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1、全国中考数学试题分类解析汇编159套矩形 菱形 正方形必会2012中考题汇编（2012重庆市10分）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作MECD于点E，1=2（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME【答案】解：（1）四边形ABCD是菱形，ABCD。1=ACD。 1=2，ACD=2。MC=MD。MECD，CD=2CE。CE=1，CD=2。BC=CD=2。（2）证明：F为边BC的中点，BF=CF=BC。CF=CE。在菱形ABCD中，AC平分BCD，ACB=ACD。在CEM和CFM中，CE=CF，ACB=ACD，CM=CM，CEMCFM（

2、SAS），ME=MF。延长AB交DF于点G，ABCD，G=2。1=2，1=G。AM=MG。在CDF和BGF中，G=2，BFG=CFD，BF=CF，CDFBGF（AAS）。GF=DF。由图形可知，GM=GF+MF，AM=DF+ME。【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据菱形的对边平行可得ABD，再根据两直线平行，内错角相等可得1=ACD，所以ACD=2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。（2）先利用SAS证明CEM和CFM全等，根据全等三角形对

3、应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明1=G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明CDF和BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。（2012广东梅州8分）如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；连接MN，分别交AB、AC于点D、O；过C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）当ACB=90，BC=6，ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线， A

4、CDE，即AOD=COE=90，且AD=CD，AO=CO。又CEAB，ADO =CEO。AODCOE（AAS）。OD=OE。四边形ADCE是菱形。（2）解：当ACB=90时， 由（1）知ACDE，ODBC。ADOABC。又BC=6，OD=3。又ADC的周长为18，AD+AO=9， 即AD=9AO。，解得AO=4。【考点】作图（复杂作图），线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出ACDE，即AOD=COE=90，从而得出AODCOE，即可得出四边形ADCE是菱形。（2

5、）利用当ACB=90时，ODBC，即有ADOABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。（2012浙江嘉兴、舟山8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE（1）求证：BD=EC；（2）若E=50，求BAO的大小【答案】（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=CD，ABCD。 又BE=AB，BE=CD，BECD。四边形BECD是平行四边形。BD=EC。（2）解：四边形BECD是平行四边形，BDCE，ABO=E=50。又四边形ABCD是菱形，AC丄BD。BAO=90ABO=40。【考点】菱形的性质

6、，平行四边形的判定和性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，ABCD，然后证明得到BE=CD，BECD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证。（2）根据两直线平行，同位角相等求出ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得ACBD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解。 （2012江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。ADBC，AEO=CFO，EAO=FCO，。

7、 又AO=CO，AEOCFO（AAS）。AE=CF。四边形AECF是平行四边形。又EFAC，平行四边形AECF是菱形。AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由已知，根据AAS可证得AEOCFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EFAC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。（2012江苏南通10分）如图，菱形ABCD中，B60，点E在边BC上，点F在边CD上(1)如图1，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；

8、(2)如图2，若EAF60，求证：AEF是等边三角形【答案】证明：（1）连接AC。菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，C=180B=120。ABC是等边三角形。E是BC的中点，AEBC。AEF=60，FEC=90AEF=30。CFE=180FECC=18030120=30。FEC=CFE。EC=CF。BE=DF。（2）连接AC。四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC，D=B=60，ACB=ACF。ABC是等边三角形。AB=AC，ACB=60。B=ACF=60。ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD。AEB=AFC。在ABE和AFC中

9、，B=ACF，AEB=AFC， AB=AC， ABEACF（AAS）。AE=AF。EAF=60，AEF是等边三角形。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，B=60，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，从而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。（2）连接AC，可得ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEBAFC，即可得AE=AF，证得：AEF是等边三角形。（2012广

