中考数学复习指南《二次函数》压轴训练含答案.docx

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中考数学复习指南《二次函数》压轴训练含答案

2020中考数学复习指南：

《二次函数》压轴训练

1．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（5，0），B（1，4）两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标；

（3）在线段AB右侧的抛物线上是否存在一点P，使得AB分△OPA的面积为1：

2两部分？

存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由．

解：

（1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式，

得：

，

解得：

，

所以抛物线的表达式为：

y＝﹣x2+5x

（2）求得直线AB的表达式为：

y＝﹣x+5；

过点P作直线PQ∥y轴交AB点Q，

设P（m，﹣m2+5m），

则Q（m，﹣m+5）．

当点P在Q上方时，，

∴，

解得m1＝2，m2＝4，

即P1（2，6），P2（4，4）

当点P在Q下方时，，

∴，

解得，（舍去），

即

综上，点P的坐标为：

P1（2，6），P2（4，4）或；

（3）由直线AB的表达式为：

y＝﹣x+5；

令x＝0，则y＝5，

即直线AB交y轴于点D（0，5）．

设AB交OP于点C，

当OC＝2PC或2OC＝PC时，

则AB分△OPA的面积为1：

2．

∵PQ∥y轴交AB点Q，

∴∠PQC＝∠ODC，

∵∠PCQ＝∠OCD，

∴△ODC∞△PQC．

∴．

①当OC＝2PC时，，

由

（2）得：

PQ＝（﹣m2+5m）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+6m﹣5，

即，

解得，

即．

②当2OC＝PC时，PQ＝10，

由

（2）得：

PQ＝（﹣m2+5m）﹣（﹣m+5）＝﹣m2+6m﹣5，

即﹣m2+6m﹣5＝10，所得方程无解．

综上所述：

点P的坐标为．

2．如图，线段AB，A（2，3），B（5，3），抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C，D（点C在点D的左侧）

（1）求m为何值时抛物线过原点，并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．

（2）设抛物线的顶点为P，m为何值时△PCD的面积最大，最大面积是多少．

（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位，求当m与n有怎样的关系时，抛物线能把线段AB分成1：

2两部分．

解：

（1）当y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1过原点（0，0）时，0＝﹣1﹣m2+2m+1，得m1＝0，m2＝2，

当m1＝0时，y＝﹣（x﹣1）2+1，

当m2＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+1，

由上可得，当m＝0或m＝2时，抛物线过原点，此时抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2+1，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，1）；

