证：FE FD .【例4】 如图，已知 ABC的周长是21 , OB , OC分别平分 ABC和 ACB , OD BC于D，且0D 3 , 求ABC的面积.【补充】如图所示： AB AC , AD AE , CD、BE相交于点 O .求证：OA平分 DAE .OCAD【例5】已知CD、ABC中， A 60o, BD、CE分别平分BC的数量关系，并加以证明.ABC和ACBBE、BD、CE交于点0，试判断【例6】如图,已知E是AC上的一点，又 1 2 ,求证:ED EB.B【例7】如图所示,0P是 AOC和 BOD的平分线,OA 0C , OB 0D 求证:AB CD .

11、AC .求【例8】 如图所示，已知 ABC中，AD平分证：EF / ABBAC , E、F 分别在 BD、AD 上. DE CD , EF【例10】如图，在四边形 ABCD中，AC平分 BAD，过C作CE AB于E，并且AE g(AB AD)，则 ABC ADC等于多少？【补充】长方形 ABCD中，AB=4，BC=7,Z BAD的角平分线交 BC于点E, EF丄ED交AB于F，则EF =【补充】在ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB AC PB PC .【例11】如图，在 ABC中， B 2 C , BAC的平分线 AD交BC与D .求证：AB BD

12、 AC .【例12】如图，ABC中，AB AC ,A 108 , BD 平分 ABC 交 AC 于 D 点求证：BC AC CD .【巩固】已知等腰 ABC , A 100 , ABC的平分线交 AC于D，则BD AD BC .1探讨线段 AB、CD和BC之间的等量关系.2探讨线段 BE与CE之间的位置关系.【习题2】如图，在 ABC中，AB BD AC , BAC的平分线AD交BC与D .求证： B 2 C 【习题3】AD是 ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于【习题4】如图所示，AD平行于BC,DAE= EAB ,ABE=E，EF / AC 交 AB 于 F .求证：AF FB .C

13、EBC ,AD=4, BC=2，那么 AB= 【习题5】ABC中，D为BC中点，DE证：BF CG .BC交 BAC的平分线于点 E , EF AB于F EG AC于G .求G【备选1】在 ABC中，AD平分BAC , AB BDAC .求 B: C的值.【备选2】如图，已知在 ABC中,ABC 3 C ，2， BE AE 求证：AC AB 2BE .【备选3】如图所示，在四边形 ABCD中，AD / BC ,的平分线时，有 AD BC AB .A的平分线AE交DC于E，求证：当BE是 BD(1)求证：AN BM .第四讲 全等三角形与旋转问题【例1】 已知：如图，点 C为线段AB上一点， A

14、CM、 CBN是等边三角形.(2)求证：CD=CE(3)求证：CF平分/ MCN(4)求证：DE/ ABAE、CG 求证：AE CG 【例2】 如图，四边形 ABCD、DEFG都是正方形，连接【例3】 如图，等边三角形 ABC与等边 DEC共顶点于C点.求证：AE BD 【例4】 如图，D是等边 ABC内的一点，且BD AD , BP AB ,DBPECDBC，问 BPD的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.【例5】如图，等腰直角三角形 ABC中，/ B 90 , AB a , O为AC中点，EO OF .求证：BE BF 为定值.【补充】如图，正方形 OGHK绕正方形ABC

15、D中点0旋转，其交点为 E、F，求证：AE CF AB .【补充】如图所示，在四边形 ABCD中， ADC ABC 90 , AD CD , DP AB于P，若四边形 ABCD的面积是16,求DP的长.EF , H为垂足，求【例7】 E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且 / EAF 45 , AH 证：AH AB【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分 BAF 交BC边于点E 求证：AF DF BE 设DF x( 0 x w 1) , ADF与 ABE的面积和S是否存在最大值？若存在，求出此时 x的值及S 若不存在，请说明理由.【补充】(1)如图，

16、在四边形 ABCD中，AB= AD, Z B= Z D= 90 , E、F分别是边BC CD上的点，且1Z EAF= Z BAD.求证：EF= BE FD;2(2)如图，在四边形 ABCD中，AB= AD, Z B+Z D= 180 , E、F分别是边 BC、CD上的点，且 Z EAF=1 Z BAD, ( 1)中的结论是否仍然成立？不用证明.2【习题2】(湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试)已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意 一点，过点 D作DF DE交BC的延长线于点 F 求证： DE DF .C1 , E是AD中点，试判断EC【习题 3】 在梯形 ABCD 中，AB /

