人教版四年级数学下下册鸡兔同笼.docx

1、人教版四年级数学下下册鸡兔同笼第九单元 数学广角鸡兔同笼教学内容教材第103107的内容。教材分析“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在孙子算经中。其解法包括：列表法、假设法、方程法。由于本单元还没学习到方程法，因此，教材主要引导学生通过猜测、列表和假设等方法来逐步解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。其编排特点如下：1利用古题激发学习兴趣。2体现解决问题的策略和方法多样化。3拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。教学目标1了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2经历自主探究解决问题的过程，体验解决问题策略的多样化。了解列表法、假设法等解决问

2、题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。教学建议1. 了解“鸡兔同笼”问题的本质，渗透化繁为简的数学思想。2. 引导学生探索解决问题的策略和方法，丰富解题策略。单元课时安排约2课时。教案A第1课时教学内容鸡兔同笼问题：教材第103104页例1。教学目标1了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的思想，掌握用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。2经历猜测的过程，尝试用列表、假设的方法解决“鸡兔同笼”问题，引导学生有序思考，使学生体会解题策略的多样性。3在解决问题的过程中，培养学生的迁移思维能力，感受古代数学问题的趣味性。教学重点渗透化繁为简

3、的思想，体会用假设法的逻辑性和一般性。教学难点理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。教学过程一、导入新课师：同学们，大约一千五百多年前，我国古代数学名着孙子算经中记载了一道数学趣题“鸡兔同笼”问题。出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？师：这道题是以文言文的方式表述的，哪位同学看懂它的意思了？生：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?师：从题中获取信息，你知道了什么，要求什么问题？二、新课教学1尝试解决，交流想法。既然“鸡兔同笼”问题能流传至今，就应该有它独特的思考方式和解题方法。问题：同学们想一想，算一算鸡和兔各有多

4、少只？2感受化繁为简的必要性。师：大家在刚才猜了好几组数据，经过验证都不正确，为什么猜不对呢？数据大了不好猜，我们应该怎么办？我们把数字改小些，先从简单的问题入手。（课件出示例1）“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”师：从题中你们能获取哪些信息？和生活常识联系在一起，你还能说出哪些信息？预设：生1：鸡和兔共8只，鸡和兔共有26只脚。生2：鸡有2只脚，兔有4只脚。3猜想验证。师：有了这些信息，我们先来猜猜，笼子可能会有几只鸡？几只兔？猜测需要抓住哪个条件？生：鸡和兔一共有8只。师：每组都有一张表格，请大家来填一填，看看谁能又快又准确地找出答案来。学

5、生汇报。小结：这个方法挺好，能帮我们解决鸡兔同笼的问题，我们把这种方法叫做列表法。（板书：列表法）师：老师刚才发现，很多同学都完成得非常快，很了不起！那么，同学们，你们觉得用列表法解决“鸡兔同笼”问题怎么样呢？ 生1：列表法能很清晰地解决这个问题。生2：因为数字比较简单，所以列表法还可以用，但是数字变大时，列表法就会比较麻烦，会浪费很多时间。师：说得非常好，那我们就来尝试研究一下更简洁的方法吧。同学们再来观察自己刚才列的表格，看看这些数量之间是否存在着一些数学规律，请将你的想法跟同组的同学相互交流一下。学生小组交流汇报。生1：鸡的数量每减少1只，兔的数量就增加1只，脚的数量也跟着增加2只。生2

6、：兔的数量每减少1只，鸡的数量就增加1只，脚的数量反而减少2只。4数形结合理解假设法。教师：同学们的想法非常好，我们一起继续来看这张表格，通过分析表格来将同学们的想法表述得更加清晰。（1）假设全是鸡。教师：我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？学生：就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡。教师：那笼子里是不是全是鸡呢？这也就是把什么当什么来算了？学生：不是，我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。教师：这样算会有什么结果呢？学生：每少算一只兔就会少算2只脚。教师：假设全是鸡，一共是16只脚。实际有26只脚，这样笼子里就少了10只脚，这说明什么呢？学生：每只鸡比兔少2只脚，

