全等三角形经典习题汇集学而思.docx

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全等三角形经典习题汇集学而思

第一讲全等三角形的性质及判定

【例1】如图，AC//DE,BC//EF,ACDE.求证：

AFBD.

【补充】如图所示:

AB//CD,ABCD•求证：

AD//BC.

【例2】已知：

如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC,BECF,BC.求证:

OAOD.

【补充】已知：

如图，ADBC,ACBD，求证：

CD.

【补充】如图，在梯形ABCD中，

AD//BC,E为CD中点，连结AE并延长AE交BC的延长线于点F.求

证：

FCAD.

A

D

E

/

F

B

C

【例3】

如图，AB,CD相交于点0,OAOB,E、F为CD上两点，AE//BF,CEDF.求证:

AC//BD.

【补充】已知，如图，ABAC,CEAB,BFAC，求证：

BFCE.

【例13】

（1）如图，△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG连结EG,试判断厶ABC与厶AEG面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知

a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这

AN、CM交于P点.试求APM的度数，并写出你的推理证明的过程.

【例16】如图，I是厶ABC的内心，且CAAIBC.若BAC80，求ABC和AIB的大小.

【例17】已知：

BD、CE是ABC的高，点P在BD的延长线上，BPAC，点Q在CE上，CQAB,求证：

⑴APAQ:

⑵APAQ.

【例18】⑴

如左下图，在矩形ABCD中，

E为CB延长线上一点且AC

CE,F为AE的中点.

求证：

BF

FD.

⑵

如右下图,

在

ABC中，BE、

CF分别为边AC、AB的高，

D为BC的中点，DM

EF于

M

.求证：

FM

EM.

A

18.补充：

如图，已知ABD

等腰三角形.

ACD60,且ADB90

1

-BDC.求证:

2

ABC是

【例19】如图，ABC为边长是1的等边三角形，BDC为顶角（BDC）是120的

等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M,AC于N，连接MN，形成一个AMN•求AMN的周长.

;

家庭作业

r'；5p丄【习题1】已知：

如图，ABIIDE,AC//DF,BECF•求证：

ABDE•

【习题2】已知：

△DEF^AMNP，且EF=NP,/F=ZP,ZD=48°/E=52°MN=12cm，求：

/P的度数及DE的长.

【习题3】如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，CEEF交AB于F点，若DE2，矩形周长为16,且CEEF，求AE的长.

【习题4】在四边形ABCD中，AD//BC,A的平分线AE交DC于E.求证：

当BE是B的角平分线

时，有ADBCAB.

【备选2】如图所示，在△ABC中，ADBC于点D,B2C.求证：

ABBDCD.

【备选3】如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于G点,

DE丄DF,交AB于点E,连结EGEF

（1）求证：

BG=CF.

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由

C

第二讲全等三角形与中点问题

版块一倍长中线

【例1】在厶ABC中，AB5,AC9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

1

ABC中，AD是中线.求证：

AD—（ABAC）.2

【例2】已知：

如图，梯形于点F•求证：

ABCD中，AD//BC，点E是CD的中点,

BCE也FDE.

BE的延长线与AD的延长线相交

【例3】如图，在ABC中，D是BC边的中点，F,

BDE也CDF.

E分别是AD及其延长线上的点，CF//BE.求证:

【例4】如图，ABC中，AB

DAC

【例5】

如图，已知在ABC中,长BE交AC于F,AF

AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延EF，求证：

ACBE.

【例6】如图所示，

在

ABC和ABC

中，AD、

ACAC

ADAD,

求证

ABC也

ABC

B

AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB,

【例7】如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFIIAD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：

AD为ABC的角平分线.

【例8】已知AD为ABC的中线,

ADB,ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:

BECFEF.

【例9】在RtABC中，A90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD•以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

【例10】已知△ABC,/B=ZC,D,E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底BC于G,求证GD=GE.

D是BC的中点，DM垂直于DN，如果BM2CN2DM2DN2，求

【例10】在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE90.若AD3，BE4，则线段DE的长度为.

图6

【习题1】如图，在等腰ABC中，AB

求证：

EDBFDC•

AC,D是BC的中点，过A作AE

DE,AF

DF，且AEAF•

F

【习题2】如图，已知在

ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且

BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？

为什么?