10、东河源9分）如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC的两边作弧，交于点M、N；连接MN，分别交AB、AC于点D、O；过点C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD(1)求证：四边形ADEC是菱形；(2)当ACB90，BC6，ACD的周长为18时，求四边形ADEC的面积【答案】（1）证明：由作法可知：直线DE是线段AC的垂直平分线， ACDE，即AOD=COE=90，且AD=CD，AO=CO。又CEAB，ADO =CEO。AODCOE（AAS）。OD=OE。四边形ADCE是菱形。（2）解：当ACB=90时， 由（1）知ACDE，ODBC。ADOABC。又BC

11、=6，OD=3。又ADC的周长为18，AD+AO=9， 即AD=9AO。，解得AO=4。【考点】作图（复杂作图），线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）利用直线DE是线段AC的垂直平分线，得出ACDE，即AOD=COE=90，从而得出AODCOE，即可得出四边形ADCE是菱形。（2）利用当ACB=90时，ODBC，即有ADOABC，即可由相似三角形的性质和勾股定理得出OD和AO的长，即根据菱形的性质得出四边形ADCE的面积。（2012湖北恩施8分）如图，在ABC中，ADBC于D，点D，E，F分别是BC，

12、AB，AC的中点求证：四边形AEDF是菱形【答案】证明：点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形。又ADBC，BD=CD，AB=AC。AE=AF。平行四边形AEDF是菱形。【考点】三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定。【分析】首先判定四边形AEDF是平行四边形，然后证得AE=AF，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定菱形即可。（2012湖北黄冈7分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E、F 分别在OD、OC 上，且DE=CF，连接DF、AE，AE 的延长线交DF于点M. 求证：AMDF.【答案】证明：ABCD是

13、正方形，OD=OC。 又DE=CF，ODDE=OCCF，即OF=OE。在RtAOE和RtDOF中，AO=DO ，AOD=DOF， OE=OF ，AOEDOF（SAS）。OAE=ODF。OAE+AEO=90，AEO=DEM，ODF+DEM=90。AMDF。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系。【分析】由DE=CF，根据正方形的性质可得出OE=OF，从而证明AOEDOF，得出OAE=ODF，然后利用等角代换可得出DME=90，即得出了结论。（2012湖南娄底9分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点（1）求证：MBANDC

14、；（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90。 在矩形ABCD中，M、N分别是ADBC的中点，AM=AD，CN=BC。AM=CN。在MAB和NDC中，AB=CD，A=C=90，AM=CN MABNDC（SAS）。（2）四边形MPNQ是菱形，理由如下：连接AN，易证：ABNBAM，AN=BM。MABNDC，BM=DN。P、Q分别是BM、DN的中点，PM=NQ。DM=BN，DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB（SAS）。MQ=PN。x kb1. 四边形MPNQ是平行四边形。M是AB中点，Q是DN中点，M

15、Q=AN，MQ=BM。又MP=BM，MP=MQ。四边形MQNP是菱形。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定。【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定MBANDC。（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，由（1）可得到BM=CN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明MQDNPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，从而证明四边形MQNP是菱形。（2012贵州黔南12分）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的点，且AEEF，BE=2（1）求EC：CF值；（2

16、）延长EF交正方形BCD的外角平分线CP于点P（图2），试判断AE与EP大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）AEEF，BEA+CEF=90。四边形ABCD为正方形，B=C=90。BAE +BEA =90。BA E=CEF。ABEECF。EC：CF=AB：BE=5：2。（2）在AB上取一点M，使BM=BE，连接ME。AM=CE。BME=45。AME=135。CP是外角平分线，DCP=45。ECP=135。AME=ECP。AEB+BAE=90，AEB+CEF=90，BAE=CEF。A

17、MEPCE（ASA）。AE=EP。（3）存在，过点D作DMAE交AB于点M，则此时M使得四边形DMEP是平行四边形。证明如下： DMAE，ADM=90DAE。 四边形ABCD为正方形，AB=AD，B=BAD=90。 BAE=90DAE。BAE=ADM。 BAEADM（ASA）。AD=DM。 由（2）AE=EP，得DM= EP。 双DMAE，AEEF，DM EP。四边形DMEP是平行四边形。【考点】相似三角形的判定和性质，正方形的性质，外角平分线定义，全等三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定。【分析】（1）由正方形的性质可得：B=C=90，由同角的余角相等，可证得：BAE=CEF，即