（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣m2+2m+1，

∴该抛物线的顶点P为（1，﹣m2+2m+1），

当﹣m2+2m+1最大时，△PCD的面积最大，

∵﹣m2+2m+1＝﹣（m﹣1）2+2，

∴当m＝1时，﹣m2+2m+1最大为2，

∴y＝﹣（x﹣1）2+2，

当y＝0时，0＝﹣（x﹣1）2+2，得x1＝1+，x2＝1﹣，

∴点C的坐标为（1﹣，0），点D的坐标为（1+，0）

∴CD＝（1+）﹣（1﹣）＝2，

∴S△PCD＝＝2，

即m为1时△PCD的面积最大，最大面积是2；

（3）将线段AB沿y轴向下平移n个单位A（2，3﹣n），B（5，3﹣n）

当线段AB分成1：

2两部分，则点（3，3﹣n）或（4，3﹣n）在该抛物线解析式上，

把（3，3﹣n）代入抛物线解析式得，

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+6；

把A（4，3﹣n）代入抛物线解析式，得

3﹣n＝﹣（3﹣1）2﹣m2+3m+1，

得n＝m2﹣2m+11；

∴n＝m2﹣2m+6或n＝m2﹣2m+11．

3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，

∴，

解得：

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；

（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：

∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，

∴C（0，6），

设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），

过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：

设直线BC的解析式为y＝kx+c，

把B（4，0），C（0，6）代入得：

，

解得：

，

∴直线BC的解析式为：

y＝﹣x+6，

∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），

则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，

∵﹣＜0，

∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，

∵1＜m＜4，

此时点D的坐标为（2，6）；

（3）存在，理由如下：

（3）分情况讨论：

①当BD是平行四边形的一条边时，

如图2所示：

M、N分别有三个点，

设点N（n，﹣n2+n+6），

∵D（2，6），

∴点N的纵坐标为绝对值为6，

即|﹣n2+n+6|＝6，

解得：

n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，

故点N、N′、N″的横坐标分别为：

0，1+，1﹣，

∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），

∴点M的坐标为：

（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；

即点M的坐标为：

（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；

②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：

∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），

∴N与C重合，BM＝CD＝2，

∴M（4+2，0），即M（6，0）；

综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：

（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．

4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值围．

解：

（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），

∴，解得b＝2，c＝3．

故该抛物线解析式为：

y＝﹣x2+2x+3．

（2）令﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b′，

则，

解得：

，

故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；

∴设P（t，3﹣t），

∴D（t，﹣t2+2t+3），

∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，

∵OB＝OC＝3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB＝45°，

当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，

∵PD∥y轴，

∴∠CPD＝∠OCB＝45°，

∴∠CDP＝45°，

∴∠PCD＝90°，

∴直线CD的解析式为y＝x+3，

解得或，

∴D（1，4），

此时P（1，2）；

当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，

∴∠CDP＝90°，

∴CD∥x轴，

∴D点的纵坐标为3，

代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，

解得x＝0或x＝2，

此时P（2，1）；

当PC＝PD时，∵PC＝t，

∴t＝﹣t2+3t，

解得t＝0或t＝3﹣，

此时P（3﹣，）；

综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）

（3）如图2，由

（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴E（1，4），

设N（1，n），则0≤n≤4，

取CM的中点Q（，），

∵∠MNC＝90°，

∴NQ＝CM，

∴4NQ2＝CM2，

∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，

∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，

整理得，m＝（n﹣）2﹣，

∵0≤n≤4，

当n＝时，m最小值＝﹣，n＝4时，m＝5，

综上，m的取值围为：

﹣≤m≤5．

5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ

①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：

（1）∵二次函数的图象经过A（4，0）和点D（﹣1，0），

∴，

解得，

所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．

（2）①延长NQ交x轴于点P，

∵BC平行于x轴，C（0，4）

∴B（3，4），NP⊥OA．

根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，

则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．

∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，

∴QN＝CN＝3﹣t，

∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣（3﹣t）＝1+t，

∴

＝﹣t2+t+2．

∴．

∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．

当t＝时，S最大值＝．

②存在点M，使得△AQM为直角三角形．

设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，

则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，

∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．

Ⅰ．若∠AQM＝90°，

则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．

∴PQ是底边MA的中线，

∴PQ＝AP＝MA，

∴1+t＝（4﹣2t），

解得，t＝，

∴M的坐标为（1，0）．

Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．

∴QM＝QP＝MA，

∴1+t＝4﹣2t，

∴t＝1，

∴点M的坐标为（2，0）．

所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为（1，0）和（2，0）．

6．如图，已知抛物线经过原点O，顶点A（1，﹣1），且与直线y＝kx+2相交于B（2，0）和C两点

（1）求抛物线和直线BC的解析式；

（2）求证：

△ABC是直角三角形；

（3）抛物线上存在点E（点E不与点A重合），使∠BCE＝∠ACB，求出点E的坐标；

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BDF是等腰三角形？

若存在，请直接写出点F的坐标．

解：

（1）设抛物线解析式y＝a（x﹣1）2﹣1，

将B（2，0）代入，

0＝a（2﹣1）2﹣1，

∴a＝1，

抛物线解析式：

y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，

将B（2，0）代入y＝kx+2，

0＝2k+2，

k＝﹣1，

∴直线BC的解析式：

y＝﹣x+2；

（2）联立，

解得，，

∴C（﹣1，3），

∵A（1，﹣1），B（2，0），

∴AB2＝（1﹣2）2+（﹣1﹣0）2＝2，

AC2＝[1﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，

BC2＝[2﹣（﹣1）]2+（0﹣3）2＝18，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如图，作∠BCE＝∠ACB，与抛物线交于点E，延长AB，与CE的延长线交于点A'，过A'作A'H垂直x轴于点H，设二次函数对称轴于x轴交于点G．

