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习题参考解答
《数学建模》习题解答
第一章
部分习题
3（5）.决定十字路口黄灯亮的时间长度.
4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长
方形，其余不变，试构造模型并求解•
5.模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：
人带着猫、
鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要
吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少
6.利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型：
（1）分段的指数增长模型.将时间分为若干段，分别确定增长率r.
（2）
阻滞增长模型.换一种方法确定固有增长率r和最大容量xm.
拐点的时刻，并说明t0与r，xm的关系.
8.假定人口的增长服从这样的规律：
时刻t的人口为x（t），t到t+At时间内人口的增量与Xm-X（t）成正比（其中为xm最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.
9（3）.甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相
同。
甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，
结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
参考答案
其中自可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.
4.相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为f二禾口g二，将椅子旋转180［其余作法与1.3节相同.
5.人、猫、鸡、米分别记为i=1,2,3,4，当i在此岸时记人=1，否则记人=0，则此岸的状态可用S=X!
X2,X3,X4表示。
记S的反状态为S=?
1_X「1-X2,1-X3,1-X4，允许状
态集合为S—1,1,1,1,1,1,1,0,11,0,1,10,1,1,1,0,1,0［及他们的5个反状态
决策为乘船方案，记作d=u1,u2,u3,u4，当i在船上时记5=1，否则记5=0,允许决
策集合为D「1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0/
记第k次渡河前此岸的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为
k
Sk1=Sk亠〔1dk，设计安全过河方案归结为求决策序列d1,d2,—,dn・D,，使状态
2•S按状态转移律由初始状态$=1,1,1,1经n步达到Sn1=：
O0,0,0。
一个可行的方案
如下：
k
1
2
3
4
5
6
7
8
Sk
（11,1,1）
（0,1,0,1）
（1,1,0,1）
（0,1,0,0）
（1,1,1,0）
（0,0,1,0）
（1,0,1,0）
（0,0,0,0）
dk
（1,0,1,0）
（1,0,0,0）
（1,0,0,1）
（1,0,1,0）
（1,1,0,0）
（1,0,0,0）
（1,0,1,0）
6
（1）.分段的指数增长模型
根据1.5节表3中的增长率将时间分为三段：
1790年至1880年平均年增长率2.83%；
1890年至1960年平均年增长率1.53%；
1970年至2000年平均年增长率1.12%.
三段模型为（1790年为t=0，1880年为t=1，?
）
X1（t）=3.9e0.283t，t=0,1,?
10
X2（t）=X1（10）e0.153（t-10），t=11,12,?
18
X3（t）=X2（18）e0112（t-18），t=19,20,?
22
6
（2）.阻滞增长模型
可以用实际增长率数据中前5个的平均值作为固有增长率r，取某些专家的估计400
百万为最大容量Xm，以1790年的实际人口为X0,模型为1.5节的（9）式。
以上两个模型的计算结果见下表：
年
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
实际人口
3.9
5.3
7.2
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
模型
（1）
3.9
5.2
6.9
9.1
12.1
16.1
21.3
28.3
模型
（2）
3.9
5.2
7.0
9.4
12.6
16.7
22.2
29.3
（续表）
年
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
实际人口
38.6
50.2
62.9
76.0
92.0
106.5
123.2
131.7
模型
（1）
37.5
49.8
66.1
77.0
89.7
104.6
121.9
142.0
模型
（2）
38.4
49.9
64.1
81.2
101.3
124.1
149.0
174.9
（续表）
年
1950
1960
1970
1980
1990
2000
实际人口
150.7
179.3
204.0
226.5
251.4
281.4
模型
（1）
165.5
192.9
224.7
251.4
281.2
314.5
模型
（2）
200.9
225.8
248.6
268.7
285.9
300.1
7.
X
注意到t=to时xm,立即可得
2
x（t）=
Xm
Xmrt
1
（1）e
Xo
且to
1ln
XmXo
Xo
Xm
8.
dX=rX^X,dt
x0=x°,
其中r为比例系数。
解上述初值问题得：
Xt二Xm-Xm-X。
e"
如下图中实线所示:
x
u
当t充分大时，它与Logistic模型相近。
9（3）.
