习题参考解答.docx

1、习题参考解答数学建模习题解答第一章部分习题3(5).决定十字路口黄灯亮的时间长度 .4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗” 的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解 5.模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型， 作下面这个众所周知的智力游戏： 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少6.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：(1)分段的指数增长模型.将时间分为若干段，分别确定增长率 r.(2)阻滞增长模型.

2、换一种方法确定固有增长率 r和最大容量xm .拐点的时刻，并说明t0与r，xm的关系.8.假定人口的增长服从这样的规律：时刻 t的人口为x(t)，t到t+At时间内人口的增量与 Xm-X(t)成正比(其中为xm最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、 阻滞增长模型的结果进行比较 .9(3).甲乙两站之间有电车相通， 每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车， 但发车时刻不一定相同。甲乙之间一中间站丙， 某人每天在随机的时刻到达丙站， 并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙 站的时刻表是如何安排的。参考答案其中

3、自可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路 面及司机反应灵敏程度等因素的影响 .4.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为 f二禾口 g二，将椅子旋转180 其余作法与1.3 节相同.5.人、猫、鸡、米分别记为 i =1,2,3,4，当i在此岸时记 人=1，否则记 人=0，则此岸的 状态可用S = X!,X2,X3,X4表示。记S的反状态为S =?1 _X1 - X2,1 -X3,1 -X4，允许状态集合为 S 1,1,1,1 , 1,1,1,0 , 11,0,1 , 10,1,1 , 1,0,1,0 及他们的 5个反状态决策为乘船方案，记作 d = u1 ,u2,

4、 u3, u4，当i在船上时记5 =1，否则记5 = 0 ,允许决策集合为 D1,1,0,0, 1,0,1,0, 1,0,0,1 , 1,0,0,0 /记第k次渡河前此岸的状态为 sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为kSk 1 = Sk亠1 dk，设计安全过河方案归结为求决策序列 d1,d2, ,dnD,，使状态2 S按状态转移律由初始状态 $ = 1,1,1,1经n步达到Sn1=：O0,0,0。一个可行的方案如下：k12345678Sk(11,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1 )(0,1,0,0)(1,1,1,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)dk(

5、1,0,1,0)(1,0,0,0)(1,0,0,1 )(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)6(1).分段的指数增长模型根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：1790年至1880年平均年增长率 2.83% ；1890年至1960年平均年增长率 1.53% ；1970年至2000年平均年增长率 1.12% .三段模型为(1790年为t=0，1880年为t=1， ?)X1(t)=3.9e0.283t，t=0,1, ?,10X2(t)=X1(10) e0.153(t-10)，t=11,12, ?,18X3(t)= X2(18) e0112(t-18)，t=19,

6、20, ?,226(2).阻滞增长模型可以用实际增长率数据中前 5个的平均值作为固有增长率 r，取某些专家的估计 400百万为最大容量Xm，以1790年的实际人口为X0,模型为1.5节的(9)式。 以上两个模型的计算结果见下表：年17901800181018201830184018501860实际人口3.95.37.29.612.917.123.231.4模型(1)3.95.26.99.112.116.121.328.3模型（2）3.95.27.09.412.616.722.229.3（续表）年18701880189019001910192019301940实际人口38.650.262.976

7、.092.0106.5123.2131.7模型（1）37.549.866.177.089.7104.6121.9142.0模型（2）38.449.964.181.2101.3124.1149.0174.9（续表）年195019601970198019902000实际人口150.7179.3204.0226.5251.4281.4模型（1）165.5192.9224.7251.4281.2314.5模型（2）200.9225.8248.6268.7285.9300.17.X注意到t=to时x m ,立即可得2x(t)=XmXm rt1( 1)eXo且to1lnXm XoXoXm8.dX = r

8、X X , dtx 0 = x,其中r为比例系数。解上述初值问题得 ：Xt 二 Xm - Xm - X。e如下图中实线所示:xu当t充分大时，它与 Logistic模型相近。9(3).不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是:8:00, 8:10, 8:20, ?,那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：8:09, 8:19, 8:29, ?.第二章部分习题3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过 86kg）和轻量级组（桨手体重不超过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好 5%A7 b1dU / /VA9.用宽w布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角

9、:-应多大（如图）。若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端 的影响）。如果管道是其它形状呢16.雨滴的速度v与空气密度T、粘滞系数和 重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运比例系数为粘滞系数，用动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，t冲击波达量纲分析方法给出速度 v的表达式17.原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻到的半径r与释放的能量e ,大气密度 二，大气压强p有关（设t = 0时r = 0 ）用量纲分2 1 /5参考答案3.由模型假设3,划桨功率p与体重成正比，而桨手数 n =8不变，所以2.5节（2）式改为v二 /s1/3。 记重量

10、级组和轻量级组的体重、 艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为代入 5=86， ，2 =73可得 t1/t 0.96.9.将管道展开如图， 可得-=二dcos，若d 一定，一； 0,：/2&d, 0若 管道长度为I，不考虑两端的影响时布条长度显然为 二dl/，若考虑两端的影响， 则应加上 d / Sin，对于其他形状管道，只需将 -d改为相应的周长即可16.设 f v, r,jg=O, ZI-MLT 二 解得 F 二二 2 1= 0, 7 = vrg 2,J3/2c1/2.|d 1/2 一口 加 3/2 门 1/2 , M v 苗 口亠亠兀2 =r P 4 g于是v=、rge（r Pg /4 ）,

