立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx

立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx

《立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

立体几何中的向量方法一课后练习及答案解析

§　立体几何中的向量方法

（一）——证明平行与垂直

．直线的方向向量：

在空间直线上任取两点，，则称为直线的方向向量．

平面的法向量：

如果直线垂直于平面α，那么把直线的方向向量叫作平面α的法向量．

．用向量证明空间中的平行关系

（）设直线和的方向向量分别为和，则∥（或与重合）⇔∥.

（）设直线的方向向量为，与平面α共面的两个不共线向量和，则∥α或α⇔存在两个实数，，使＝＋.

（）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则∥α或α⇔⊥.

（）设平面α和β的法向量分别为，，则α∥β⇔∥.

．用向量证明空间中的垂直关系

（）设直线和的方向向量分别为和，则⊥⇔⊥⇔·＝.

（）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则⊥α⇔∥.

（）设平面α和β的法向量分别为和，则α⊥β⇔⊥⇔·＝.

．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（）直线的方向向量是唯一确定的．（　×　）

（）平面的单位法向量是唯一确定的．（　×　）

（）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（　×　）

（）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（　√　）

（）若∥，则所在直线与所在直线平行．（　×　）

（）若空间向量平行于平面α，则所在直线与平面α平行．（　×　）

．若直线，的方向向量分别为＝（，－），＝（－），则（　　）

．∥．⊥

．与相交但不垂直．以上均不正确

答案　

解析　·＝－＋－＝，故⊥，即⊥选.

．已知平面α内有一点（，－），平面α的一个法向量为＝（，－），则下列点

中，在平面α内的是（　　）

．（）．（－）

．（－）．（，－）

答案　

解析　逐一验证法，对于选项，＝（），

∴·＝－＋＝，∴⊥，

∴点在平面α内，

同理可验证其他三个点不在平面α内．

．若（，），（，－，），（－，）是平面α内的三点，设平面α的法向量＝（，，），则∶∶＝.

答案　∶∶（－）

．已知＝（，－），＝（，），若⊥，＝（－，，－），且⊥平面，则实数，，分别为．

答案　，－，

解析　由题意知，⊥，⊥.

所以

即

解得，＝，＝－，＝.

题型一　证明平行问题

例

　（·浙江改编）如图，

在四面体－中，⊥平面，

⊥，＝，＝，是的中点，是的中点，

点在线段上，且＝.

证明：

∥平面.

思维启迪　证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量．

证明　方法一　

如图，取的中点，以为原点，、

所在射线为、轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知，

（，，），（，－，），（，，）．

设点的坐标为（，）．

因为＝，

所以.

因为为的中点，故（，，）．

又为的中点，故，

所以＝.

又平面的一个法向量为＝（），故·＝.

又⃘平面，所以∥平面.

方法二　在线段上取点，使得＝，连接，同证法一建立空间直角坐标系，写出点、、的坐标，设点坐标为（，）．

∵＝，设点坐标系（，）则

（－，－）＝（－，－）

∴

∴＝（，＋）

又由证法一知＝（，＋），

∴＝，∴∥.

又⃘平面，平面，

∴∥平面.

思维升华　用向量证明线面平行的方法有

（）证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

（）证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

（）证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．

如图所示，平面⊥平面，为正方形，

△是直角三角形，且＝＝，、、分别是线段、、

的中点．求证：

∥平面.

证明　∵平面⊥平面且为正方形，

∴、、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直

角坐标系，则（）、（）、（）、（）、（）、

（）、（）、（）．

∴＝（，－），＝（，－），＝（，－），

设＝＋，

即（，－）＝（，－）＋（，－），

∴解得＝＝.

∴＝＋，

又∵与不共线，∴、与共面．

∵⃘平面，∴∥平面.

题型二　证明垂直问题

例

　如图所示，正三棱柱—

1C的所有棱长都为，为

的中点．求证：

⊥平面.

思维启迪　证明线面垂直可以利用线面垂直的定义，即证线与平

面内的任意一条直线垂直；也可以证线与面的法向量平行．

证明　方法一　设平面内的任意一条直线的方向向量为.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使＝λ＋μ.

