立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx

1、立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直 直线的方向向量：在空间直线上任取两点，则称为直线的方向向量平面的法向量：如果直线垂直于平面，那么把直线的方向向量叫作平面的法向量 用向量证明空间中的平行关系()设直线和的方向向量分别为和，则(或与重合).()设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则或存在两个实数，使.()设直线的方向向量为，平面的法向量为，则或.()设平面和的法向量分别为，则 . 用向量证明空间中的垂直关系()设直线和的方向向量分别为和，则.()设直线的方向向量为，平面的法向量为，则.()设平面和的法向量分别为和，则. 判断下面结论是

2、否正确(请在括号中打“”或“”)()直线的方向向量是唯一确定的 ()()平面的单位法向量是唯一确定的 ()()若两平面的法向量平行，则两平面平行 ()()若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 ()()若，则所在直线与所在直线平行 ()()若空间向量平行于平面，则所在直线与平面平行 () 若直线，的方向向量分别为(，)，()，则 () 与相交但不垂直 以上均不正确答案解析，故，即选. 已知平面内有一点(，)，平面的一个法向量为(，)，则下列点中，在平面内的是 ()() ()() (，)答案解析逐一验证法，对于选项，()，点在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内 若(，)，(，)，(，)是平

3、面内的三点，设平面的法向量(，)，则.答案() 已知(，)，(，)，若，(，)，且平面，则实数，分别为答案，解析由题意知，.所以即解得，.题型一证明平行问题例(浙江改编)如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且.证明：平面.思维启迪证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量证明方法一如图，取的中点，以为原点，、所在射线为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知，(，)，(，)，(，)设点的坐标为(，)因为，所以.因为为的中点，故(，)又为的中点，故，所以.又平面的一个法向量为()，故.又平面，所以平面.方法二在线段上取点，使得，连接，同证法一建立空间直

4、角坐标系，写出点、的坐标，设点坐标为(，)，设点坐标系(，)则(，)(，)(，)又由证法一知(，)，.又平面，平面，平面.思维升华用向量证明线面平行的方法有()证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；()证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；()证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示如图所示，平面平面，为正方形，是直角三角形，且，、分别是线段、的中点求证：平面.证明平面平面且为正方形，、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()、()、()、()、()、()、()、()(，)，(，)，(，)，设，即(，)(，)(，)，解得.，又与不共线，、

5、与共面平面，平面.题型二证明垂直问题例如图所示，正三棱柱1C的所有棱长都为，为的中点求证：平面.思维启迪证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行证明方法一设平面内的任意一条直线的方向向量为.由共面向量定理，则存在实数，使.令，显然它们不共面，并且，以它们为空间的一个基底，则，().故，结论得证方法二如图所示，取的中点，连接.因为为正三角形，所以.因为在正三棱柱1C中，平面平面，所以平面.取1C的中点，以为原点，以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则()，()，(，)，(，)，()设平面的法向量为(，)，(，)，()因为，故令，则，故(，)

6、为平面的一个法向量，而(，)，所以，所以，故平面.思维升华用向量证明垂直的方法()线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零()线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示()面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，在四棱锥中，平面，在四边形中，点在上，与平面成角()求证：平面；()求证：平面平面.证明以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面，为与平面所成的角，.，.()，(，)，(，)，()，(，)，(，)，(，)，(，)，()令(，)为平面的一个法

7、向量，则即令，得(，)，又平面，平面.()取的中点，则(，)，(，)，.又(，)(，)，又，平面，又平面，平面平面.题型三解决探索性问题例(福建)如图，在长方体1C中，为的中点()求证：；()在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由思维启迪利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论()证明以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设，则()，()，()，()，故()，()，.()，.()解假设在棱上存在一点(，)使得平面，此时(，)又设平面的法向量(，)平面，得取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得

8、.又平面，存在点，满足平面，此时.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点()求证：.()若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由()证明连接，设交于，则.由题意知平面.以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图设底面边长为，则高，于是，则.故.从而.()解棱上存在一点使平面.理由如下：由已知

