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CSPNOIP复习资料数学知识
第七章信息奥赛中的数学知识
一、逻辑代数
1、“与”运算（“·”，“∧”，and）
在逻辑问题中，如果决定某一事件发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，则这种因果关系称之“与”逻辑（并且）。
“与”运算又称为逻辑乘，其运算符号为“·”，有时也用“∧”表示。
两变量“与”运算关系可表示为：
F=A·B或者F=A∧B
“与”运算的运算法则为：
0·0=01·0=0
0·1=01·1=1
其中，1表示真，0表示假。
结论：
若A、B均为1，则F为1；否则，F为0
推广：
A·0=0A·1=A
２、“或”运算（“+”，“∨”，or）
在逻辑问题的描述中，如果决定某一事件是否发生的多个条件中，只要有一个或一个以上条件成立，事件便可发生，则这种因果关系称之为“或”逻辑。
“或”运算又称逻辑加，其运算符号为“+”，有时也用“∨”表示。
两变量“或”运算的关系可表示为：
F=A+B或者F=A∨B
“或”运算的运算法则为：
0+0=01+0=1
0+1=11+1=1
结论：
仅当A、B均为0时，F才为0
推广：
A+0=AA+1=1
3.“非”运算¬
在逻辑问题中，如果某一事件的发生取决于条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。
“非”运算也叫求反运算或者逻辑否定。
其运算符号为“-”，有时也用“¬”表示。
“非”运算的逻辑关系可表示为：
“非”运算的运算法则为：
¬0=1¬1=0
逻辑运算和C++中的逻辑运算相似，只不过符号不同而已。
逻辑代数的运算符和C++的运算符有如下对应关系：
┓或not对应!
（非运算）
∨或+或or对应||（或运算）
∧或·或and对应&&（与运算）
它们的运算顺序和C++中的规定是一致的，“非”优先级最高，“或”最低。
例题：
下列逻辑运算正确的是（）。
A、A·（A+B）=AB、A+（A·B）=AC、A·（B+C）=A·B+A·C
D、A+（B·C）=（A+B）·（A+C）E、A+1=A
练习：
1.设A=true，B=false，C=true，D=false，以下逻辑运算表达式值为真的是（）。
A.（A∧B）∨（C∧D∨A）B.（（A∧B）∨C）∧D
C.（B∨C∨D）∧D∧AD.A∧（D∨C）∧B
2.设A=B=true，C=D=false，以下逻辑运算表达式值为假的有（）。
A.（¬A∧B）∨（C∧D∨A）B.¬（（（A∧B）∨C）∧D）
C.A∧（B∨C∨D）∨DD.（A∧（D∨C））∧B
4.C++中的位运算
位运算就是指对数据进行二进制位的运算。
位运算的操作数，只能是整型或字符型数据，不能为实型数据。
C++提供的位运算有：
名称
运算符
名称
运算符
按位与
&
按位异或
^
按位或
¦
左移
<<
取反
~
右移
>>
（1）按位与运算（&）
将2个参加运算的操作数先转换成二进制数（补码），然后逐位运算，对应位都为1时，则该位的结果为1，否则为0,即：
0&0=00&1=01&0=01&1=1
例：
3&5=1
3的补码：
00000011
5的补码：
00000101
3&500000001
使用按位与运算可将一个数中的某些指定位清零如：
a:
0010110010101100
b:
0000000011111111（377）8
a&b0000000010101100
结果得到a的低8位
（2）按位或运算（¦）
运算规则：
参加运算的两个运算量之对应位,只要有一个为1，则该位的结果为1。
即：
0¦0=00¦1=11¦0=11¦1=1
例：
00110000（060）8
00001111（017）8
¦00111111（077）8
一个数与017进行按位或运算，可将该数的低4位全置为1；与0377进行按位或运算，可将该数的低8位全置为1。
（3）异或运算（^）
参加运算的两个运算量的对应位相同，则该位的结果为0。
否则为1。
即：
0^0=00^1=11^0=11^1=0
异或运算可使指定的位翻转，如：
01111010
^00001111对应原数的低4位均置为1
01110101原数的低4位被翻转
（4）取反运算（~）
对一个二进制数按位取反，即将0变为1，1变为0。
例如：
a的补码：
0000110010010011
~a1111001101101100
按位取反运算主要用途是间接构造一个数，以增强程序的可移植性。
例如，通过求~0，可以间接地构造一个各位全1的二进制数。
（5）按位左移运算（<<）
将一个操作数先转换成二进制数，然后将二进制数各位左移若干位，并在低位补若干个0，高位左移后溢出，舍弃不起作用。
按位左移n位相当于将操作数乘以2n。
例如：
7<<2按位左移表达式的值：
28
（6）按位右移运算（>>）
按位右移运算将一个操作数先转换成二进制数，然后将二进制数各位右移若干位，移出的低位舍弃；并在高位补位，补位分2种情况:
①若为无符号数，右移时左边高位移入0。
②若为有符号数，如果原来符号位为0（正数），则左边补若干0；如果原来符号位为1，左边补若干0的称为“逻辑右移”，左边补若干1的称为“算术右移”。
例：
a：
1001011111101101（113755）8
逻辑右移a>>1：
0100101111110110得（045766）8
算术右移a>>1：
1100101111110110得（145766）8
按位右移一位相当于除以2，右移n位相当于除以2n。
练习：
为了统计一个非负整数的二进制形式中1的个数，代码如下：
intCountBit（intx）
{
intret=0;
while（x）
{
ret++;
___________;
}
returnret;
}
则空格内要填入的语句是（）。
A.x>>=1B.x&=x-1C.x|=x>>1D.x<<=1
提示：
一个无符号二进制数减1，相当于将该数从低位开始的第1个不是0的位及其以后的各位0变反。
如：
110101100-1=110101011。
二、排列组合
1.乘法原理
设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有
种方法，第二个步骤有
种方法，…，第m个步骤有
种方法。