18、可证得：ABEEFC，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得EC：CF的值.（2）作辅助线：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，利用ASA，易证得：AMEPCE，则可证得：AE=EP。（3）过点D作DMAE交AB于点M，此时M使得四边形DMEP是平行四边形。一方面由BAEADM（ASA）得AD=DM；另一方面由DMAE，AEEF得DM EP。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定得证。（2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果G

19、CE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF

20、，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。 10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延

21、长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。（2012山东聊城7分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DEAC，CEBD求证：四边形OCED是菱形【答案】证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形

22、。 四边形ABCD是矩形，OC=OD。四边形OCED是菱形。【考点】矩形的性质，菱形的判定。【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论。（2012山东青岛8分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BEAC于E，DFAC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点(1)求证：BOEDOF；(2)若OABD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由【答案】解：（1）证明：BEACDFAC，BEO=DFO=90。点O是EF的中点，OE=OF。又DOF=BOE，BOEDO

23、F（ASA）。（2）四边形ABCD是矩形。理由如下：BOEDOF，OB=OD。又OA=OC，四边形ABCD是平行四边形。OA=BD，OA=AC，BD=AC。平行四边形ABCD是矩形。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）根据垂直可得BEO=DFO=90，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角DOF=BOE，可利用ASA证明BOEDOF。（2）根据BOEDOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论。（2012广西柳州8分）如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形A

24、BCD是一个特殊的四边形（1）这个特殊的四边形应该叫做 ；（2）请证明你的结论【答案】解：（1）菱形；（2）证明： 四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，ABCD，ADBC。四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）。过点D分别作AB，BC边上的高为DE，DF。则DE=DF（两纸条相同，纸条宽度相同）。平行四边形的面积为ABDE=BCDF，AB=BC。平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。【考点】菱形的判定和性质。【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形。（

25、2012云南省7分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC。BNO=DMO，NBO=MDO。MN是BD的中垂线，OB=OD，BDMN。BNODMO（AAS）。ON=OM。四边形BMDN的对角线互相平分。四边形BMDN是平行四边形。BDMN，平行四边形BMDN是菱形。（2）四边形BMDN是菱形，MB=MD。设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8x。四边形ABCD是矩形，A=900。在RtAMB中，BM2=AM

26、2+AB2，即x2=（8x）2+42，解得：x=5。答：MD长为5。【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据矩形性质求出ADBC，根据OB=OD和ADBC推出BNODMO ，OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN。（2）根据菱形性质求出DM=BM，在RtAMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x216x6416，求出即可。（2012河南省9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=600，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点

27、N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； 当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形。（2012江西省6分）如图，已知两个菱形ABCDCEFG，其中点ACF在同一直线上，连接BE、DG（1）在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；（2）证明：BE=DG【答案】（1）解：ADCABC，GFCEFC。（2）证明：四边形ABCDCEFG是菱形，DC=BC，CG=CE，DCA=BCA，GCF=ECF。ACF=180，DCG=BCE，在DCG和BCE中，DC=BC，DCG=BCE，CG=CE，DCGBCE（SAS）。BE=DG。【考

28、点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）ADCABC，GFCEFC，根据菱形的性质推出AD=AB，DC=BC，根据SSS即可证出结论。（2）根据菱形性质求出DC=BC，CG=CE，推出DCG=BCE，根据SAS证出DCGBCE即可。（2012青海西宁8分）如图，已知菱形ABCD，ABAC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB8，求菱形的面积【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AB=BC。又AB=AC，ABC是等边三角形。E是BC的中点，AEBC（等腰三角形三线合一）。AEC=90。E、F分别是BC、AD的中点，AF=AD，EC=BC。四边形ABCD是菱形，ADBC且