9、条件知是平面的一个法向量，且，.设，则，而.即当时，.而不在平面内，故平面.利用向量法解决立体几何问题典例：(分)(湖南)如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点()证明：平面；()若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥的体积思维启迪本题中的()有两种证明思路：()利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；()将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积规范解答方法一()证明如图，连接.由，得. 分又，是的中点，所以. 分因为平面，平面，所以.分而，是平面内的两条相交直线，所以平面. 分()解过点作，分别与，相交于点

10、，连接.由()平面知，平面.于是为直线与平面所成的角， 分且.由平面知，为直线与平面所成的角 分由题意得，因为，所以.由知，.又，所以四边形是平行四边形故.于是.在中，所以，.于是. 分又梯形的面积为()，所以四棱锥的体积为. 分方法二如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系设，则()，()，()，()，()，(，) 分()证明易知()，()，(，)因为， 分所以，.而，是平面内的两条相交直线，所以平面. 分()解由题设和()知，分别是平面，平面的法向量 分而与平面所成的角和与平面所成的角相等，所以，即. 分由()知，()，(，)，又(，)，故.解得. 分又梯形的面积为(

11、)，所以四棱锥的体积为. 分温馨提醒()利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；()建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；()对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量方法与技巧用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：()建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；()通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；()根据运算结果的几何意义来解释相关问题失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然

12、离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线，只需证明向量()即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外组专项基础训练(时间：分钟)一、选择题 若直线的一个方向向量为()，平面的一个法向量为(，)，则()或 与斜交答案 若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是 ()()，()()，()()，(，)(，)，()答案解析若，则，中，()，. 设平面的法向量为(，)，平面的法向量(，)，若，则的值为 () 8 答案解析由得，. 已知(，)，(，)，(，)，若，三向量共面，则实数

13、等于 () 答案解析由题意得(，)，. 如图，在长方体1C中，为的中点，为的中点则与所成的角为() 以上都不正确答案解析以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得，()，(，)，()，(，)，(，)(，)，(，)，(，)(，)，即，.二、填空题 已知平面和平面的法向量分别为()，(，)，且，则.答案解析，. 设点(2a，)在点()、(，)、(，)确定的平面上，则.答案解析(，)，(，)根据共面向量定理，设 (、)，则(2a，)(，)(，)(，)，解得，. 如图，在正方体1C中，棱长为，、分别为和上的点，1M，则与平面1C1C的位置关系是答案平行解析正方体棱长

14、为，1M，()().又是平面的法向量，.又平面，平面.三、解答题 如图，四边形为正方形，平面，.证明：平面平面.证明如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.依题意有(，)，()，()，则()，()，(，)，.即，又，故平面，又平面，平面平面.如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是，的中点，.()求证：平面；()求证：平面平面.证明()以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()，()，()，()，()，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，()，()，()，()，即，又平面，平面，平面.()()()，()()，

15、即，.又，平面.平面，平面平面.组专项能力提升(时间：分钟) 已知()，(，)，(，)若与及都垂直，则，的值分别为 () ， ，答案解析由已知得(，)，故3m，.解得 已知平面，点是空间任意一点，点满足条件，则直线 ()与平面平行是平面的斜线是平面的垂线在平面内答案解析由已知得、四点共面所以在平面内，选. 在正方体1C中，为正方形1C四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为，的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的有个答案解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则(，)，()，的中点坐标为，又知()，(，)，而在上，即点坐标满足.有个符合题意的点，即对应有个. 如图所示，已知直三

16、棱柱1C中，为等腰直角三角形，且，、分别为1A、1C、的中点求证：()平面；()1F平面.证明()如图建立空间直角坐标系，令，则()，()，()，()，()取中点为，连接，则()，()，()，()，()，又平面，平面.故平面.()(，)，(，)，()()()()()，()().，即1F，1F，又，1F平面. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，、分别是、的中点()求证：；()在平面内求一点，使平面，并证明你的结论()证明如图，以、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则()、()、(，)、(，)、(，)、.，(，)，即.()解设(，)，则，若使平面，则由()，得；由(，)，得.点坐标为，即点为的中点