【习题3】如右下图，在ABC中，若

B2C，AD

BC，E为BC边的中点.求证：

AB2DE•

【备选1】如图，已知AB=DC,AD=BC,

求证：

/E=ZF

【备选2】如图，ABC中，ABAC,

O是BD中点，过0点的直线分别交DA、BC的延长线于E,F.

与AC交于F.求证：

BEAF,AECF.

第三讲全等三角形与角平分线问题

【例1】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD,BDCD，求证：

ABAC.

【例2】已知ABC中，ABAC,BE、CD分别是ABC及ACB平分线•求证：

CDBE.

【例3】如图，在ABC中，B60,AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F.求证：

FEFD.

【例4】如图，已知ABC的周长是21,OB,OC分别平分ABC和ACB,ODBC于D，且0D3,求ABC的面积.

【补充】如图所示：

ABAC,ADAE,CD、BE相交于点O.求证：

OA平分DAE.

O

C

A

D

【例5】

已知

CD、

ABC中，A60o,BD、CE分别平分

BC的数量关系，并加以证明.

ABC和

ACB

BE、

BD、CE交于点0，试判断

【例6】

如图,

已知

E是AC上的一点，又12,

求证:

EDEB.

B

【例7】如图所示,

0P是AOC和BOD的平分线,

OA0C,OB0D•求证:

ABCD.

AC.求

【例8】如图所示，已知ABC中，AD平分

证：

EF//AB

BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EF

【例10】如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并且AEg（ABAD），则ABCADC等于多少？

【补充】长方形ABCD中，AB=4，BC=7,ZBAD的角平分线交BC于点E,EF丄ED交AB于F，则

EF=

【补充】在ABC中，ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：

ABACPBPC.

【例11】如图，在ABC中，B2C,BAC的平分线AD交BC与D.求证：

ABBDAC.

【例12】如图，ABC中，ABAC,

A108,BD平分ABC交AC于D点•求证：

BCACCD.

【巩固】已知等腰ABC,A100,ABC的平分线交AC于D，则BDADBC.

1探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.

2探讨线段BE与CE之间的位置关系.

【习题2】如图，在ABC中，ABBDAC,BAC的平分线AD交BC与D.求证：

B2C•

【习题3】AD是ABC的角平分线，BE

AD交AD的延长线于

【习题4】如图所示，AD平行于BC,

DAE=EAB,

ABE=

E，EF//AC交AB于F.求证：

AFFB.

C

EBC,

AD=4,BC=2，那么AB=

【习题5】ABC中，D为BC中点，DE

证：

BFCG.

BC交BAC的平分线于点E,EFAB于FEGAC于G.求

G

【备选1】在ABC中，AD平分

BAC,ABBD

AC.求B:

C的值.

【备选2】如图，已知在ABC中,

ABC3C，

2，BEAE•求证：

ACAB2BE.

【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC,

的平分线时，有ADBCAB.

A的平分线AE交DC于E，求证：

当BE是B

D

（1）求证：

ANBM.

第四讲全等三角形与旋转问题

【例1】已知：

如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形.

（2）求证：

CD=CE

（3）求证：

CF平分/MCN

（4）求证：

DE//AB

AE、CG•求证：

AECG•

【例2】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接

【例3】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：

AEBD•

【例4】如图，D是等边ABC内的一点，且BDAD,BPAB,

DBP

E

C

DBC，问BPD的度数是

否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由.

【例5】如图，等腰直角三角形ABC中，/B90,ABa,O为AC中点，EOOF.求证：

BEBF为定值.

【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点0旋转，其交点为E、F，求证：

AECFAB.

【补充】如图所示，在四边形ABCD中，ADCABC90,ADCD,DPAB于P，若四边形ABCD

的面积是16,求DP的长.

EF,H为垂足，求

【例7】E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且/EAF45,AH证：

AHAB•

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E•

⑴求证：

AFDFBE•

⑵设DFx（0

若存在，求出此时x的

值及S•若不存在，请说明理由.

