专题05 与角平分线垂线等腰三角形相关辅助线添加题型解读解析版.docx

1、专题05 与角平分线垂线等腰三角形相关辅助线添加题型解读解析版专题05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读一、基础知识点综述 利用平行线构造等腰三角形ABC为等腰三角形，AB=AC，DEBC，FGBC，则ADE，AFG是等腰三角形.一线三直角构造全等三角形C=ABD=E=90，C、B、E三点共线，AB=BD，则ABCBDE；C=EAD=90，C、A、E三点共线，DEAB，AB=DE，则ABCDEA；过角平分线上点向角两边作垂线段二、典型例题解析 题型一：利用角平分线性质解题题型例1. （2019深圳期中）如图，在ABC中，BAC=40，ACB=60，D为ABC外一点，DA平分B

2、AC，CBD=50，求DCB的度数.【答案】见解析.【解析】解：如图，过D作DHAB于H，DEAC于E，DFBC于F，PBC=BAC+ACB=100，CBD=50，DBC=DBH，DF=DH，DA平分CAB，DHAB，DEAC，DE=DH，DE=DF，CD平分BCE，QCB=120，DCB=60.题型二：一线多用例2. （2017北京中考）在等腰直角ABC中，ACB=90，点P是线段BC上一动点（与点B,C不重合），连接AP，延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,交直线AB与点M。（1）若PAC= ，求AMQ的大小（用含的式子表示）（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系

3、，并证明.（可用结论：等腰直角三角形斜边长等于腰长的倍.）【答案】见解析.【解析】解：（1）AMQ=45+；理由如下：PAC=，ACB是等腰直角三角形，BAC=B=45，PAB=45-，QHAP，AHM=90，AMQ=180-AHM-PAB=45+；（2）如图，连接AQ，过M作MEBC于E，ACPQ，QC=PC，QAC=PAC=，QAM=45+=AMQ，AP=AQ=QM，APCQME，PC=ME，由MEB是等腰直角三角形，得,即PQ=MB.例3. （2019河南平顶山周练）在ABC中，BAC=90，AB=AC，BD平分ABC，过C作CEBD，交BD延长线于E，AFBD于F，求证：BD=2CE.

4、【答案】见解析.【解析】证明：如图，延长BA，CE交于点H，BECH，BEC=BEH=90，BE平分ABC，HBE=CBE，BE=BE，BEHBEC，CE=EH，CH=2CE，BAD=CAH=90，H+ACH=90，H+ABD=90，ACH=ABD，AB=AC，ABDACH，BD=CH=2CE.例4. 如图所示，线段AB、CD交于点E，且ABBD于B，ACCD于C.（1）如图1，若AB=CD，D=30，探究线段DE与CE的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若AB=BD，D=22.5，探究线段DE与AC的数量关系，并说明理由. 图1 图2【答案】见解析.【解析】证明：（1）DE=2CE，连接A

5、D，如图，ABBD，ACCD，C=B=90，在RtADC和RtDAB中，AB=CD，AD=AD，RtADCRtDAB ，AC=BD，BDE=30，BED=CEA=60，CAE=30，DE=2BE，ACEDBE，AE=DE，CE=BE，DE=2CE.（2）连接AD，延长DB，AC交于点H，AB=BD，ABD=90，DBA=BAD=45，BDE=22.5，CDA=22.5，ACCD，ACD=DCH=90，CD=CD，ACDHCD，AH=2AC，CAE+CEA=90，BDE+DED=90，CEA=DEB，CAE=BDE，AB=BD，ABD=EBD=90，ABHDBE，DE=AH=2AC.题型三：一线

6、三直角例5. （2019广东期末）如图，已知等腰直角ABC中，AB=AC，BAC=90，点A，B分别在x轴、y轴上，点C的坐标为（6,2），求A点、B点坐标.【答案】见解析.【解析】解：过点C作CHx轴于H，CHA=AOB=BAC=90，CAH+ACH=90，CAH+BAO=90，ACH=BAO，AB=AC，ABOCAH，CH=OA=2，OB=AH=OHOA=4，即A(2,0)，B(0,4).例6. （2018柘城实验中学月考）如图1，在平面直角坐标系中，.（1）求证：AB=CD，ABCD；（2）如图2，以A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE，过点E作EFx轴于点F，求点F的坐标；（