11、 是未定函数.17.设 fe,，p,r,t =0 解得 F 二 i,二 2 = 0, , =e，Tr5t 二 二 2 二ep6 于是第三章部分习题1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用， 重新确定最优定货周期和定货批 量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样， 而在允许缺货模型中最优定货周期和定货批量都比原来结果减小3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 b有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。4.在3.4节最优价格模型中，如果考虑到成本 q随着产量x的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型。7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处

12、，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论 是否跑都越快，淋雨量越少。将人体简化成一个长方体，高 a = 1.5m （颈部以下），宽b = 0.5m厚c = 0.2m，设跑步距离d hOOOm,跑步最大速度Vm =5m/s，雨速u =4m/s，降雨量w = 2cm/h，记跑步速度为v ,按以下步骤进行讨论；（1） 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步， 估计跑完全程的总淋雨量（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为 二，如图1建立总淋雨量与速度 v及参数a,b,c,d, u, w,r之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少， 计算-0门-300时的总淋

13、雨量。（3） ）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内， 且与人体的夹角为:，如图2建立总淋雨量与速度 v及参数a, b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算v -30时的总淋雨量。（4） 以总淋雨量为纵轴，速度 v为横轴，对（3）作图（考虑g的影响），并解释结果 的实际意义。（5） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。图1参考答案1.设购买单位重量货物的费用为 k,对于不允许缺货模型，每天平均费用为c1 c2 rTcT二厂kr，T，Q，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为T* , Q*均不考虑费用k时的结果减小.3.不妨设b二芦

14、，表示火势b越大，灭火速度越小，分母b 1中的1是防止b0时/.）:而加的，最优解为仏廿 +2c2b(b +1 沁 +1 ) (b +1 )P1 2CT +=4.不妨设q x二q。-kx,k，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为qo - ka a r 一 2 1 - kb 2b7.1)2)全身面积s = 2ab+2ac+bc =2.2m2，淋雨时间t =少7 = 200s，降雨量/ Vm =2cmh =118ms，所以总淋雨量 Q 二 st2.44升顶部淋雨量Q1 =bcdJcs% ；雨速水平分量usi，方向与v相反，合速度usi v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量 usi v ，迎面淋

15、雨量q2 =abg（usi+尤，所以总淋雨量竺业如疋担）。v =vm 时 Q 最小，J - 0,Q : 1.15 升。J - 300,Q 1.55 升。3）与2）不同的是，合速度为 usin -v，于是总淋雨量bd灼 cucosa +a(usina v ) bd u(ccosg 十 asina )av = ,v 兰 u sin au v u vQ = ，bd cucos：亠a v usi n* i bd u ccos： - a si n： Lav = ,v u sin a u v u v若ccos.：-asin二 0,即tan工八，则v二u时Q最小。否则v二vm时Q最小（见F图）当。=30,

16、tano a0%, v =2叹，Q 畑0.24升最小，可与 v = vm,Q 畑 0.93升相4） 雨从背面吹来，只要 a不太大，满足tana % （ a=1.5m,c = 0.2m时，a7.6即可），v=usina,Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨 5）再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化第四章部分习题2.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向 7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书， 这两个销售 代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？建立该问题的整数线性规划模

17、型 并求解3.某储蓄所每天的营业时间是上午 9:00到下午5:00，根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间段（时）9 10101111 1212 11 22 33 445服务员数量43465688储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬 100元，从上午9:00到下午5:00工作，但中午12:00到下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇 佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作 4小时，报酬40元，问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费 用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少

18、多少费用？6.某公司将4种不同含硫量的液体原料 （分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品 （分别记为A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产 A、B。已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是 3，1,2，1（ %），进货价格分别为 6，16，10，15 （千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过 2.5，1.5（ %），售价分别为9，15 （千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有 限制，原料丁的供应量最多为 50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何安排生产？参考答案2.将大学生数量为 34, 29，

19、42, 21，56, 18，71的区分别标号为 1，2，3，4，5, 6，7区, 划出区与区之间的如下相邻关系图：记ri为第i区的大学生人数，用0-1变量Xj =1表示i, j区的大学生由一个销售代理点供应图书i ： j且i, j相邻 ，否则=o ,建该问题的整数线性规划模型Max ri rj xiji ,j相邻s.t, Xj 乞 2i,j为亠二ji乞1 - ij jXij01即Max 63x12 67x13 71x23 50x24 85x25 63x34 77x45 39x46 92x47 74x56 89x67Xj = 0 或 1用LINDO求解得到：最优解为 X25 =X47 = 1 （

20、其他为0）最优值为177千人.3.设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以 12: 00为午餐时间的有 X1名，以1 : 002: 00 为午餐时间的有x2名；半时服务员中从 9: 00, 10 : 00, 11: 00, 12 : 00, 1 : 00开始工作 的分别为yi, y2, y3, y4, y5名，列出模型：Min100x1 100 x2 40y1 40 y2 40 y3 40 y4 40 y5Xi + X2 + yi 艺 4Xi + X2 + yi + y2 z 3Xi +X2 + yi + y2 + y3 =4X2 + yi + y2 + y3 + y4 色 6Xi + yi + y2 + y3 + y4 + y5 z 5s.t. 0t l 2 丿Xk 1 Xo = - yk - yo , 0得2xk