7、少了10只脚说明笼子里有5只兔。教师：你们能列出算式吗？学生尝试列算式。师以画图法进行演示：8216（只）。（如果把兔全当成鸡，一共就有8216只脚。）261610（只）。（把兔看成鸡来算，4只脚的兔当成2只脚的鸡算，每只兔就少算了2只脚，10只脚是少算的兔的脚数。）422（只）。（假设全是鸡，就是把4只脚的兔当成2只脚的鸡。所以42表示一只兔当成一只鸡，就要少算2只脚。）1025（只）兔。（那把多少只兔当成鸡算，就会少10只脚呢？就看10里面有几个2，也就是把几只兔当成了鸡来算，所以1025就是兔的只数。）853（只）鸡。（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，853只鸡。）（2）假设全是

8、兔。师：我们再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思？生：就是有0只鸡和8只兔，也就是假设笼子里全是兔。师：笼子里是不是全是兔呢？这个时候是把什么当什么算的？ 生：把里面的鸡当成兔来计算的。师：那把一只2只脚的鸡当成一只4只脚的兔来算，会有什么结果呢？生：就会多算2只脚。师：请同学们像老师那样画一画，算一算。学生汇报：8432（只）。（如果把鸡全看成兔，一共就有8432只脚。）32266（只）。（把鸡当成兔来算，2只脚的鸡当成4只脚的兔算，每只鸡就多了2只脚，6只脚是多算了鸡的脚数。）422（只）。（假设全是兔，就是把2只脚的鸡当成4只脚的兔。所以42表示一只鸡当成一只兔，多算了2只脚

9、。）623（只）鸡。（那要把多少只鸡当成兔来算，就会多算6只脚呢？就看6里面有几个2，也就是把几只鸡当成了兔来算，所以623就是现在鸡的只数了。）835（只）兔。（用鸡兔的总只数减去鸡的只数就是兔的只数，835只兔。）（3）提出假设法概念。刚才我们通过假设都是鸡或都是兔来解决例1的，所以把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法，也是算术方法中较为普遍的一般方法。（板书：假设法）5小结：现在你能从新总结一下这些方法的优势和适用范围吗？数目比较小时，用列表法。数目比较大时，列表法计算量大，就有局限性，比较麻烦，最好用假设法比较好。用假设法时要特别注意：如果假设是鸡而先求出的就是

10、兔子，如果假设的是兔子那先求出的是鸡，两者相反。6课件出示：*?古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的？?（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26213只脚。?（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。?（3）这时脚的总数与头的总数之差1385，就是兔子的只数。三、知识运用学生独立完成古代趣题。方法展示：1列表法：答：鸡有23只，兔有12只。2假设法：假设笼子里全都是鸡。35270（只） 947024（只） 422（只）兔：24212（只）。鸡：351223（只）答：鸡有23只，兔有12只。假设笼子里全都是兔。354140（只） 140944

11、6（只） 422（只）鸡：46223（只）兔：352312（只）答：鸡有23只，兔有12只。四、课堂小结这节课我们一起用列表法和假设法研究了古代着名的“鸡兔同笼”问题。你学会了吗？ 第2课时教学内容龟鹤同游问题：教材第105页“做一做”第1题。教学目标1了解“龟鹤同游”问题，进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质，了解其在生活中的广泛应用。2通过“龟鹤同游”问题，巩固解决“鸡兔同笼”问题的方法，进而建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。教学重点渗透化繁为简的思想，体会用假设法的逻辑性和一般性。教学难点理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。教学过程一、导入新课1说一说，议一

12、议。（1）鸡兔共五只，腿有（ ）条。（2）笼子里有8只兔，有（ ）个头，有（ ）只脚。（3）笼子里有5只鸡和4只兔，有（ ）个头，有（ ）只脚。得出关系式：鸡的数量2+兔的数量4腿的数量。足数2头数兔数 头数兔数鸡数质疑：如果知道了腿的总数能知道鸡兔各几只吗？2师：不但我国古代的数学着作孙子算经中就记载了鸡兔同笼问题，日本人对鸡兔同笼问题也有研究，不过日本怕别的国家笑话他们学中国的东西，所以日本人就把“鸡兔同笼问题”改称为“龟鹤同游问题”。有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；

