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1、CSPNOIP复习资料数学知识第七章 信息奥赛中的数学知识一、 逻辑代数1、 “与” 运算（ “”， “” ，and）在逻辑问题中，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之“与”逻辑(并且)。“与”运算又称为逻辑乘，其运算符号为“”，有时也用“”表示。两变量“与”运算关系可表示为 ： F = AB 或者 F = AB“与”运算的运算法则为：00 = 0 10 = 001 = 0 11 = 1其中，1表示真，0表示假。结论：若A、B均为1，则F为1；否则，F为0推广：A0=0 A1=A、“或”运算（ “+”， “” ，or）在逻辑问题的描述中，如果决定某一事件

2、是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。“或”运算又称逻辑加，其运算符号为“+”，有时也用“”表示。两变量“或”运算的关系可表示为：F = A + B 或者 F = A B“或”运算的运算法则为：0 + 0 = 0 1 + 0 = 10 + 1 = 1 1 + 1 = 1结论：仅当A、B均为0时，F才为0 推广：A+0=A A+1=13.“非”运算 在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。“非”运算也叫求反运算或者逻辑否定。其运算符号为“-”，有时也用“”表示。

3、“非”运算的逻辑关系可表示为：“非”运算的运算法则为： 0 =1 1 =0逻辑运算和C+中的逻辑运算相似，只不过符号不同而已。逻辑代数的运算符和C+的运算符有如下对应关系： 或 not 对应 !（非运算） 或 + 或 or 对应 | （或运算） 或 或 and 对应 &（与运算）它们的运算顺序和C+中的规定是一致的，“非”优先级最高，“或”最低。例题：下列逻辑运算正确的是（ ）。A、A(A + B)=A B、A+(AB)= A C、A(B+C)= AB+ACD、A+(BC)=(A+B)(A+C) E、A+1=A 练习：1.设A=true，B=false，C=true，D=false，以下逻辑运

4、算表达式值为真的是（ ）。 A. (AB)(CDA) B. (AB)C)D C. (BCD)DA D. A(DC)B 2.设A=B=true，C=D=false，以下逻辑运算表达式值为假的有（ ）。 A. ( AB)(CDA) B. (AB)C)D) C. A(BCD)D D. (A(DC) B4. C+中的位运算位运算就是指对数据进行二进制位的运算。位运算的操作数，只能是整型或字符型数据，不能为实型数据。C+提供的位运算有：名称运算符名称运算符按位与&按位异或按位或左移（1）按位与运算（&）将2个参加运算的操作数先转换成二进制数（补码），然后逐位运算，对应位都为1时，则该位的结果为1，否则为

5、0 ,即： 0 & 0 = 0 0 & 1 = 0 1 & 0= 0 1 & 1= 1例： 3&5=1 3的补码： 0 0 0 0 0 0 1 1 5的补码： 0 0 0 0 0 1 0 1 3&5 0 0 0 0 0 0 0 1使用按位与运算可将一个数中的某些指定位清零如： a: 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 b: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 (377)8 a &b 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 结果得到 a 的低 8 位 （2）按位或运算（）运算规则：参加运算的两个运算量之对应位,只要有

6、一个为1，则该位的结果为1。即： 0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 1例： 00110000 (060)8 00001111 (017)8 00111111 (077)8一个数与017进行按位或运算，可将该数的低4位全置为1；与0377进行按位或运算，可将该数的低8位全置为1。（3）异或运算（）参加运算的两个运算量的对应位相同，则该位的结果为0。否则为1。即： 0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0异或运算可使指定的位翻转，如： 01111010 00001111 对应原数的低4位均置为1 01110101 原数的低4位被翻转（4）取反运算（）

7、对一个二进制数按位取反，即将0变为1，1变为0。例如： a 的补码： 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 a 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 按位取反运算主要用途是间接构造一个数，以增强程序的可移植性。例如，通过求0，可以间接地构造一个各位全1的二进制数。 （5）按位左移运算（）将一个操作数先转换成二进制数，然后将二进制数各位左移若干位，并在低位补若干个0，高位左移后溢出，舍弃不起作用。按位左移n位相当于将操作数乘以 2n。例如： 7） 按位右移运算将一个操作数先转换成二进制数，然后将二进制数各位右移若干位，移出的低位舍弃；并在高位补

8、位，补位分2种情况: 若为无符号数，右移时左边高位移入0。 若为有符号数，如果原来符号位为0(正数)，则左边补若干0 ；如果原来符号位为1 ，左边补若干0的称为“逻辑右移” ，左边补若干1的称为“算术右移”。例： a： 1001011111101101 (113755)8 逻辑右移 a1：0100101111110110 得(045766)8 算术右移 a1：1100101111110110 得(145766)8按位右移一位相当于除以2 ，右移 n 位相当于除以2n。练习：为了统计一个非负整数的二进制形式中 1 的个数，代码如下：int CountBit(int x) int ret = 0;

9、 while (x) ret+; _; return ret; 则空格内要填入的语句是（ ）。 A. x = 1 B. x &= x - 1 C. x |= x 1 D. x = 1 提示：一个无符号二进制数减1，相当于将该数从低位开始的第1个不是0的位及其以后的各位0变反。如：110101100-1=110101011。二、 排列组合1. 乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，第m个步骤有种方法。必须通过每一步骤，才算完成这件事，则完成这件事共有种不同的方法。例1：若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮。例2：从甲地到乙地有2条路