必须通过每一步骤，才算完成这件事，则完成这件事共有
种不同的方法。
例1：
若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？
可以有
种打扮。
例2：
从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：
从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
2×3×2=12种走法
2.加法原理
设完成一件事有m种方式，第一种方式有
种方法，第二种方式有
种方法，…，第m种方式有
种方法。
无论通过哪一种方式的哪一种方法都能完成这件事，则完成这件事共有
种不同的方法。
例如，某人要从甲地到乙地去，可以乘火车，可以乘轮船，也可以坐飞机。
火车有3个班次，轮船有2班，而飞机则只有一班。
问乘坐不同班次的火车、轮船或是飞机，共有多少种不同方法可从甲地到达乙地？
答案当然是3+2+1=6种方法。
乘法原理和加法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础。
练习：
下图中从A到C共有多少中走法？
3.排列
一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样，如果两个排列的元素不完全相同，或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列。
从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作
。
排列数公式：
从n个不同元素取m个（1m=n时称全排列：
例:
如下图所示，n=4，m=3时，四个元素分别为A、B、C、D，则第一个位置可以有4中选择，第一个位置一旦选定，第二个位置就只剩下3中选择了，前两个位置定了，第三个位置则只有2中选择了。
由乘法原理，排列数为
种
例1：
学校师生合影，共8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的合影方式？
解：
先排学生共有
种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插，选其中的4个空档，共有
种选法.根据乘法原理，共有的不同坐法为
种.
结论1插入法：
对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法。
即先排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例2：
5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法?
解：
因为女生要排在一起，所以可以将3个女生看成是一个人，与5个男生作全排列，有
种排法，其中女生内部也有
种排法，根据乘法原理，共有
种不同的排法。
结论2捆绑法：
要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列。
例3：
袋中有不同年份生产的5分硬币23个，不同年份生产的1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法?
分析：
此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题。
解：
把所有的硬币全部取出来，将得到
0.05×23+0.10×10=2.15元，
所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有
种取法。
结论3剩余法：
在组合问题中，有多少取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法.
例4：
学校安排考试科目9门，语文要在数学之前考，有多少种不同的安排顺序?
分析对于任何一个排列问题，就其中的两个元素来讲的话，他们的排列顺序只有两种情况，并且在整个排列中，他们出现的机会是均等的，因此要求其中的某一种情况，能够得到全体，那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性。
解：
不加任何限制条件，整个排法有
种，“语文安排在数学之前考”，与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文安排在数学之前考的排法共有
结论4对等法：
在有些题目中，它的限制条件的肯定与否定是对等的，各占全体的二分之一。
在求解中只要求出全体，就可以得到所求。
例5：
某个班级共有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析：
此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程。
解：
43人中任抽5人的方法有
种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有
种，所以正副班长，团支部书记至少有1人在内的抽法有
种。
结论5排异法：
有些问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出它的反面，再从整体中排除.
4.圆周排列
从n个不同的元素中取r个沿一圆周排列，排列的方案：
N个元素的圆周排列：
5.有重复元素的排列问题：
如：
n1个a，n2个b，n3个c，排成一排，有多少种排列方法。
6.组合
一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合。
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作
。
组合数公式：
从n个不同元素取m个（1m求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数
可以分两步求得：
第一步：
从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有
种方法；
第二步：
将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有
种排法.