∵∠BCE＝∠ACB，∠ABC＝90°，

∴点A与A'关于直线BC对称，

AB＝A'B，

可知△AGB≌△A'HB（AAS），

∵A（1，﹣1），B（2，0）

∴AG＝1，BG＝OG＝1，

∴BH＝1，A'H＝1，OH＝3，

∴A'（3，1），

∵C（﹣1，3），

∴直线A'C：

y＝﹣x+，

联立：

，

解得或，

∴E（）；

（4）∵抛物线的对称轴：

直线x＝1，

∴设F（1，m），

直线BC的解析式：

y＝﹣x+2；

∴D（0，2）

∵B（2，0），

∴BD＝

BF＝，

DF＝＝，

①当BF＝BD时，，

m＝±，

∴F坐标（1，）或（1，﹣）

②当DF＝BD时，＝2，

m＝2，

∴F坐标（1，2+）或（1，2﹣）

③当BF＝DF时，＝，

m＝1，

F（1，1），此时B、D、F在同一直线上，不符合题意．

综上，符合条件的点F的坐标（1，）或（1，﹣）或（1，2+）或（1，2﹣）．

7．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？

若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为t秒，求△MNC的面积是△MNB面积的2倍时t的值．

解：

（1）由题意得

∴b＝﹣4，c＝3，

∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，

∴x1＝1，x2＝3，

∴B（3，0），

∵C（0，3），

∴BC＝，

∵对称轴x＝2，

∴设P（，2，m）

①当CP＝CB时，＝3，

m＝3±

∴P（2，3+）或（2，3﹣）；

②当BP＝BC时，＝3

m＝±

P（2，）或（2，﹣）；

③当PB＝PC时，＝

m＝2

∴P（2，2）；

综上可知P的坐标（2，3+）或（2，3﹣）（2，）或（2，﹣）或（2，2）；

（3）由题意可知AM＝t，DN＝2t，

①当点M在线段AD上时，即0≤t≤1时，如图1，

DM＝AD﹣AM＝1﹣t，

BM＝AB﹣AM＝2﹣t，

此时，S△MNC＝S梯形CODN﹣S△MOC﹣S△MND

＝OD（OC+DN）﹣OC•OM﹣MD•ND

＝

＝t2﹣t，

S△BMN＝BM•DN

＝（2﹣t）•2t

＝2t﹣t2，

∵S△MNC＝2S△BMN，

∴t2﹣t＝2（2t﹣t2），

解得t＝1或t＝；

②当点M在线段BD上时，即1＜t≤2时，

DM＝AM﹣AD＝t﹣1，

BM＝AB﹣AM＝2﹣t，

此时S△MNC＝S梯形CODN﹣S△AOC

＝S梯形CODN+S△MND﹣S△MOC

＝OD（OC+DN）+MD•ND﹣OC•OM

＝

＝t2﹣t，

同理求得t＝1或t＝，不在围；

综上可知△MNC面积是△MNB面积的2倍时t的值为1或．

8．在平面直角坐标系xOy中，第一象限的点P在直线y＝x上，过点P的直线交x轴正半轴于点A，交直线y＝3x于点B，点B在第一象限．

（1）如图1，当∠OAB＝90°时，求的值；

（2）当点A的坐标为（6，0），且BP＝2AP时，将过点A的抛物线y＝﹣x2+mx上下方平移，使它过点B，求平移的方向和距离．

解：

（1）设点A坐标为（a，0）（a＞0）

∵∠OAB＝90°，点B在直线y＝3x上，点P在直线y＝x上

∴B（a，3a），P（a，a）

∴BP＝3a﹣a＝a，AP＝a

∴

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D

∴BC∥PD

∵BP＝2AP

∴

∴CD＝2DA

设直线AB解析式为：

y＝kx+b

∵A（6，0）

∴6k+b＝0，得b＝﹣6k

∴直线AB解析式为y＝kx﹣6k

当x＝kx﹣6k时，解得：

x＝

∴xD＝xP＝

当3x＝kx﹣6k时，解得：

x＝

∴xC＝xB＝

∴CD＝xD﹣xC＝，AD＝6﹣xD＝6﹣

∴＝2（6﹣）

解得：

k＝﹣2

∴xB＝，yB＝3xB＝，即B（，）

∵抛物线y＝﹣x2+mx过点A

∴﹣36+6m＝0，解得：

m＝6

设平移后过点B的抛物线解析式为y＝﹣x2+6x+n

∴﹣（）2+6×+n＝

解得：

n＝﹣

∴抛物线向下平移了个单位长度．

9．如图，Rt△ABO的直角边OB在x轴上，OB＝2，AB＝1，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点．

（1）求点A，C的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）连接AC，点P是抛物线上一点，直线OP把△AOC的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．