10、，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？232=12种走法2. 加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，第m种方式有种方法。无论通过哪一种方式的哪一种方法都能完成这件事，则完成这件事共有种不同的方法。例如，某人要从甲地到乙地去，可以乘火车，可以乘轮船，也可以坐飞机。火车有3个班次，轮船有2班，而飞机则只有一班。问乘坐不同班次的火车、轮船或是飞机，共有多少种不同方法可从甲地到达乙地？答案当然是3+2+1=6种方法。乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常

11、用排列组合公式的基础。练习：下图中从A到C共有多少中走法？3. 排列一般地，从n个不同的元素中任取出m个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样，如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列。从n个不同元素中取出m个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作。排列数公式： 从n个不同元素取 m个（1mn）的不同排列总数为：m = n时称全排列：例:如下图所示，n=4，m =3时，四个

12、元素分别为A、B、C、D，则第一个位置可以有4中选择，第一个位置一旦选定，第二个位置就只剩下3中选择了，前两个位置定了，第三个位置则只有2中选择了。由乘法原理，排列数为种例1：学校师生合影，共8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的合影方式？解：先排学生共有种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有 种选法.根据乘法原理，共有的不同坐法为种.结论1 插入法：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。例2：5个男生3个女生排成一排

13、，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 解：因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有种排法，其中女生内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。结论2 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。例3：袋中有不同年份生产的5分硬币23个，不同年份生产的1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法?分析：此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，

14、就会很容易解决问题。解：把所有的硬币全部取出来，将得到 0.0523+0.1010=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有种取法。结论3 剩余法：在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法.例4：学校安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序?分析 对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。解：不加任何

15、限制条件，整个排法有种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有 结论4 对等法：在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。在求解中只要求出全体，就可以得到所求。例5：某个班级共有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析：此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程。解：43人中任抽5人的方法有种，正副班长，团支

16、部书记都不在内的抽法有种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有种。结论5 排异法：有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除.4. 圆周排列从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：N个元素的圆周排列：5. 有重复元素的排列问题：如：n1个a，n2个b，n3个c，排成一排，有多少种排列方法。6. 组合一般地，从n个不同元素中取出m个（mn）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组

17、合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。从n个不同元素中取出m个元素（mn）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作 。组合数公式： 从n个不同元素取 m个（1 m0且d|a，那么|d|=0，则称d是a的约数。注意，d|ad|a当且仅当d|ad|a，即a的任何约数的负数同样可以整除a。因此，不失一般性，可规定约数为非负数。非零整数a的约数应至少为1，且不会大于|a|。例如，24的约数是1，2，3，4，6，8，12和24。任何正整数a均可被平凡约数 1和其自身a所整除。整数a的非平凡约数称为a的因子。例如，20的因子是2，4，5和10。2. 素数与合数如果一个数a

18、1且只能被平凡约数1和它自身所除，则这个数是素数。素数游戏的特殊的性质。它在数论中也扮演着十分重要的角色。前20个素数按序排列如下： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71如果一个整数a1且不是素数，则称之为合数。例如，39是一个合数，因为3|39。称整数1是基本单位，并且它既不是素数也不是合数。同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。3. 除法定理、余数和等模给定一个整数n，我们可以将整数集划分成n的倍数和非n倍数两部分。通过计算非n的倍数除以n的余数可以对非n倍数进行有效分类。而许多数论理论正是通过这种分类来改进

19、对n的北方和非n倍数的划分。下面的定理给出该改进的理论基础。这里，我们忽略了其证明。定理1（除法定理）：对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0=rn且a=qn+r。称q=a/n为除法的商，r=a mod n为除法的余数。n|a当且仅当a mod n=0。 根据整数模n的余数，我们可以将所有整数划分成n个等价类。包括整数a的模n等价类为：an=a+kn:kZ例如，37=，-11，-4，3，10，17，这个集合同时也可以表示为-47和107。abn和ab(mod n)是等价的。所有这类等价类的集合是 Zn=an:0=a=n1，即可以用每个等价类最小的非负元素来表示该等价类。例如，

20、上面的37。但是，也可以用等价类中的任意数表示该等价类，例如，在我们说-1是Zn的一个元素时，实际上指的是n1n，因为-1n-1(mod n)。4. 公约数与最大公约数如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。例如，30的约数包括1、2、3、5、6、10、15、30，24的约数包括1、2、3、4、6、8、12、24，因此24与30的公约数为1、2、3和6。需要注意的是，1是任意两个整数的公约数。公约数的一条重要的性质是：d|a且d|b蕴含着d|(a+b)且d|(ab)更一般的，对于任意整数x和y，有d|a且d|b蕴含着d|(ax+by)并且，如果a|b，那么|a|0，则gcd(an,bn)是集合anx+bny:x,yZZ中最小正元素的n倍。推论3：对于任意正整数n、a和b，如果n|ab且gcd(a,n)=1，则n|b。证明由同学自己完成。求最大公约数的欧几里德算法：原理：如果用一条线段表示最大公约数，由于两个数字都是最大公约数的倍数，因此可用多条线段来表示这两个数：我们发现，大的数除以小的数得到的余数，仍然