由乘法原理得到：
因此，
7.重复元素的组合问题
从n种不同的元素中取r个元素的组合，允许有重复元素的组合：
典型模型：
r个相同的小球，放到n个不同的盒子里，所有的放置方法。
例1邮局发行10种新邮票，有一个集邮爱好者购买了15张邮票，他有多少种买法?
解：
买邮票的任何一种方式都可以看做是从10个元素中取出15个元素的组合，因此买法种数为
三、集合及其运算
集合是由确定的、互相区别的一些对象组成的总体。
集合的每个对象称为元素。
如初一（11）班同学组成一个集合，里面的每个同学称为元素。
集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的。
不含任何元素的集合叫做空集，记作
。
集合可分为有限集与无限集。
元素与集合间的关系运算：
属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“
”。
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含集合A，记作A
B（读作A包含于B），这时也说集合A是集合B的子集。
也可以记作B
A（读作B包含A）。
①子集有传递性，若A
B，B
C，则有A
C.
②空集
是任何集合的子集，即
A
③真子集：
若A
B，且至少有一个元素b∈B，而b
A，称A是B的真子集．记作A
B。
④若A
B且B
A，那么A=B
⑤含n（n∈N*）个元素的集合A的所有子集的个数是：
2的n次方个。
常用的集合表示法：
列举法：
数的集合｛1，3，5，7，9，11，13｝
描述法：
小于14大于0的奇数组成的集合、初三
（1）班的全体同学组成的集合。
集合的运算包括并（∪）、交（∩）、差（-）、补（~或ˉ）几种。
例如，设全集I={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A={2，4}，B={4，5，6，7}，C={0，8，9}，D={1，2，3}，则
A∪B=｛2，4，5，6，7}，A∪B∪C∪D={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}=I
A∩B=｛4｝，A-B=｛2｝，B-A=｛5，6，7｝，C-A={0，8，9}，~A={0，1，3，5，6，7，8，9}
1.集合问题的图示法
集合问题可由文氏图来描述，文氏图由矩形、圆形及内部的点组成，其中矩形及其内部的点表示全集的所有元素；矩形内的圆（或其它闭曲线）表示不同的集合；圆（或闭曲线）内部的点则表示相应集合的元素。
以下是文氏图描述的集合的四种运算。
1.容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
对有限集合S，用S表示S的元素个数容斥原理的第一形式：
设A，B是有限集合，则
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
容斥原理的第二形式：
设A、B、C是有限集合，则
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|c|-|A∩B|-|B∩C|-|A∩C|+|A∩B∩C|
例1：
某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：
A、22人B、28人C、30人D、36人
解：
设同时只喜欢电影和球赛的人数为x，由已知可知，只喜欢喜剧和球赛的有6人，只喜欢电影和戏剧的4人，如下图所示。
只喜欢电影的人数为52-（x+12+4）=36-x
只喜欢球赛的人数为58-（x+6+12）=40-x
只喜欢喜剧的人数为38-（4+12+6）=16
如下图所示，以上三个集合的总人数36-x+40-x+16再加上中间四部分的总人数4+12+6+x为100人，即
36-x+40-x+16+4+12+6+x=100，可解得x=14，因此只喜欢看电影的人数为36-14=22人。
选A。
例2：
有47本书，有27本是小说，32本是红皮的，6本既不是红皮的，也不是小说。
问有多少本红皮小说？
解：
设小说集为A，红色封面书集合为B，则|A∪B|=47-6=41，即这41本有可能是小说或是红色封面。
红色封面的非小说数量为|B-A|=|A∪B|-|A|=41-27=14本，所以后色封面的小说|A∩B|=32-14=18本。
例3：
外语学校有英语、法语、日语老师总共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英语、日语的有5人，能教法语、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有：
A、4人B、5人C、6人D、7人
练习：
1.设全集I={a，b，c，d，e，f，g，h}，集合B∪A={a，b，c，d，e，f}，C∩A={c，d，e}，A∩~B={a，d}，那么集合C∩B∩A为（）。
A.{c，e}B.{d，e}C.{e}D.{c，d，e}E.{d，f}
2.设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由7个元素组成的子集数为T，则T/S的值为（）。
