立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx
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立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析
§ 立体几何中的向量方法
(一)——证明平行与垂直
.直线的方向向量:
在空间直线上任取两点,,则称为直线的方向向量.
平面的法向量:
如果直线垂直于平面α,那么把直线的方向向量叫作平面α的法向量.
.用向量证明空间中的平行关系
()设直线和的方向向量分别为和,则∥(或与重合)⇔∥.
()设直线的方向向量为,与平面α共面的两个不共线向量和,则∥α或α⇔存在两个实数,,使=+.
()设直线的方向向量为,平面α的法向量为,则∥α或α⇔⊥.
()设平面α和β的法向量分别为,,则α∥β⇔∥.
.用向量证明空间中的垂直关系
()设直线和的方向向量分别为和,则⊥⇔⊥⇔·=.
()设直线的方向向量为,平面α的法向量为,则⊥α⇔∥.
()设平面α和β的法向量分别为和,则α⊥β⇔⊥⇔·=.
.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
()直线的方向向量是唯一确定的.( × )
()平面的单位法向量是唯一确定的.( × )
()若两平面的法向量平行,则两平面平行.( × )
()若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ )
()若∥,则所在直线与所在直线平行.( × )
()若空间向量平行于平面α,则所在直线与平面α平行.( × )
.若直线,的方向向量分别为=(,-),=(-),则( )
.∥.⊥
.与相交但不垂直.以上均不正确
答案
解析 ·=-+-=,故⊥,即⊥选.
.已知平面α内有一点(,-),平面α的一个法向量为=(,-),则下列点
中,在平面α内的是( )
.().(-)
.(-).(,-)
答案
解析 逐一验证法,对于选项,=(),
∴·=-+=,∴⊥,
∴点在平面α内,
同理可验证其他三个点不在平面α内.
.若(,),(,-,),(-,)是平面α内的三点,设平面α的法向量=(,,),则∶∶=.
答案 ∶∶(-)
.已知=(,-),=(,),若⊥,=(-,,-),且⊥平面,则实数,,分别为.
答案 ,-,
解析 由题意知,⊥,⊥.
所以
即
解得,=,=-,=.
题型一 证明平行问题
例
(·浙江改编)如图,
在四面体-中,⊥平面,
⊥,=,=,是的中点,是的中点,
点在线段上,且=.
证明:
∥平面.
思维启迪 证明线面平行,可以利用判定定理先证线线平行,也可利用平面的法向量.
证明 方法一
如图,取的中点,以为原点,、
所在射线为、轴的正半轴,建立空间直角坐标系.由题意知,
(,,),(,-,),(,,).
设点的坐标为(,).
因为=,
所以.
因为为的中点,故(,,).
又为的中点,故,
所以=.
又平面的一个法向量为=(),故·=.
又⃘平面,所以∥平面.
方法二 在线段上取点,使得=,连接,同证法一建立空间直角坐标系,写出点、、的坐标,设点坐标为(,).
∵=,设点坐标系(,)则
(-,-)=(-,-)
∴
∴=(,+)
又由证法一知=(,+),
∴=,∴∥.
又⃘平面,平面,
∴∥平面.
思维升华 用向量证明线面平行的方法有
()证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;
()证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;
()证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
如图所示,平面⊥平面,为正方形,
△是直角三角形,且==,、、分别是线段、、
的中点.求证:
∥平面.
证明 ∵平面⊥平面且为正方形,
∴、、两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直
角坐标系,则()、()、()、()、()、
()、()、().
∴=(,-),=(,-),=(,-),
设=+,
即(,-)=(,-)+(,-),
∴解得==.
∴=+,
又∵与不共线,∴、与共面.
∵⃘平面,∴∥平面.
题型二 证明垂直问题
例
如图所示,正三棱柱—
1C的所有棱长都为,为
的中点.求证:
⊥平面.
思维启迪 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义,即证线与平
面内的任意一条直线垂直;也可以证线与面的法向量平行.
证明 方法一 设平面内的任意一条直线的方向向量为.由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使=λ+μ.
令=,=,=,显然它们不共面,并且===,·=·=,·=,以它们为空间的一个基底,
则=+,=+,=-,
=λ+μ=+μ+λ,
·=(-)·
=-μ-λ=.
故⊥,结论得证.
方法二 如图所示,取的中点,连接.
因为△为正三角形,
所以⊥.
因为在正三棱柱—1C中,平面⊥平面,
所以⊥平面.
取1C的中点,以为原点,以,,为轴,轴,
轴建立空间直角坐标系,
则(),(-),(,),
(,),().
设平面的法向量为=(,,),=(-,),=(-).
因为⊥,⊥,
故⇒
令=,则=,=-,
故=(,-)为平面的一个法向量,
而=(,-),所以=,所以∥,
故⊥平面.
思维升华 用向量证明垂直的方法
()线线垂直:
证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.
()线面垂直:
证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.
()面面垂直:
证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.
