中考数学复习指南《二次函数》压轴训练含答案.docx

1、中考数学复习指南二次函数压轴训练含答案2020中考数学复习指南： 二次函数压轴训练1如图，抛物线yax2+bx过A（5，0），B（1，4）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当ABP的面积为6时，求点P的坐标；（3）在线段AB右侧的抛物线上是否存在一点P，使得AB分OPA的面积为1：2两部分？存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式，得：，解得：，所以抛物线的表达式为：yx2+5x（2）求得直线AB的表达式为：yx+5；过点P作直线PQy轴交AB点Q，设P（m，m2+5m），则Q（m，m+5）当点P在Q上方时，解得m

2、12，m24，即P1（2，6），P2（4，4）当点P在Q下方时，解得，（舍去），即综上，点P的坐标为：P1（2，6），P2（4，4）或；（3）由直线AB的表达式为：yx+5；令x0，则y5，即直线AB交y轴于点D（0，5）设AB交OP于点C，当OC2PC或2OCPC时，则AB分OPA的面积为1：2PQy轴交AB点Q，PQCODC，PCQOCD，ODCPQC当OC2PC时，由（2）得：PQ（m2+5m）（m+5）m2+6m5，即，解得，即当2OCPC时，PQ10，由（2）得：PQ（m2+5m）（m+5）m2+6m5，即m2+6m510，所得方程无解综上所述：点P的坐标为2如图，线段AB，A（2，

3、3），B（5，3），抛物线y（x1）2m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时PCD的面积最大，最大面积是多少（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：2两部分解：（1）当y（x1）2m2+2m+1过原点（0，0）时，01m2+2m+1，得m10，m22，当m10时，y（x1）2+1，当m22时，y（x1）2+1，由上可得，当m0或m2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y（x1）2+1，对称轴为直线x1，顶点为

4、（1，1）；（2）抛物线y（x1）2m2+2m+1，该抛物线的顶点P为（1，m2+2m+1），当m2+2m+1最大时，PCD的面积最大，m2+2m+1（m1）2+2，当m1时，m2+2m+1最大为2，y（x1）2+2，当y0时，0（x1）2+2，得x11+，x21，点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（1+，0）CD（1+）（1）2，SPCD2，即m为1时PCD的面积最大，最大面积是2；（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3n），B（5，3n）当线段AB分成1：2两部分，则点（3，3n）或（4，3n）在该抛物线解析式上，把（3，3n）代入抛物线解析式得，3n（31）2m2+3m+1，

5、得nm22m+6；把A（4，3n）代入抛物线解析式，得3n（31）2m2+3m+1，得nm22m+11；nm22m+6或nm22m+113如图，抛物线yax2+bx+6经过点A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1m4）连接BC，DB，DC（1）求抛物线的函数解析式；（2）BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（

6、1）抛物线yax2+bx+6经过点A（2，0），B（4，0）两点，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+6；（2）BCD的面积存在最大值，理由如下：yx2+x+6，当x0时，y6，C（0，6），设点D的坐标为（m，m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：设直线BC的解析式为ykx+c，把B（4，0），C（0，6）代入得：，解得：，直线BC的解析式为：yx+6，设点E的坐标为（m，m+6），则BCD的面积CDE的面积+BDE的面积DEOBDE42（m2+m+6）（m+6）m2+6m（m2）2+6，0，当m2时，BCD的面积最大6，m2+m+66，1m4，此时点D的坐标为（2，

7、6）；（3）存在，理由如下：（3）分情况讨论：当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设点N（n，n2+n+6），D（2，6），点N的纵坐标为绝对值为6，即|n2+n+6|6，解得：n2（舍去），或n0，或n1，故点N、N、N的横坐标分别为：0，1+，1，BDMN，B（4，0），D（2，6），点M的坐标为：（20，0）或（1+2，0）或（12，0）；即点M的坐标为：（2，0）或（1，0）或（1，0）；当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），N与C重合，BMCD2，M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这

8、样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（1，0）或（1，0）4在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EFx轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若MNC90，请求出m的取值围解：（1）抛物线yx2+bx+c经过点A、B、C，A（1，0），C（0，3），解得b2，c3故该抛物线解析式为：yx2+2x+3

9、（2）令x2+2x+30，解得x11，x23，即B（3，0），设直线BC的解析式为ykx+b，则，解得：，故直线BC的解析式为yx+3；设P（t，3t），D（t，t2+2t+3），PD（t2+2t+3）（3t）t2+3t，OBOC3，BOC是等腰直角三角形，OCB45，当CDPC时，则CPDCDP，PDy轴，CPDOCB45，CDP45，PCD90，直线CD的解析式为yx+3，解得或，D（1，4），此时P（1，2）；当CDPD时，则DCPCPD45，CDP90，CDx轴，D点的纵坐标为3，代入yx2+2x+3得，3x2+2x+3，解得x0或x2，此时P（2，1）；当PCPD时，PCt，tt2+