不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是:
8:
00,8:
10,8:
20,?
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是：
8:
09,8:
19,8:
29,?
.
第二章
部分习题
3.在2.5节中考虑8人艇分重量级组（桨手体重不超过86kg）和轻量级组（桨手体重不超
过73kg）建立模型说明重量级组的成绩比轻量级组大约好5%
A
7b
1
d
U//
V
A
9.用宽w布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角:
-应多大（如
图）。
若知道长度，需用多长的布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其它形状呢
16.雨滴的速度v与空气密度T、粘滞系数」和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：
运
比例系数为粘滞系数，用
动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，
t冲击波达
量纲分析方法给出速度v的表达式
17.原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播，据分析在时刻
到的半径r与释放的能量e,大气密度二，大气压强p有关（设t=0时r=0）用量纲分
21/5
参考答案
3.由模型假设3,划桨功率p与体重「成正比，而桨手数n=8不变，所以2.5节
（2）式
改为v二/s1/3。
记重量级组和轻量级组的体重、艇速、比赛成绩和艇的浸没面积分别为
代入5=86，，2=73可得t1/t^0.96.
9.将管道展开如图，可得-=二dcos〉，若d一定，•一；0,〉「：
/2&—「d,〉＞0若管道长度为I，不考虑两端的影响时布条长度显然为二dl/「，若考虑两端的影响，则应加上
■d■/Sin〉，对于其他形状管道，只需将-d改为相应的周长即可
16.设fv,r,jg]=O,ZI-ML」T二解得F二「二21=0,7=vr'"g"2,
J3/2c1/2.||d1/2一口■加3/2门1/2,Mv苗口亠亠
兀2=rP4g于是v=、「rge（rPg/4）,®是未定函数.
17.设fe,「，p,r,t=0解得F二i,二2=0,,=e，Tr5t二二2二e'^'p}6于是
第三章
部分习题
1.在3.1节存储模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优定货周期和定货批量。
证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优定货周期和定货
批量都比原来结果减小
3.在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度■与开始救火时的火势b有关，
试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
4.在3.4节'最优价格模型中，如果考虑到成本q随着产量x的增加而降低，试做出合理的
假设，重新求解模型。
7.要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m厚c=0.2m，设跑
步距离
dhOOOm,跑步最大速度Vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑
步速度为v,按以下步骤进行讨论；
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为二，如图
1建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,r之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算-0门-300时的总淋雨量。
（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为:
，
如图2建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量
最少，计算v-30°时的总淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑g的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
图1
参考答案
1.设购买单位重量货物的费用为k,对于不允许缺货模型，每天平均费用为
c1c2rT
cT二厂〒kr，T，Q，的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为
T*,Q*均不考虑费用k时的结果减小.
3.不妨设b二芦，表示火势b越大，灭火速度’越小，分母b1中的1是防止b>0
时/.）:
:
而加的，最优解为
仏廿+2c2b（b+1沁+1）（b+1）P
12CT+=
4.不妨设qx二q。
-kx,k，是产量增加一个单位时成本的降低，最优价格为
qo-kaa
"r
一21-kb2b
7.