令＝，＝，＝，显然它们不共面，并且＝＝＝，·＝·＝，·＝，以它们为空间的一个基底，

则＝＋，＝＋，＝－，

＝λ＋μ＝＋μ＋λ，

·＝（－）·

＝－μ－λ＝.

故⊥，结论得证．

方法二　如图所示，取的中点，连接.

因为△为正三角形，

所以⊥.

因为在正三棱柱—1C中，平面⊥平面，

所以⊥平面.

取1C的中点，以为原点，以，，为轴，轴，

轴建立空间直角坐标系，

则（），（－），（，），

（，），（）．

设平面的法向量为＝（，，），＝（－，），＝（－）．

因为⊥，⊥，

故⇒

令＝，则＝，＝－，

故＝（，－）为平面的一个法向量，

而＝（，－），所以＝，所以∥，

故⊥平面.

思维升华　用向量证明垂直的方法

（）线线垂直：

证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

（）线面垂直：

证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

（）面面垂直：

证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

如图所示，在四棱锥－中，⊥平面，

＝，在四边形中，∠＝∠＝°，＝，＝，点

在上，＝，与平面成°角．

（）求证：

∥平面；

（）求证：

平面⊥平面.

证明　

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为

轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

∵⊥平面，

∴∠为与平面所成的角，

∴∠＝°.

∵＝，∴＝，＝.

∴（），（，），（，），（），

（，，），∴＝（，－），＝（，），

＝（，，），

（）令＝（，，）为平面的一个法向量，

则

即

∴

令＝，得＝（－，）．

∵·＝－×＋×＋×＝，

∴⊥，又⃘平面，

∴∥平面.

（）

取的中点，则（，），＝（－，）．

∵＝，∴⊥.

又∵·＝（－，）·（，）＝，

∴⊥，∴⊥，

又∩＝，∴⊥平面，

又∵平面，∴平面⊥平面.

题型三　解决探索性问题

例

　（·福建）如图，在长方体

－1C中，＝＝，

为的中点．

（）求证：

⊥；

（）在棱上是否存在一点，使得∥平面？

若存在，求

的长；若不存在，说明理由．

思维启迪　利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．

（）证明　

以为原点，，，的方向分别为轴，轴，

轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）．

设＝，则（），（），（），

，（），

故＝（），＝，＝（），＝.

∵·＝－×＋×＋（－）×＝，

∴⊥.

（）解　假设在棱上存在一点（，）．

使得∥平面，此时＝（，－，）．

又设平面的法向量＝（，，）．

∵⊥平面，

∴⊥，⊥，得

取＝，得平面的一个法向量＝.

要使∥平面，只要⊥，有－＝，

解得＝.

又⃘平面，

∴存在点，满足∥平面，此时＝.

思维升华　对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：

一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．

如图所示，四棱锥—的底面是正方形，每条侧棱

的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．

（）求证：

⊥.

（）若⊥平面，则侧棱上是否存在一点，使得∥平面.

若存在，求∶的值；若不存在，试说明理由．

（）证明　连接，设交于，则⊥.

由题意知⊥平面.

以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系如图．

设底面边长为，则高＝，

于是，，

，，＝，

＝，则·＝.

故⊥.从而⊥.

（）解　棱上存在一点使∥平面.

理由如下：

由已知条件知是平面的一个法向量，

且＝，＝，

＝.

设＝，则＝＋＝＋

＝，

而·＝⇔＝.

即当∶＝∶时，⊥.

而不在平面内，故∥平面.