10、3t，解得t0或t3，此时P（3，）；综上，当CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3，）（3）如图2，由（1）yx2+2x+3（x1）2+4，E（1，4），设N（1，n），则0n4，取CM的中点Q（，），MNC90，NQCM，4NQ2CM2，NQ2（1）2+（n）2，4（1）2+（n）2m2+9，整理得，m（n）2，0n4，当n时，m最小值，n4时，m5，综上，m的取值围为：m55如图，已知二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC（1）求这个二次函数的表达式；（2）点M从点O

11、出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ求AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；是否存在点M，使得AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：（1）二次函数的图象经过A（4，0）和点D（1，0），解得，所以，二次函数的解析式为yx2+3x+4（2）延长NQ交x轴于点P，BC平行于x轴，C（0，4）B（3，4），NPOA根据题意，经过t秒时，NBt，OM2t，则

12、CN3t，AM42tBCAMAQ45，QNCN3t，PQNPNQ4（3t）1+t，t2+t+2a10，且0t2，S有最大值当t时，S最大值存在点M，使得AQM为直角三角形设经过t秒时，NBt，OM2t，则CN3t，AM42t，BCAMAQ45若AQM90，则PQ是等腰RtMQA底边MA上的高PQ是底边MA的中线，PQAPMA，1+t（42t），解得，t，M的坐标为（1，0）若QMA90，此时QM与QP重合QMQPMA，1+t42t，t1，点M的坐标为（2，0）所以，使得AQM为直角三角形的点M的坐标分别为（1，0）和（2，0）6如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，1），且与直线ykx+2相

13、交于B（2，0）和C两点（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）求证：ABC是直角三角形；（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使BCEACB，求出点E的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使BDF是等腰三角形？若存在，请直接写出点F的坐标解：（1）设抛物线解析式ya（x1）21，将B（2，0）代入，0a（21）21，a1，抛物线解析式：y（x1）21x22x，将B（2，0）代入ykx+2，02k+2，k1，直线BC的解析式：yx+2；（2）联立，解得，C（1，3），A（1，1），B（2，0），AB2（12）2+（10）22，AC21（1）2+（13）220，BC22（1）2+（

14、03）218，AB2+BC2AC2，ABC是直角三角形；（3）如图，作BCEACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A，过A作AH垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点GBCEACB，ABC90，点A与A关于直线BC对称，ABAB，可知AGBAHB（AAS），A（1，1），B（2，0）AG1，BGOG1，BH1，AH1，OH3，A（3，1），C（1，3），直线AC：yx+，联立：，解得或，E（）；（4）抛物线的对称轴：直线x1，设F（1，m），直线BC的解析式：yx+2；D（0，2）B（2，0），BDBF，DF，当BFBD时，m，F坐标（1，）或（1，）当DFBD时，2，

15、m2，F坐标（1，2+）或（1，2）当BFDF时，m1，F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（1，）或（1，2+）或（1，2）7如图，关于x的二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在对称轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，设

16、运动时间为t秒，求MNC的面积是MNB面积的2倍时t的值解：（1）由题意得b4，c3，二次函数的表达式为yx24x+3；（2）令y0，则x24x+30，x11，x23，B（3，0），C（0，3），BC，对称轴x2，设P（，2，m）当CPCB时，3，m3P（2，3+）或（2，3）；当BPBC时，3mP（2，）或（2，）；当PBPC时，m2P（2，2）；综上可知P的坐标（2，3+）或（2，3）（2，）或（2，）或（2，2）；（3）由题意可知AMt，DN2t，当点M在线段AD上时，即0t1时，如图1，DMADAM1t，BMABAM2t，此时，SMNCS梯形CODNSMOCSMNDOD（OC+DN）O

17、COMMDNDt2t，SBMNBMDN（2t）2t2tt2，SMNC2SBMN，t2t2（2tt2），解得t1或t；当点M在线段BD上时，即1t2时，DMAMADt1，BMABAM2t，此时SMNCS梯形CODNSAOCS梯形CODN+SMNDSMOCOD（OC+DN）+MDNDOCOMt2t，同理求得t1或t，不在围；综上可知MNC面积是MNB面积的2倍时t的值为1或8在平面直角坐标系xOy中，第一象限的点P在直线yx上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y3x于点B，点B在第一象限（1）如图1，当OAB90时，求的值；（2）当点A的坐标为（6，0），且BP2AP时，将过点A的抛物线yx