13、鹤就相当于鸡，都是两只脚。师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！二、新课教学师：那这道“龟鹤同游”问题会解决？学生试做后，交流算法。方法一：假设全是鹤。422（假设全是鹤，是把4条腿的龟有当成两条腿的鹤。所以42表示是一只龟当成一只鹤就要少算2条腿。）（112402）224（只）鹤（那把多少只龟当成鹤算就会少48条腿呢？就看48里面有几个2就是把几只龟当成了鹤来算，所以48224就是鹤的只数。）402416（只）龟（用鹤龟的总只数减去龟的只数就是鹤的只数，402416（只）龟。师：看来做对了，最后写上答语。方法二：假设全是龟。则有404160（条）腿，比实际多

14、16011248（条）腿，每有一只鹤比一只龟少422（条）腿，所以有鹤48224（只），有龟 402416（只），答：龟有16只，鹤有24只。小结：比较后得出：“龟鹤同游”和“鸡兔同笼”是同一类型的数学问题。古人法：龟：11224016（只） 鹤：401624（只）假设法：龟：（112402）216（只） 鹤：401624（只）三、应用反馈这个信封里放的是5分和2分的硬币，共8枚，34分，你能算出信封里5分和2分的硬币各有多少枚吗？师：这道题你能用刚才学过的方法来解决吗？1. 学生尝试。2. 汇报假设法。师：可以用古人的方法吗？为什么？学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况，发现古人算法不

15、好用了。教师引导思考揭示：古人算法只能用于2腿、4腿的“鸡兔问题”。回应前面提示的：古人的方法也是有局限的。师：这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2分硬币的就相当于鸡有2只脚，而5元的硬币就相当于兔，这里的兔是五只脚的，我们把他叫做“怪兔”！师：你能把这个题目改成“鸡兔同笼”的数学问题吗？（显示：鸡有2脚，怪兔有5脚。共8头，34脚。鸡有多少只？怪兔有多少只？）看来“鸡兔同笼”中的“鸡”和“兔”不一定是2只脚的鸡和4只脚的兔，也可以转换成好多脚的“怪鸡”和“怪兔”。那些可以变成 “怪鸡”和“怪兔”， 能联系实际举个例子吗？四、课堂小结经过一节课的研究，

16、“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？，你有什么想说的吗？教案B第1课时教学内容鸡兔同笼：教材第103104页例1的内容。教学目标1通过对日常生活中现象的观察和思考，发现一些特殊的规律。2从不同角度分析，掌握列表解题的策略与方法。3培养学生分析的能力，初步渗透假设的数学思想。教学重点从不同角度分析，掌握列表解题的策略与方法。教学难点从不同角度分析，掌握列表解题的策略与方法。教学过程一、导入新课?1出示谜语。（1）顶上红冠戴?，身披五彩衣。能测天亮时，呼得众人醒（猜一动物）。（2）红红眼睛白白毛，长长耳朵短尾巴。身披一件白皮袄，走起路来轻轻跳?。（猜一动物）?老师根据学生的回答，先后在课件上出示鸡和兔的

17、图片。?2用数学语言描述一下鸡和兔各有什么特征。（目的是为后面的教学做铺垫）?预设：鸡和兔各有一个头，鸡有两只脚，兔子有四只脚。?师：本节课我们就一起来研究鸡兔同笼问题。二、新课教学1你认为“鸡兔同笼”是什么意思？“鸡兔同笼”问题是什么样的问题？?2提出问题：?出示“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”?师：你知道这里的“雉”，“几何”是什么意思吗？?生：“雉”是“鸡”，“几何”是“几只”。?师：谁能将原文翻译一下吗？?生：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问鸡和兔各有几只？?师：你能解决这个问题？从哪个方面呢？?生：沉默