利用向量法解决立体几何问题

典例：

（分）（·湖南）如图所示，

在四棱锥－中，⊥平面

，＝，＝，＝，∠＝∠＝°，是

的中点．

（）证明：

⊥平面；

（）若直线与平面所成的角和与平面所成的角相等，求四棱锥－的体积．

思维启迪　本题中的（）有两种证明思路：

（）利用常规方法，将证明线面垂直转化为证明线线垂直，利用线面垂直的判定定理证之；

（）将证明线面垂直问题转化为向量间的关系问题，证明向量垂直；然后计算两个向量的数量积．

规范解答

方法一　（）证明　如图，

连接.由＝，＝，∠＝°得＝.[分]

又＝，是的中点，所以⊥.[分]

因为⊥平面，平面，所以⊥.[分]

而，是平面内的两条相交直线，

所以⊥平面.[分]

（）解　过点作∥，分别与，相交于点，，连接.

由（）⊥平面知，⊥平面.

于是∠为直线与平面所成的角，[分]

且⊥.

由⊥平面知，∠为直线与平面所成的角．[分]

由题意得∠＝∠，

因为∠＝，∠＝，

所以＝.

由∠＝∠＝°知，∥.

又∥，所以四边形是平行四边形．

故＝＝.于是＝.

在△中，＝，＝，⊥，所以

＝＝，＝＝＝.

于是＝＝.[分]

又梯形的面积为＝×（＋）×＝，

所以四棱锥－的体积为

＝××＝××＝.[分]

方法二　如图，

以为坐标原点，，，所在直线分

别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

设＝，则（），（），（），（），（），

（，）．[分]

（）证明　易知＝（－），＝（），＝（，）．

因为·＝－＋＋＝，·＝，[分]

所以⊥，⊥.

而，是平面内的两条相交直线，

所以⊥平面.[分]

（）解　由题设和（）知，，分别是平面，平面的法向量．[分]

而与平面所成的角和与平面所成的角相等，

所以〈，〉＝〈，〉，

即＝.[分]

由（）知，＝（－），＝（，－），

又＝（，－），

故＝.

解得＝.[分]

又梯形的面积为＝×（＋）×＝，

所以四棱锥－的体积为

＝××＝××＝.[分]

温馨提醒　（）利用向量法证明立体几何问题，可以建立坐标系或利用基底表示向量；

（）建立空间直角坐标系时要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；

（）对于和平面有关的垂直问题，也可利用平面的法向量．

方法与技巧

用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：

一种是用向量表示几何量，利用向量的

运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：

（）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、

面，把立体几何问题转化为向量问题；

（）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；

（）根据运算结果的几何意义来解释相关问题．

失误与防范

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线∥，只需证明向量＝λ（λ∈）即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

组　专项基础训练

（时间：

分钟）

一、选择题

．若直线的一个方向向量为＝（），平面α的一个法向量为＝（，－），则（　　）

．∥α或α．⊥α

．α．与α斜交

答案　

．若直线的方向向量为，平面α的法向量为，能使∥α的是（　　）

．＝（），＝（－）

．＝（），＝（）

．＝（），＝（－，－）

．＝（，－），＝（）

答案　

解析　若∥α，则·＝，

中，·＝×＋（－）×＋×＝，

∴⊥.

．设平面α的法向量为＝（，－），平面β的法向量＝（－，，），若α∥β，则＋的值为（　　）

．－．－8．．－

答案　

解析　由α∥β得∥，∴＝＝，

∴＝－，＝，∴＋＝.

．已知＝（，－），＝（－，－），＝（，λ），若，，三向量共面，则实数λ等于（　　）

答案　

解析　由题意得＝＋μ＝（－μ，－＋μ，－μ），

∴，∴.

．

如图，在长方体—1C中，＝，＝，＝，

为的中点，为的中点．则与所成的角为（　　）

．°．°

．°．以上都不正确

答案　

解析　以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意，可得，（），（，），（），（，），

（，）．

∴＝（，，－），

＝（－，），

∴·＝（，，－）·（－，）＝，

即⊥，∴⊥.

二、填空题

．已知平面α和平面β的法向量分别为＝（），＝（，－，），且α⊥β，则＝.

答案　－

解析　∵·＝－＋＝，∴＝－.

．设点（2a＋，＋）在点（）、（，－）、（，－，）确定的平面上，则＝.