18、2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离解：（1）设点A坐标为（a，0）（a0）OAB90，点B在直线y3x上，点P在直线yx上B（a，3a），P（a， a）BP3aaa，APa（2）如图，过点B作BCx轴于点C，过点P作PDx轴于点DBCPDBP2APCD2DA设直线AB解析式为：ykx+bA（6，0）6k+b0，得b6k直线AB解析式为ykx6k当xkx6k时，解得：xxDxP当3xkx6k时，解得：xxCxBCDxDxC，AD6xD62（6）解得：k2xB，yB3xB，即B（，）抛物线yx2+mx过点A36+6m0，解得：m6设平移后过点B的抛物线解析式为yx2+6x+n（）2

19、+6+n解得：n抛物线向下平移了个单位长度9如图，RtABO的直角边OB在x轴上，OB2，AB1，将RtABO绕点O顺时针旋转90得到RtCDO，抛物线y+bx+c经过A，C两点（1）求点A，C的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标解：（1）OB2，AB1，A（2，1），将RtABO绕点O顺时针旋转90得到RtCDO，C（1，2），（2）抛物线y+bx+c经过A，C两点，解得二次函数的解析式为yx+；（3）设OP与AC交于点Q，OP将AOC的周长分成相等的两部分，又OAOC，OQOQ，AQCQ，即Q为AC的中点

20、，Q（，）设直线OP的解析式为ykx，把Q（，）代入ykx，得k，k3直线OP的解析式为y3x由，得，P1（4，12），P2（1，3）10已知，如图，二次函数yax2+2ax3a（a0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：ykx对称（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BDAC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值解：（1）当y0时，ax2+2ax3a0解得：x13，x21点A坐标为（3，0），点B坐标为（1，0）

21、直线l：ykx经过点A3k0 解得：k直线l的解析式为yx（2）yax2+2ax3aa（x+1）24a点C坐标为（1，4a）C、B关于直线l对称，A在直线l上ACAB，即AC2AB2（1+3）2+（4a）2（1+3）2解得：a（舍去负值），即a二次函数解析式为：yx2+x（3）A（3，0），C（1，2），设直线AC解析式为ykx+b 解得：直线AC解析式为yx3BDAC设直线BD解析式为yx+c把点B（1，0）代入得：+c0 解得：c直线BD解析式为yx+ 解得：点D坐标为（3，2）如图，连接BN，过点D作DFx轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ点B、

22、C关于直线l对称，点N在直线l上BNCN当B、N、M在同一直线上时，CN+MNBN+MNBM，即CN+MN的最小值为BM点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上MQMD，DQAC，DEQE当B、M、Q在同一直线上时，BM+MDBM+MQBQ，即BM+MD的最小值为BQ此时，CN+NM+MDBM+MDBQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ点B、C关于直线l对称AD平分BACDFAB，DEACDEDF|yD|2DQ2DE4B（1，0），D（3，2）BD2（31）2+（2）216BDACBDQAEQ90BQCN+NM+MD的最小值为811如图，直线y2x8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线yax

23、2+bx（a0）经过点A，且顶点Q在直线AB上（1）求a，b的值（2）点P是第四象限抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，OAP的面积为s1，OBP的面积为s2，记ss1+s2，试求s的最值解：（1）直线y2x8分别交x轴、y轴于点A、点B，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，8）抛物线yax2+bx（a0）经过点A，点O，抛物线的对称轴为直线x2当x2时，y2x84，抛物线顶点Q的坐标为（2，4）将A（4，0），Q（2，4）代入yax2+bx，得：，解得：（2）由（1）得：抛物线解析式为yx24x，点P的横坐标为t，点P的坐标为（t，t24t），s14（4tt2）8t

24、2t2，s28t4t，ss1+s22t2+12t2（t3）2+1820，且0t4，当t3时，s取得最大值，最大值为1812如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）P坐标为（，0）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，MN为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线过点A（4，0），B（2，0），设抛物线表达式

25、为：ya（x+4）（x2）把C（0，4）代入得4a（0+4）（02）a抛物线表达式为：y（x+4）（x2）x2x+4；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x1线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，点D在对称轴上，设点D坐标为（1，m），过点C做CGl于G，连DC，DB，如图1，DCDB在RtDCG和RtDBH中，DC212+（4m）2，DB2m2+（2+1）212+（4m）2m2+（2+1）2解得：m1点D坐标为（1，1），（3）存在，当点P坐标为（，0）时，若DN和MP为平行四边形对边，则有DNMP，如图2，当x时，y（）2+4，DNMP点N坐标为（1，）；若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点

26、到ND距离相等，如图3，则点M横坐标为，则M纵坐标为（）2+4，由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离，当点N在D点上方时，点N纵坐标为1，此时点N坐标为（1，），当点N在x轴下方时，点N坐标为（1，），综上，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，MN为顶点的四边形是平行四边形，N点坐标为（1，）或（1，）或（1，）13如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴负半轴交于点D（1，0），与x轴正半轴交于点B（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标和顶点C的坐标；（2）点E是线段AB上方抛物线上一动点，请求出点E到AB的最大距离；（3）点M是线段AB上一点，且ACM的面积是ABC的面积的