1）
2）
全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，淋雨时间t=少7=200s，降雨量
/Vm
■=2cmh=1^18ms，所以总淋雨量Q二st—2.44升
顶部淋雨量Q1=bcd・Jc°s%；雨速水平分量usi，方向与v相反，合速度
usi•v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量'usi^v，迎面淋雨量
q2=abg（usi+尤，所以总淋雨量竺业如疋担）。
v=vm时Q最小，J-0,Q:
1.15升。
J-300,Q1.55升。
3）与2）不同的是，合速度为usin°-v，于是总淋雨量
"bd灼cucosa+a（usina—v）bd^u（ccosg十asina）—av
=,v兰usina
uvuv
Q=，
bd■cucos’：
亠av—usin*ibd■uccos：
-asin：
：
£Lav=,v>usinauvuv
若ccos.：
：
-asin二0,即tan工八，则v二u©「时Q最小。
否则v二vm时Q最小（见
F图）当。
=30°,tanoa0%^,v=2叹，Q畑0.24升最小，可与v=vm,Q畑0.93升相
4）雨从背面吹来，只要a不太大，满足tana>%（a=1.5m,c=0.2m时，a〉7.6°即
可），v=usina,Q最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨•
5）再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化
第四章
部分习题
2.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7
个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：
千
人）已经表示在图上，每个销售代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所供应的大学生的数量最大？
建立该问题的整数线性规划模型并求解
3.某储蓄所每天的营业时间是上午9:
00到下午5:
00，根据经验，每天不同时间段所需要的服
务员数量如下：
时间段（时）
9—10
10—11
11—12
12—1
1—2
2—3
3—4
4—5
服务员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员，全时服务员每天报酬100元，从上午9:
00到下午
5:
00工作，但中午12:
00到下午2:
00之间必须安排1小时的午餐时间，储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元，问该储蓄
所应该如何雇佣全时和半时两类服务员？
如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？
如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分
别记为A，B），按照生产工艺要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后
的液体再分别与原料丙混合生产A、B。
已知，原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1,
2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元/吨）；产品A、B的含硫量分别不能超过2.5，1.5（%），售价分别为9，15（千元/吨），根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应量有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求分别为100，200吨，问应如何
安排生产？
参考答案
2.将大学生数量为34,29，42,21，56,18，71的区分别标号为1，2，3，4，5,6，7区,划出区与区之间的如下相邻关系图：
记ri为第i区的大学生人数，用0-1变量Xj=1表示i,j区的大学生由一个销售代理点供
应图书i：
：
：
j且i,j相邻，否则=o,建该问题的整数线性规划模型
Max'rirjxij
i,j相邻
s.t,Xj乞2
i,j
'为亠二ji乞1-i
jj
Xij「01
即
Max63x1267x1371x2350x2485x2563x3477x4539x4692x4774x5689x67
Xj=0或1
用LINDO求解得到：
最优解为X25=X47=1（其他为0）最优值为177千人.
3.设储蓄所每天雇佣的全时服务员中以12:
00〜为午餐时间的有X1名，以1:
00〜2:
00为午餐时间的有x2名；半时服务员中从9:
00,10:
00,11:
00,12:
00,1:
00开始工作的分别为yi,y2,y3,y4,y5名，列出模型：
Min
100x1100x240y140y240y340y440y5
Xi+X2+yi艺4
Xi+X2+yi+y2z3
Xi+X2+yi+y2+y3=4
X2+yi+y2+y3+y4色6
Xi+yi+y2+y3+y4+y5z5
s.t.<
Xi+X2+y3+y4+y536
XiX2
y4y5-8
y5-8
XiX2
+yi+y2+y3+y4+y5兰3x2,yi,y2，y3,y4,y5_0且为整数
（1）求解得到最优解Xi=3,X2=4,yi=0,y2=0,y^=2,y^=0,y^=i,最小费用为820
丿元。
（2）如果不能雇佣半时服务员，则最优解为
Xi=5,X2=6,yi=0,y2=0,y3=0,y4=0,y5=0，最小费用为ii00远，即每天至少增加ii00-820=280元。
（3）如果雇佣半小时服务员的数量没有限制，则最优解为
Xi=0,x2=0,yi=4,y2=0,y3=0,y4=2,y5=8，最小费用为560元，既每天可以减少820-560=260元。
6.设yi,zi分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，y2,Z2分别是产品B中是来自混
合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丙所占的比例分别为Xi,X2,X4。
优化目标是总利
润最大，即
Max9「6为「16x2「15x4yii5「16x2「15x4y2i0zii5「i0z2
约束条件为：
i）原料最大供应量限制：
X4yiy2乞50
2）产品最大需求量限制：
yiz^i00,y2Z2岂200
3）产品最大含硫量限制：
对产品A,3XiX2X4yi2zi^2.5，即3xix2x4—2.5yi-0.5乙乞0yi+z
对产品B,3xix2x4-i.5y20.5z2_0
4）其他限制：
XiX2X4=i,Xi,X2,X4,yi,zi,y2,Z2—0
用LINGO求解得到结果为：
x2=x4=0.5,y2=z2=100,其余为0；目标函数值为
450.