18、?师：这个问题中的数量比较大，我们换一下，先从简单的问题入手。?出示例1：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？?3尝试探究列举法。?师：你们先猜一猜，看谁猜得既快又对。?生：如果有3只兔，5只鸡，一共有22只脚。不对！生：如果有4只兔，4只鸡，一共有24只脚。也不对！?生：如果有6只兔，2只鸡，一共有28只脚。也不对！生：如果有7只兔，1只鸡，一共有30只脚。也不对！?师：真的不好猜，为了避免猜的重复或遗漏，我们能不能按顺序一个一个试哪？?生：画表格，并填表。教师辅导学生，看到哪些没有思路的，提示他可以按书上的格式去画表格，对那些基础比较差的学生，可

19、适当提示他，按照书上的表格填一填。鸡8765兔01脚1618通过列表你发现答案了吗？你是怎样想的？?谁有不同意见？小组同学交流。?展示：鸡876543210兔012345678脚161820222426283032鸡012345678兔876543210脚323028262422201816师：在以上两个表格中你发现什么规律？小组内交流讨论。生：?（1）?兔每增加1只，脚的总数增加2只；鸡每增加1只，脚的总数减少2只。?师：这种方法叫做列举法。你认为这种方法有什么优点？有什么局限性？生：很好理解，一目了然。局限性：如果数很大，很麻烦，效率低。?师：还有其他方法吗？3尝试探究假设法。?学生自主学

20、习小辉这样想；（1）如果笼子里都是鸡，那么就有8216只脚，这样就多出2616=10只脚。（2）一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有1025只兔。（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。师：你有什么疑惑？请举手。?生：老师，为什么1025，5就是兔的只数？?师：一只兔比一只鸡多2只脚，多出来的10只脚除以每只兔比每只鸡多出来的2只脚，就是需要的兔的数量。?师：结合课件上的图形，给学生点拨。（1）如果笼子里都是鸡，那么就有8216只脚，这样就多出261010只脚。?（2）一只兔比一只鸡多2只鸡，也就是有1025只兔。?（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。?两人一组，讲一讲。教师参与到他们的小组交流中。师：你

21、能从另外一个角度解释这个问题吗？?生：学生独立思考。?（1）如果笼子里都是兔，那么就有8432只脚，这样就少了32266只脚。?（2）一只鸡比一只兔少2只脚，也就是有623只鸡。?（3）所以笼子里有3只鸡，5只兔。?师：这就是假设法。你能总结一下假设法的方法吗？?师：引导学生总结假设法解题的一般步骤：?（1）先假设有一种与事实不符合的情况。（2）通过计算，找出事实与假设存在的差异。?（3）分析推理，找出造成这种差异的原因。?（4）根据差异和造成差异的原因列式，先求出一个未知量，再求出另一个未知量。?师：你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼“问题的吗？?4学习抬脚法。?生：开始自主学习古人解决“鸡兔同

22、笼”问题的方法。?抬脚法：（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26213只脚?。（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子了只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差1385，就是兔子的只数。师：你有什么疑惑？?师：给“鸡兔”抬脚后，附以形象的图示，并解释抬脚法。师：你能用抬脚法解释“鸡兔同笼”问题吗？生：?（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26213只脚。?（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子了只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1.?（3）这时脚的总数与头的总数之差1385，就是兔子的只数。?师：你发现古人怎样？我们应该

23、向古人学习什么？?生：古人很聪明，巧妙地解决问题。?生：古人善于观察生活中的自然现象，将生活中的问题数学化，并用数学问题解决生活问题。师：我们将来可以用数学知识解决现在世界关注的“能源问题，气温上升问题”。?三、解决问题?师：现在用你喜欢的方法解决上课时提出来的“鸡兔同笼“问题。?独立思考，并汇报。1（1）如果笼子里都是鸡，那么就有35270只脚，这样就多出947024只脚。?（2）一只兔比一只鸡多2只鸡，也就是有24212只兔。?（3）所以笼子里有23只鸡，12只兔。?2（1）如果笼子里都是兔，那么就有354140只脚，这样就少了1409446只脚。?（2）一只鸡比一只兔少2只脚，也就是有4