如图所示,在四棱锥-中,⊥平面,
=,在四边形中,∠=∠=°,=,=,点
在上,=,与平面成°角.
()求证:
∥平面;
()求证:
平面⊥平面.
证明
以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为
轴,所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
∵⊥平面,
∴∠为与平面所成的角,
∴∠=°.
∵=,∴=,=.
∴(),(,),(,),(),
(,,),∴=(,-),=(,),
=(,,),
()令=(,,)为平面的一个法向量,
则
即
∴
令=,得=(-,).
∵·=-×+×+×=,
∴⊥,又⃘平面,
∴∥平面.
()
取的中点,则(,),=(-,).
∵=,∴⊥.
又∵·=(-,)·(,)=,
∴⊥,∴⊥,
又∩=,∴⊥平面,
又∵平面,∴平面⊥平面.
题型三 解决探索性问题
例
(·福建)如图,在长方体
-1C中,==,
为的中点.
()求证:
⊥;
()在棱上是否存在一点,使得∥平面?
若存在,求
的长;若不存在,说明理由.
思维启迪 利用向量法建立空间直角坐标系,将几何问题进行转化;对于存在性问题可通过计算下结论.
()证明
以为原点,,,的方向分别为轴,轴,
轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).
设=,则(),(),(),
,(),
故=(),=,=(),=.
∵·=-×+×+(-)×=,
∴⊥.
()解 假设在棱上存在一点(,).
使得∥平面,此时=(,-,).
又设平面的法向量=(,,).
∵⊥平面,
∴⊥,⊥,得
取=,得平面的一个法向量=.
要使∥平面,只要⊥,有-=,
解得=.
又⃘平面,
∴存在点,满足∥平面,此时=.
思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:
一种是根据条件作出判断,再进一步论证.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.
如图所示,四棱锥—的底面是正方形,每条侧棱
的长都是底面边长的倍,为侧棱上的点.
()求证:
⊥.
()若⊥平面,则侧棱上是否存在一点,使得∥平面.
若存在,求∶的值;若不存在,试说明理由.
()证明 连接,设交于,则⊥.
由题意知⊥平面.
以为坐标原点,,,分别为轴、轴、轴正方向,建立空间直角坐标系如图.
设底面边长为,则高=,
于是,,
,,=,
=,则·=.
故⊥.从而⊥.
()解 棱上存在一点使∥平面.
理由如下:
由已知条件知是平面的一个法向量,
且=,=,
=.
设=,则=+=+
=,
而·=⇔=.
即当∶=∶时,⊥.
而不在平面内,故∥平面.
利用向量法解决立体几何问题
典例:
(分)(·湖南)如图所示,
在四棱锥-中,⊥平面
,=,=,=,∠=∠=°,是
的中点.
()证明:
⊥平面;
()若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥-的体积.
思维启迪 本题中的()有两种证明思路:
()利用常规方法,将证明线面垂直转化为证明线线垂直,利用线面垂直的判定定理证之;
()将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题,证明向量垂直;然后计算两个向量的数量积.
规范解答
方法一 ()证明 如图,
连接.由=,=,∠=°得=.[分]
又=,是的中点,所以⊥.[分]
因为⊥平面,平面,所以⊥.[分]
而,是平面内的两条相交直线,
所以⊥平面.[分]
()解 过点作∥,分别与,相交于点,,连接.
由()⊥平面知,⊥平面.
于是∠为直线与平面所成的角,[分]
且⊥.
由⊥平面知,∠为直线与平面所成的角.[分]
由题意得∠=∠,
因为∠=,∠=,
所以=.
由∠=∠=°知,∥.
又∥,所以四边形是平行四边形.
故==.于是=.
在△中,=,=,⊥,所以
==,===.
于是==.[分]
又梯形的面积为=×(+)×=,
所以四棱锥-的体积为
=××=××=.[分]
方法二 如图,
以为坐标原点,,,所在直线分
别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.
设=,则(),(),(),(),(),
(,).[分]
()证明 易知=(-),=(),=(,).
因为·=-++=,·=,[分]
所以⊥,⊥.
而,是平面内的两条相交直线,
所以⊥平面.[分]
()解 由题设和()知,,分别是平面,平面的法向量.[分]
而与平面所成的角和与平面所成的角相等,
所以〈,〉=〈,〉,
即=.[分]
由()知,=(-),=(,-),
又=(,-),
故=.
解得=.[分]
又梯形的面积为=×(+)×=,
所以四棱锥-的体积为
=××=××=.[分]
温馨提醒 ()利用向量法证明立体几何问题,可以建立坐标系或利用基底表示向量;
()建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线;
()对于和平面有关的垂直问题,也可利用平面的法向量.
方法与技巧
用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:
一种是用向量表示几何量,利用向量的
运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:
()建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、
面,把立体几何问题转化为向量问题;
()通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;
()根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
失误与防范
用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线∥,只需证明向量=λ(λ∈)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.