解：

（1）∵OB＝2，AB＝1，

∴A（﹣2，1），

将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°得到Rt△CDO，

∴C（1，2），

（2）∵抛物线y＝﹣+bx+c经过A，C两点，

∴，解得

∴二次函数的解析式为y＝﹣﹣x+；

（3）设OP与AC交于点Q，

∵OP将△AOC的周长分成相等的两部分，又OA＝OC，OQ＝OQ，

∴AQ＝CQ，即Q为AC的中点，

∴Q（﹣，）．

设直线OP的解析式为y＝kx，把Q（﹣，）代入y＝kx，得＝﹣k，

∴k＝﹣3．

∴直线OP的解析式为y＝﹣3x．

由，得，，

∴P1（4，﹣12），P2（﹣1，3）．

10．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：

y＝kx﹣对称．

（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；

（2）求二次函数解析式；

（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．

解：

（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0

解得：

x1＝﹣3，x2＝1

∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）

∵直线l：

y＝kx﹣经过点A

∴﹣3k﹣＝0解得：

k＝﹣

∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣

（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a

∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）

∵C、B关于直线l对称，A在直线l上

∴AC＝AB，即AC2＝AB2

∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2

解得：

a＝±（舍去负值），即a＝

∴二次函数解析式为：

y＝x2+x﹣

（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b

∴解得：

∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3

∵BD∥AC

∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c

把点B（1，0）代入得：

﹣+c＝0解得：

c＝

∴直线BD解析式为y＝﹣x+

∵解得：

∴点D坐标为（3，﹣2）

如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．

∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上

∴BN＝CN

∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM

∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上

∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE

∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ

∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ

∵点B、C关于直线l对称

∴AD平分∠BAC

∵DF⊥AB，DE⊥AC

∴DE＝DF＝|yD|＝2

∴DQ＝2DE＝4

∵B（1，0），D（3，﹣2）

∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16

∵BD∥AC

∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°

∴BQ＝

∴CN+NM+MD的最小值为8．

11．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．

（1）求a，b的值．

（2）点P是第四象限抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．

解：

（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，

∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．

∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，

∴抛物线的对称轴为直线x＝2．

当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，

∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．

将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：

，解得：

．

（2）由

（1）得：

抛物线解析式为y＝x2﹣4x，

∵点P的横坐标为t，

∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），

∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，

∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．

∵﹣2＜0，且0＜t＜4，

∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求点D的坐标；

（3）P坐标为（，0）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵抛物线过点A（﹣4，0），B（2，0），

∴设抛物线表达式为：

y＝a（x+4）（x﹣2）

把C（0，4）代入得4＝a（0+4）（0﹣2）

∴a＝﹣

∴抛物线表达式为：

y＝﹣（x+4）（x﹣2）＝﹣x2﹣x+4；

（2）由

（1）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1

∵线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，

∴点D在对称轴上，

设点D坐标为（﹣1，m），

过点C做CG⊥l于G，连DC，DB，如图1，

∴DC＝DB

在Rt△DCG和Rt△DBH中，

∵DC2＝12+（4﹣m）2，DB2＝m2+（2+1）2

∴12+（4﹣m）2＝m2+（2+1）2

解得：

m＝1

∴点D坐标为（﹣1，1），

（3）存在，

当点P坐标为（，0）时，

①若DN和MP为平行四边形对边，则有DN＝MP，如图2，

当x＝时，y＝﹣×（）2﹣+4＝，

∴DN＝MP＝

∴点N坐标为（﹣1，）；

②若MN、DP为平行四边形对边时，M、P点到ND距离相等，如图3，

则点M横坐标为﹣，

则M纵坐标为﹣×（﹣）2++4＝，

由平行四边形中心对称性可知，点M到N的垂直距离等于点P到点D的垂直距离，

当点N在D点上方时，点N纵坐标为﹣1＝，

此时点N坐标为（﹣1，），

当点N在x轴下方时，点N坐标为（﹣1，﹣），

综上，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M．N为顶点的四边形是平行四边形，N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴负半轴交于点D（﹣1，0），与x轴正半轴交于点B．

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标和顶点C的坐标；

（2）点E是线段AB上方抛物线上一动点，请求出点E到AB的最大距离；

（3）点M是线段AB上一点，且△ACM的面积是△ABC的面积的