第五章
部分习题
1.对于5.1节传染病的SIR模型，证明：
（1）若S。
•1/二，则it先增加，在s=1/二处最大，然后减少并趋于零；st单调减少
至s-
（2）若So1/-，则it单调减少并趋于零，st单调减少至S:
。
9.在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率1t和生育模式hr,t是两种控制人口
增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及
生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16.建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v,出手高度为h出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与v,h,f的关系式，并在v,h一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案
1.SIR模型（14）式可写作一二Ji二s-1,—=-si.由后一方程知一：
：
：
0,st单调减少。
dtdtdt
11di1di
1）若So，当s：
：
：
So时，0,it增加；当s时，0,it达到最大
dt匚dt
1di
值im；当s时，0,it减少且匚=018式
▽dt
1dij
2）若s0，0,it单调减少至零
crdt
9.一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率1t=1；晚婚晚育相当于生育模式hr中（5。
6节（13）式）使A和rc增大；生育第2胎一些规定可相当于1t略高于1，且hr曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16.在图中坐标下铅球运动方程为
222
Rg=2vcos*ihRtan二
*v
Rv22gh设h=1.5m，v=10m/s，则：
41.4°，R=11.4m.
g
第六章
部分习题
N
2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型；xt=rxln-,
x
其中r和N的意义与Logistic模型相同。
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h=Ex，讨论渔场鱼量的
平衡点及其稳定性，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0
3.在6.3节种群竞争模型中设二仁―=1=匚2，求平衡点并分析其稳定性
11.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物，爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存，在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点
12.大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移，岛上物种数量
的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少，在适当
假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。
参考答案
2.模型为：
N_E/r
x=Fx；=rxlnEx，如图所示，有2个平衡点：
x=0和x°二Ne。
x
可证x=0不稳定，X。
稳定（与E的大小无关）最大持续产量为
hm=rN/e，获得hm的
Em=r,x。
N/e
PlNi,0，P20,N2，
3.在条件二1^2F下，记二1即二2=1/二。
有3个平衡点:
P30,0。
P3不稳定；二＜1时，P2不稳定，Pi稳定；二，1时，反之
11.植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作X1t,X2t,X3t，若不考虑自然资源对植
物生长的限制，则模型为
捲=捲口_■1x2,x2=x2_「2：
：
；'二2捲_''x3,x3=x3-r^■■■■■■•3x2
式中常数可作类似6.5节的解释，平衡点为P10,0,0,P2r\,ri,0,F2点中x1和x2的
结果与6.5节相同。
12.记岛上物种数为xt，大陆上物种数为N。
设xt的增加率与尚未迁移的物种数N-x
成正比，同时xt的减少率与已迁移的物种数x成正比，则
xt=：
N-x.x
任gN
■■■■0,稳疋状态时x0.
a+p
第七章
部分习题
1
（1）.对于7.1节的蛛网模型讨论：
因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影
响到下一时段的价格，所以第k1可时段的价格yk1由第k・1和第k时段的数量xk1和
Xk决定。
如果仍设Xkd仍只取决于yk，给出稳定平衡的条件，并于7.1节的结果进行比较
6.在7.4节按年龄分组的种群增长模型中，证明当时间充分长以后若总和繁殖率R.1，则
种群增长，若R.:
:
1则种群减少。
参考答案
1
（1）.简单地假设yk1由Xk1和Xk的平均值决定，模型为
，ZXk++xk
Iyk卅一y。
=&_Xo>0
tl2丿
Xk1〜Xo=-yk-yo,■0
得2xk
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