【补充】

（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90,E、F分别是边BCCD上的点，且

1

ZEAF=—ZBAD.求证：

EF=BEFD;

2

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分别是边BC、CD上的点，且ZEAF=1ZBAD,

（1）中的结论是否仍然成立？

不用证明.

2

【习题2】（湖北省黄冈市2008年初中毕业生升学考试）已知：

如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DFDE交BC的延长线于点F•求证：

DEDF.

C

1,E是AD中点，试判断EC

【习题3】在梯形ABCD中，AB//CD,A90,AB2,BC3,CD与EB的位置关系，并写出推理过程.

MCB的高.求证：

CGCH.

沁沈疳月测备选\

P从B出发向C运动,

【备选1】在等腰直角ABC中，ACB90°,ACBC,M是AB的中点，点MQMP交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化.

【备选2】如图，正方形ABCD中，FADFAE•求证：

BEDFAE.

A

F

【备选3】等边ABD和等边CBD

1，当

点，满足AE

CF

的边长均为1，E是BEAD上异于E、F移动时，试判断BEF的形状.

A、D的任意一点，

F是CD上一

D

C

第五讲轴对称和等腰三角形

【例1】在ABC中,

AB

AC，BCBD

EDEA•求A•

【补充】在

ABC中，ABAC,BCBD,ADEDEB•求A•

24/32

【例2】ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若BACDAE150，求BAC.

【例3】如图，点

O是等边AO

AD内一点，

AOB110°,

BOC

.将△BOC绕点C按顺时针方

向旋转

•190°

60°得△ADC,

连接OD，则

△COD

是等边三角形；当

为多少度时，

△AOD；

是等腰三角形？

【例4】如图，在ABC中，BC,D在BC上，BAD50°，在AC上取一点E，使得ADEAED,求EDC的度数.

【例5】如图，ABC为等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AEBD,连接CE,DE，求证：

CDE为等腰三角形.

【例6】如图，在ABC中，B,C为锐角，M,N,D分别为边AB、AC、BC上的点，满足AMAN,

BDDC，且BDMCDN.求证：

ABAC.

板块三、轴对称在几何最值问题中的应用

【例7】已知点A在直线I外，点P为直线I上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线I上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B;若不存在，请说明

理由.

【例8】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、

B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？

•A

【补充】如图，

一点P，使PMN的周长最短.

M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求

【例10】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.

【补充】已知：

A、B两点在直线I的同侧，在I上求作一点M，使得

|AMBM|最小.

【补充】已知：

A、B两点在直线I的同侧，在I上求作一点M,

使得|AMBM|最大.，入

【例11】如图，正方形ABCD中，AB8,M是DC上的一点，且DM2,N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值.

【补充】例题中的条件不变，求|DNM叫的最小值与最大值.

【补充】如图，已知正方形ABCD的边长为8,M在DC上，且DM2,N是AC上的一个动点，则

DNMN的最小值是

家庭作业

【习题1】（2007双柏中考）等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为.

【习题2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形的

底边的长为（）

A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定

【习题3】已知等腰三角形的周长为20,腰长为x,求x的取值范围.

【习题4】（2004天津）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【习题5】判断下列图形（图）是否为轴对称图形？

如果是，说出它有几条对称轴.

|$屮丽C竺+邑口®

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼

【备选4】在正方形ABCD中，E在BC上，BE2,CE1,P在BD上，求PE和PC的长度之和的最小值.

第六讲全等三角形中的截长补短

板块一、截长补短

CD、BC的数量关系，并加以证明.

【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN60，射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系？

【例3】AD丄AB,CB丄AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,/AMD=75°/BMC=45°贝UAB的长为（）

kh,

A.aB.kCD.h

2

【例4】已知：

如图，ABCD是正方形，/FAD=ZFAE求证：

BE+DF=AE.

【例5】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点0.求证:

0A平分DOE.

【例6】（北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是

顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.

【例7】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+ZAED=180°求证：

AD平分/CDE

A

C

D

板块二、全等与角度

【例10】如图，在ABC中,

BAC

60,AD是BAC的平分线，且AC

ABBD，求ABC的度数.

【例11】在正ABC内取一点D，使DADB，在求BED.

ABC外取一点E，使

DBE

DBC，且BEBA，