组 专项基础训练
(时间:
分钟)
一、选择题
.若直线的一个方向向量为=(),平面α的一个法向量为=(,-),则( )
.∥α或α.⊥α
.α.与α斜交
答案
.若直线的方向向量为,平面α的法向量为,能使∥α的是( )
.=(),=(-)
.=(),=()
.=(),=(-,-)
.=(,-),=()
答案
解析 若∥α,则·=,
中,·=×+(-)×+×=,
∴⊥.
.设平面α的法向量为=(,-),平面β的法向量=(-,,),若α∥β,则+的值为( )
.-.-8..-
答案
解析 由α∥β得∥,∴==,
∴=-,=,∴+=.
.已知=(,-),=(-,-),=(,λ),若,,三向量共面,则实数λ等于( )
答案
解析 由题意得=+μ=(-μ,-+μ,-μ),
∴,∴.
.
如图,在长方体—1C中,=,=,=,
为的中点,为的中点.则与所成的角为( )
.°.°
.°.以上都不正确
答案
解析 以点为原点,分别以,,所在直线为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意,可得,(),(,),(),(,),
(,).
∴=(,,-),
=(-,),
∴·=(,,-)·(-,)=,
即⊥,∴⊥.
二、填空题
.已知平面α和平面β的法向量分别为=(),=(,-,),且α⊥β,则=.
答案 -
解析 ∵·=-+=,∴=-.
.设点(2a+,+)在点()、(,-)、(,-,)确定的平面上,则=.
答案
解析 =(-,-),=(,-).
根据共面向量定理,设=+(、∈),
则(2a-,+)=(-,-)+(,-)
=(-+,--+),
∴ 解得=-,=,=.
.
如图,在正方体—1C中,棱长为,、分别为
和上的点,1M==,则与平面1C1C的位置关系
是.
答案 平行
解析 ∵正方体棱长为,1M==,
∴=,=,
∴=++=++
=(+)++(+)
=+.
又∵是平面的法向量,
∴·=·=,
∴⊥.又∵⃘平面,
∴∥平面.
三、解答题
.如图,四边形为正方形,⊥平面,∥,==.证明:
平面⊥平面.
证明 如图,
以为坐标原点,线段的长为单位长,射
线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.依题意有
(,),(),(),
则=(),=(),=(,-).
∴·=,·=.
即⊥,⊥,
又∩=,故⊥平面,
又平面,∴平面⊥平面.
.
如图,在底面是矩形的四棱锥-中,⊥底面,,
分别是,的中点,==,=.
()求证:
∥平面;
()求证:
平面⊥平面.
证明 ()
以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,
所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则(),
(),(),(),(),
∴(,,),(,),=(-,),=(,-),=
(,-),=(),=(),=(),=().
∵=-,∴∥,即∥,
又平面,⃘平面,
∴∥平面.
()∵·=()·()=,
·=()·()=,
∴⊥,⊥,即⊥,⊥.
又∩=,∴⊥平面.
∵平面,∴平面⊥平面.
组 专项能力提升
(时间:
分钟)
.已知=(),=(,-),=++(,-).若与及都垂直,则,的值分别为( )
.-.,-
..-,-
答案
解析 由已知得=(+,+-,-+),
故·=3m++=,·=+-=.
解得
.已知平面,点是空间任意一点,点满足条件=++,则直线( )
.与平面平行
.是平面的斜线
.是平面的垂线
.在平面内
答案
解析 由已知得、、、四点共面.所以在平面内,选.
.
在正方体—1C中,为正方形1C四边上的动点,
为底面正方形的中心,,分别为,的中点,点
为平面内一点,线段与互相平分,则满足=λ
的实数λ的有个.
答案
解析
建立如图的坐标系,设正方体的边长为,则(,),
(),∴的中点坐标为
,
又知(),∴(+,+),而在上,∴+=,
∴+=,即点坐标满足+=.
∴有个符合题意的点,即对应有个λ.
.
如图所示,已知直三棱柱—1C中,△为等腰直角三角
形,∠=°,且=,、、分别为1A、1C、的
中点.求证:
()∥平面;
()1F⊥平面.
证明 ()如图建立空间直角坐标系,
令==,
则(),(),(),(),().
取中点为,连接,
则(),(),(),
∴=(-),=(-),
∴=,∴∥,
又∵平面,⃘平面.
故∥平面.
()=(-,-),=(,-,-),=().
·=(-)×+×(-)+(-)×(-)=,
·=(-)×+×+(-)×=.
∴⊥,⊥,即1F⊥,1F⊥,
又∵∩=,∴1F⊥平面.
.在四棱锥—中,⊥底面,底面为正方形,=,、分别是、的中点.
()求证:
⊥;
()在平面内求一点,使⊥平面,并证明你的结论.
()证明
如图,以、、所在直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角坐标系,
设=,则()、
()、(,)、
(,)、、
(,)、.
=,=(,).
∵·=,∴⊥,即⊥.
()解 设(,),则=,
若使⊥平面,则
由·=·()
==,
得=;
由·=·(,-,)
=+=,得=.
∴点坐标为,即点为的中点.