24、6223只鸡。（3）所以笼子里有23只鸡，12只兔。师：有不同意见的同学请举手。?生：用列举法没有找出答案。?3生：抬脚法。?（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有94247只脚。?（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子了只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差473512，就是兔子的只数。?（4）所以笼子里有23只鸡，12只兔。?四、总结升华你有什么收获？你有什么疑惑？生：我们学习了三种方法解决“鸡兔同笼“问题。列举法，假设法，抬脚法。师：假设法更具有普遍性。假设法解题的一般步骤：（1）先假设有一种与事实不符合的情况。?（2）通过计算，找出事

25、实与假设存在的差异。?（3）分析推理，找出造成这种差异的原因。?（4）根据差异和造成差异的原因列式，先求出一个未知量，再求出另一个未知量。?用假设法解题一般有这样的规律，如果题目既要求A又要求B，假设全是A，先求出的是B；假设全是B，先求出的就是A。?五、达标检测必做：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？?选做：小明共答10道题，答对一题加10分，答错一题扣6分，最后得分36。?他答错了几道题？?第2课时教学内容用“鸡兔同笼”解决实际问题：教材练习二十四。教学目标1. 加深了解“鸡兔同笼”问题本质，感受古代数学问题的趣味性。2. 在解决生活实际问题的过程中，能发现“鸡

26、兔同笼”问题，并体会代数方法的一般性。教学重点加深了解“鸡兔同笼”问题本质，感受古代数学问题的趣味性。教学难点理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。教学过程一、导入新课在“鸡兔同笼”问题中，你发现了什么规律？结论：鸡增加1只，同时兔减少1只，腿减少2条。鸡减少1只，同时兔增加1只，腿增加2条。腿增加和减少于兔保持一致。二、新课教学1. 小知识。“鸡兔同笼”是一类中国有名的算术题，最早出现在孙子算经中。此书约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。先传版本的孙子算经共三卷。卷下31题，可谓是后世“鸡兔同笼”的始祖。（1）金鸡独立。其实对这个问题，不但咱们中

27、国人有研究，外国人对它也有关注，美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。有一天鸡和兔在草地上玩，鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子也将两条前腿提起来。这时草地上的总脚数是不是只剩下原来的一半了？94247（只）这时草地上的脚数是不是还比鸡兔的总只数多一些呢？473512（只）为什么会多？不就是因为每只兔子有两只脚吗？这样总共多了几只脚就有几只兔子，而剩下的就是鸡了。351223（只）看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领“奇思妙想”!（2）龟鹤同游。日本人对鸡兔同笼问题也有研究，传到后日本，变成“龟鹤算

28、”：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？鸡兔同笼，也叫龟鹤问题。看问题要抓住本质的东西，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！ （3）有趣的“百僧百馍”。课件出示：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？这些有趣的故事，都是鸡兔同笼的原型再现。2. 利用规律，实题操作（1）课件出示：鸡兔同笼，有10个头，28条腿，鸡、兔各有多少只？生利用规律进行练习。（2）“鸡兔同笼”变异题。课件出示：新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树

29、。男女各有几人？引导学生将“鸡兔同笼”的模型转换。学生思考谁是鸡，谁是兔。小组交流，汇报展示。假设全是男，12336（棵），少了：36324（棵），每位女生少：321（棵）女生：414（人）男：1248（人）。（3）完成练习二十四的14题。引导学生将“鸡兔同笼”的模型转换。第1题，鸡兔同笼问题，学生思考谁是鸡，谁是兔。汇报展示：假设全是大钢珠。小钢珠有：(1130266)(117)16个；大钢珠有：301614个，答：大钢珠有14个，小钢珠有16个。师：从另外一个角度考虑怎么做？第2题，独立完成，小组交流，全班订正。第4题，学生思考谁是鸡，谁是兔。汇报展示：假设全是二等奖。一等奖：(1000010060)(300100)400020020(个）；二等奖：602040（个）。第3、5题，小组交流，合作完成，说一说想法。三、巩固练习1停车场里停了三轮车和小汽车共11辆，总共有40个轮子，问三轮车和小汽车各有几辆？这道题与鸡兔同笼问题有什么联系？生找出两者的异同点，进行练习。2完成练习二十四的6