A、5/32B、15/128C、1/8D、21/128
四、数论
1.整除与约数
一个整数可以被另一个整数整除是数论中的一个关键概念。
符号d|a（读作“d整除a”）的含义是，存在摸个数k，使得a=kd。
任何整数均可整除0。
如果a>0且d|a，那么|d|<=|a|。
如果d|a，则称a是d的倍数。
如果d|a且d>=0，则称d是a的约数。
注意，d|ad|a当且仅当−d|a−d|a，即a的任何约数的负数同样可以整除a。
因此，不失一般性，可规定约数为非负数。
非零整数a的约数应至少为1，且不会大于|a|。
例如，24的约数是1，2，3，4，6，8，12和24。
任何正整数a均可被平凡约数1和其自身a所整除。
整数a的非平凡约数称为a的因子。
例如，20的因子是2，4，5和10。
2.素数与合数
如果一个数a>1且只能被平凡约数1和它自身所除，则这个数是素数。
素数游戏的特殊的性质。
它在数论中也扮演着十分重要的角色。
前20个素数按序排列如下：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71
如果一个整数a>1且不是素数，则称之为合数。
例如，39是一个合数，因为3|39。
称整数1是基本单位，并且它既不是素数也不是合数。
同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。
3.除法定理、余数和等模
给定一个整数n，我们可以将整数集划分成n的倍数和非n倍数两部分。
通过计算非n的倍数除以n的余数可以对非n倍数进行有效分类。
而许多数论理论正是通过这种分类来改进对n的北方和非n倍数的划分。
下面的定理给出该改进的理论基础。
这里，我们忽略了其证明。
定理1（除法定理）：
对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0<=r称q=⌊a/n为除法的商，r=amodn为除法的余数。
n|a当且仅当amodn=0。
根据整数模n的余数，我们可以将所有整数划分成n个等价类。
包括整数a的模n等价类为：
[a]n=a+kn:
k∈Z
例如，[3]7={…，-11，-4，3，10，17，…}，这个集合同时也可以表示为[-4]7和[10]7。
a∈[b]n和a≡b（modn）是等价的。
所有这类等价类的集合是Zn=[a]n:
0<=a<=n−1，即可以用每个等价类最小的非负元素来表示该等价类。
例如，上面的[3]7。
但是，也可以用等价类中的任意数表示该等价类，例如，在我们说-1是Zn的一个元素时，实际上指的是[n−1]n，因为-1≡n-1（modn）。
4.公约数与最大公约数
如果d是a的约数并且d也是b的约数，则d是a与b的公约数。
例如，30的约数包括1、2、3、5、6、10、15、30，24的约数包括1、2、3、4、6、8、12、24，因此24与30的公约数为1、2、3和6。
需要注意的是，1是任意两个整数的公约数。
公约数的一条重要的性质是：
d|a且d|b蕴含着d|（a+b）且d|（a−b）
更一般的，对于任意整数x和y，有
d|a且d|b蕴含着d|（ax+by）
并且，如果a|b，那么|a|<=|b|，或者b=0，这更说明
a|b且b|a蕴含着a=±b
两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的称其为最大公约数，记作gcd（a，b）。
例如，gcd（24，30）=6，gcd（5，7）=1，gcd（0，9）=0。
如果a与b不同时为0，则gcd（a，b）是一个在1与min（|a|，|b|）之间的整数。
定义gcd（0，0）=0，该定义是使gcd函数的基本性质普遍成立所必不可少的。
下列是gcd函数的基本性质：
（1）gcd（a,b）=gcd（b,a）
（2）gcd（a,b）=gcd（−a,b）
（3）gcd（a,b）=gcd（|a|,|b|）
（4）gcd（a,0）=|a|
（5）gcd（a,ka）=|a|对任意k∈Z
下面的定理给出了gcd（a，b）的另外一个有用特征。
定理2：
如果任意整数a和b都不为0，则gcd（a，b）是a与b的线性组合集ax+by:
x,y∈Z中的最小正元素。
推论1：
对任意整数a与b，如果d|a且d|b，则d|gcd（a，b）。
证明：
根据定理2，gcd（a，b）是a与b的一个线性组合，所以推论成立。
推论2：
对所有整数a和b以及任意非负整数n，有gcd（an,bn）=n∗gcd（a,b）
证明：
如果n=0，该推论显然成立。
如果n>0，则gcd（an,bn）是集合{anx+bny:
x,y∈Z∈Z}中最小正元素的n倍。
推论3：
对于任意正整数n、a和b，如果n|ab且gcd（a,n）=1，则n|b。
证明由同学自己完成。
求最大公约数的欧几里德算法：
原理：
如果用一条线段表示最大公约数，由于两个数字都是最大公约数的倍数，因此可用多条线段来表示这两个数：
我们发现，大的数除以小的数得到的余数，仍然
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