答案　

解析　＝（－，－），＝（，－）．

根据共面向量定理，设＝＋（、∈），

则（2a－，＋）＝（－，－）＋（，－）

＝（－＋，－－＋），

∴　解得＝－，＝，＝.

．

如图，在正方体—1C中，棱长为，、分别为

和上的点，1M＝＝，则与平面1C1C的位置关系

是．

答案　平行

解析　∵正方体棱长为，1M＝＝，

∴＝，＝，

∴＝＋＋＝＋＋

＝（＋）＋＋（＋）

＝＋.

又∵是平面的法向量，

∴·＝·＝，

∴⊥.又∵⃘平面，

∴∥平面.

三、解答题

．如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，＝＝.证明：

平面⊥平面.

证明　如图，

以为坐标原点，线段的长为单位长，射

线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.依题意有

（，），（），（），

则＝（），＝（），＝（，－）．

∴·＝，·＝.

即⊥，⊥，

又∩＝，故⊥平面，

又平面，∴平面⊥平面.

．

如图，在底面是矩形的四棱锥－中，⊥底面，，

分别是，的中点，＝＝，＝.

（）求证：

∥平面；

（）求证：

平面⊥平面.

证明　（）

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，

所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（），

（），（），（），（），

∴（，，），（，），＝（－，），＝（，－），＝

（，－），＝（），＝（），＝（），＝（）．

∵＝－，∴∥，即∥，

又平面，⃘平面，

∴∥平面.

（）∵·＝（）·（）＝，

·＝（）·（）＝，

∴⊥，⊥，即⊥，⊥.

又∩＝，∴⊥平面.

∵平面，∴平面⊥平面.

组　专项能力提升

（时间：

分钟）

．已知＝（），＝（，－），＝＋＋（，－）．若与及都垂直，则，的值分别为（　　）

．－．，－

．．－，－

答案　

解析　由已知得＝（＋，＋－，－＋），

故·＝3m＋＋＝，·＝＋－＝.

解得

．已知平面，点是空间任意一点，点满足条件＝＋＋，则直线（　　）

．与平面平行

．是平面的斜线

．是平面的垂线

．在平面内

答案　

解析　由已知得、、、四点共面．所以在平面内，选.

．

在正方体—1C中，为正方形1C四边上的动点，

为底面正方形的中心，，分别为，的中点，点

为平面内一点，线段与互相平分，则满足＝λ

的实数λ的有个．

答案　

解析　

建立如图的坐标系，设正方体的边长为，则（，），

（），∴的中点坐标为

，

又知（），∴（＋，＋），而在上，∴＋＝，

∴＋＝，即点坐标满足＋＝.

∴有个符合题意的点，即对应有个λ.

．

如图所示，已知直三棱柱—1C中，△为等腰直角三角

形，∠＝°，且＝，、、分别为1A、1C、的

中点．求证：

（）∥平面；

（）1F⊥平面.

证明　（）如图建立空间直角坐标系，

令＝＝，

则（），（），（），（），（）．

取中点为，连接，

则（），（），（），

∴＝（－），＝（－），

∴＝，∴∥，

又∵平面，⃘平面.

故∥平面.

（）＝（－，－），＝（，－，－），＝（）．

·＝（－）×＋×（－）＋（－）×（－）＝，

·＝（－）×＋×＋（－）×＝.

∴⊥，⊥，即1F⊥，1F⊥，

又∵∩＝，∴1F⊥平面.

．在四棱锥—中，⊥底面，底面为正方形，＝，、分别是、的中点．

（）求证：

⊥；

（）在平面内求一点，使⊥平面，并证明你的结论．

（）证明　

如图，以、、所在直线分别为轴、轴、轴

建立空间直角坐标系，

设＝，则（）、

（）、（，）、

（，）、、

（，）、.

＝，＝（，）．

∵·＝，∴⊥，即⊥.

（）解　设（，），则＝，

若使⊥平面，则

由·＝·（）

＝＝，

得＝；

由·＝·（，－，）

＝＋＝，得＝.

∴点坐标为，即点为的中点．