17、 CD , A 90 , AB 2 , BC 3 , CD 与EB的位置关系，并写出推理过程.MCB 的高.求证： CG CH .沁沈疳月测备选P从B出发向C运动,【备选1】在等腰直角 ABC中， ACB 90 , AC BC , M是AB的中点，点 MQ MP交AC于点Q，试说明 MPQ的形状和面积将如何变化.【备选2】如图，正方形 ABCD中， FAD FAE 求证：BE DF AE .AF【备选3】等边ABD和等边CBD1，当点，满足AECF的边长均为1，E是BE AD上异于 E、F移动时，试判断 BEF的形状.A、D的任意一点，F是CD上一DC第五讲 轴对称和等腰三角形【例1】在ABC

18、中,ABAC， BC BDED EA 求 A 【补充】在ABC 中，AB AC , BC BD , AD ED EB 求 A 24 / 32【例2】 ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交 BC于D、E，若 BAC DAE 150，求 BAC .【例3】如图，点O是等边AOAD内一点，AOB 110 ,BOC.将 BOC绕点C按顺时针方向旋转 19060 得 ADC ,连接OD，则 COD是等边三角形；当为多少度时， AOD；是等腰三角形？【例4】 如图，在 ABC中，B C , D在BC上，BAD 50，在AC上取一点E，使得 ADE AED , 求 EDC的度数.【例5】 如图，ABC为

19、等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AE BD , 连接CE,DE，求证： CDE为等腰三角形.【例6】 如图，在 ABC中，B , C为锐角，M,N,D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AM AN ,BD DC，且 BDM CDN .求证： AB AC .板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例7】 已知点A在直线I外，点P为直线I上的一个动点，探究是否存 在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点 P与A、B两点 的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ;若不存在，请说明理由.【例8】如图，在公路a的同旁有两个仓库 A、B，现需要建一货物中转站， 要求到A、B两仓库的距离和最短，这

20、个中转站 M应建在公路旁的哪个位置比较合理？ A【补充】如图，一点P，使 PMN的周长最短.M、N为 ABC的边AC、BC上的两个定点，在 AB上求【例10】已知如图，点M在锐角 AOB的内部，在OB边上求作一点 P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.【补充】已知：A、B两点在直线I的同侧， 在I上求作一点M，使得| AM BM | 最小.【补充】已知：A、B两点在直线I的同侧，在I上求作一点 M ,使得|AM BM |最大. ，入【例11】如图，正方形 ABCD中，AB 8 , M是DC上的一点，且 DM 2 , N是AC上的一动点，求 DN MN的最小值与最大值.【补充】例题

21、中的条件不变，求 |DN M叫的最小值与最大值.【补充】如图，已知正方形 ABCD的边长为 8, M在DC上，且DM 2 , N是AC上的一个动点，则DN MN的最小值是 家庭作业【习题1】（2007双柏中考）等腰三角形的两边长分别为 4和9,则第三边长为 .【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的底边的长为（）A. 17cm B . 5cm C . 17cm 或 5cm D .无法确定【习题3】已知等腰三角形的周长为 20,腰长为x,求x的取值范围.【习题4】（2004天津）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （）A

22、） （B） CD （&）【习题5】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴.|$屮丽C竺+邑口 【备选4】在正方形ABCD中，E在BC上，BE 2 , CE 1, P在BD上，求PE和PC的长度之和的最 小值.第六讲 全等三角形中的截长补短板块一、截长补短CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】 如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点 （点B除外），作 DMN 60，射 线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量关系？【例 3】 AD丄 AB, CB丄 AB, DM=CM=a , AD=h , CB=k , / AMD=75

23、/ BMC=45 贝U AB 的长为 （ ）, k h ,A. a B. k C D. h2【例4】 已知：如图， ABCD是正方形，/ FAD=Z FAE求证：BE+DF=AE.【例5】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 ABD、 ACE，连结CD、BE相交于点0 .求证:0A平分 DOE .【例6】（北京市数学竞赛试题， 天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上， 求AMN的周长.【例 7】 五边形 ABCDE中, AB=AE, BC+DE=CD, / ABC+Z AED=180 求证：AD 平分/ CDEACD板块二、全等与角度【例10】如图，在ABC中,BAC60 , AD是 BAC的平分线，且ACAB BD，求 ABC的度数.【例11】在正 ABC内取一点 D，使DA DB，在 求 BED.ABC外取一点E，使DBEDBC，且 BE BA，