7、3）如图3，若点P为y轴正半轴上一动点，以AP为直角边作等腰直角三角形APQ，点Q在第一象限，APQ=90，QRx轴于点R，当点P运动时，OPQR的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由。图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：由题意知，OA=2，OB=3，OC=3，OD=2，即OA=OD，OB=OC，AOB=COD=90，AOBDOC，AB=CD，OCD=ABO，延长CD交AB于H，BAO+ABO=90，BAO+OCD=90，即CHA=90，ABCD.（2）AEB是等腰直角三角形，AB=AE，EAB=90，EAF+BAO=90，EAF+AEF=90，BAO=AE

8、F，EFA=AOB=90，AEFBAO，AF=OB=3，OF=5，即F(5,0).（3）OPQR=2，理由如下，过点Q作QGy轴于G，APQ是等腰直角三角形，APQ=90，AP=PQ，APO+QPG=90，APO+PAO=90，QPG=PAO，AOP=QGP=90，APOPQG，OA=PG=2，QRx轴，QR=OG，OPQR=OPOG=PG=OA=2.例7. 如图，在四边形ABCE中，AB=BC，ABBC，CEAE，BDAE. 猜想线段BD、CE、AD之间的数量关系，并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：BD-CE=AD，理由如下，过C作CFBD于F,ABBC，CFBD，ABC=90，CFB

9、=90，ABD+CBF=90，BCF+CBF=90，ABD=BCF，AB=BC，ABDBCF，AD=BF，CEAE，BDAE，E=90，BDE=90，四边形DECF是矩形，CE=DF，BDDF=BF，即BD-CE=AD.题型四：通过平行线构造等腰三角形例8. 如图，等边ABC中，D是AC上，延长BC至E,使CE=AD,连接DB,DE，DFBC于F。（1）如图1，若D是AC的中点，求证：DB=DE，BF=EF（2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF=EF是否仍然成立？请证明你的结论；（3）如图3，若点D是边AC的延长线上的任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论

10、.【答案】见解析.【解析】解：（1）证明：ABC是等边三角形，AB=BC，ACB=60，D是AC中点，AD=CD，BDAC，ABD=CBD=30，CE=AD，CE=CD，E=CDE=30，E=DBC，BD=DE，DFBE,BF=EF；（2）过D作DHBC交AB于H，ABC是等边三角形，DHBC，ADH=AHD=A=60，BHD=DCE=120，即ADH是等边三角形，AD=DH=AH，BH=DC，CE=AD，CE=DH，BDHDEC，BD=DE，DFBE，BF=EF.（3）过D作DHBC交AB延长线于H，ABC是等边三角形，DHBC，ADH=AHD=A=60，BHD=DCE=60，即ADH是等边

11、三角形，AD=DH=AH，AHAB=ADAC，即BH=CD，CE=AD，CE=DH，BDHDEC，BD=DE，DFBE，BF=EF.例9. 如图，在等边三角形ABC中，AB=10，动点P从点A出发向点C运动，Q从点B出发以相同的速度沿CB的延长线运动，连接PQ交AB于点E，作PDAB于D，试探究线段DE的长度是否发生变化，若不变化，求出该值，若变化，说明理由.【答案】见解析.【解析】解：DE的长度不变，DE=5，理由如下，过P作PHBC交AB于H，ABC是等边三角形，A=C=ABC=60，AB=AC=BC，PHBC，AHP=APH=60，HPE=BQE，AHP是等边三角形，AH=AP=PH，P、Q速度相同，AP=BQ，BQ=PH，PEH=QEB，BQEHPE，EH=BE，APH是等边三角形，PDAH，AD=DH，DE=DH+EH=AB=5.