拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲强化课直线与圆的问题.docx

1、拔高讲义第九章平面解析几何之第4讲强化课直线与圆的问题复习导读1.直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系以及距离公式的应用是高考的热点，一般不单独命题，常与圆、圆锥曲线等知识相结合进行考查.2.圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中出现的频率较高，常以选择、填空题形式考查，但近两年全国卷均以解答题的形式出现，望同学们复习时应给予足够的重视.考点一直线过定点问题【例1】 (1)已知直线mxym10(m是参数且mR)过定点，则定点坐标为_.(2)点P(2，1)到直线mxy30(mR)的最大距离是_.解析(1)法一(恒等式法)直线方程化为(x1)my10，因为mR，所以解得所以直线mxym10(m是

2、参数且mR)过定点(1，1).法二(特殊直线法)取m0，m1，得y1，xy20，联立解得将(1，1)代入mxym10检验满足方程，所以直线mxym10(m是参数且mR)过定点(1，1).(2)对于直线l：mxy30(mR)，令m0，则有y30，令m1，则有xy30，解方程组得则直线l经过定点Q(0，3)，如图所示，由图知，当PQl时，点P(2，1)到直线l的距离取得最大值|PQ|2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离是2.答案(1)(1，1)(2)2探究提高直线l的方程中除去x，y外还有其他字母(称为参数)，那么直线l过一个定点P，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，

3、则该方程组的解是定点P的坐标.【训练1】 已知0k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_.解析直线l1的方程可以化为k(x2)2y80，该直线系过定点M(2，4)，与y轴的交点坐标是B(0，4k)；直线l2的方程可以化为(2x4)k2(y4)0，该直线系过定点M(2，4)，与x轴的交点坐标是C(2k22，0).可以知道这个四边形是OBMC，如图所示，连接OM，则四边形OBMC的面积是OBM，OCM的面积之和，故四边形OBMC的面积是(4k)2(2k22)44k2k8.因为0k0，解得m.将直线l的方程与圆C的方

4、程联立，得消去y，得x2x6m0，整理，得5x210x4m270.(1)因为直线l与圆C不相交，所以方程无解，所以10245(4m27)8.所以m的取值范围是.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由OPOQ，得0，即x1x2y1y20.由及根与系数的关系，得x1x22，x1x2，又P，Q在直线x2y30上，所以y1y293(x1x2)x1x2.将代入上式，得y1y2，将代入，得0，解得m3.代入方程检验，得0成立，所以m3.探究提高(1)将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交，0相切，0相离.(2)本题较全面地考查了直线与圆的位置关系，难点是不能由O

5、POQ进行转化，应用不好根与系数的关系就得不出有关m的方程.考查角度二与圆有关的最值问题【例22】 (1)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A.7 B.6 C.5 D.4(2)已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A.3 B. C.2 D.2解析(1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r1，且|AB|2m.因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m

6、的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6，故选B.(2)把圆的方程化成标准形式得x2(y1)21，所以圆心为(0，1)，半径为r1，四边形的面积S2SPBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则SPBC的最小值为1.而SPBCr|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，为圆心到直线kxy40的距离d，此时d，即k24，因为k0，所以k2，选D.答案(1)B(2)D探究提高与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性

7、质将问题转化.如本例(1)中，将参数范围转化为两圆位置关系问题.熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本.【训练2】 (1)(2015南昌二模)若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，求ab的最大值.(2)已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.求证：OAB的面积为定值；设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程.(1)解圆C1：x2y22axa290(aR).化为：(xa)2y29，圆心坐标为(a，0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐

8、标为(0，b)，半径为1，圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.(2)证明圆C过原点O，|OC|2t2.设圆C的方程是(xt)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值.解|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，|OC|，此时C到直线y2x4的距离d.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆C的方程为(x2)2(y1)25.考

9、点三圆与圆锥曲线的综合问题【例3】 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设Q(x0，4)，代入y22px(p0)得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点

10、为D(2m21，2m)，|AB|y1y2|4(m21).又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23).故MN的中点为E，|MN|y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)2.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.探究提高圆与圆锥曲线综合问题的解题关键是圆的几何性质的运用，如直径所对的圆周角为直角等.【训练3】 (2014天津卷)设椭圆1(ab

11、0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|2.求椭圆的方程.解(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0).由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，则.所以，椭圆的离心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0).由F1(c，0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c).由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.因为点P在椭圆上，故1.由和可得3

12、x4cx00. 而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.由已知，有|TF2|2|MF2|2r2，又|MF2|2，故有8c2，解得c23.所以，所求椭圆的方程为1.(建议用时：60分钟)一、选择题1.若向量a(k2，1)与向量b(b，1)共线，则直线ykxb必经过定点()A.(1，2) B.(1，2)C.(1，2) D.(1，2)解析因为向量a(k2，1)与向量b(b，1)共线，则k2b，即b2k，于是直线方程化为ykxk2，即y2k(x1)，故直线必过定点(1，2)，选A.答案A2.过点P(，1)的直线l与圆

13、x2y21有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.解析由题意知过点P的直线斜率存在，设过点P的直线方程为yk(x)1，则由直线和圆有公共点知1.解得0k.故直线l的倾斜角的取值范围是.答案D3.过点M(1，2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()A.x1 B.y1C.xy10 D.x2y30解析当CMl，即弦长最短时，ACB最小，kCM2，klkCM1，kl，l的方程为：x2y30.答案D4.在圆x2y24上与直线l：4x3y120的距离最小的点的坐标是()A. B.C. D.解析过圆(0，0)与直线l垂直的直线方

14、程为3x4y0，由解得或结合图形可知所求点的坐标为.答案A5.已知两点A(1，0)，B(0，2)，点P是圆(x1)2y21上任意一点，则PAB面积的最大值与最小值分别是()A.2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)解析如图，圆心(1，0)到直线AB：2xy20的距离为d，故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是1，最小值是1，又|AB|，故PAB面积的最大值和最小值分别是2，2.答案B6.(2016阜阳一模)设曲线C的方程为(x2)2(y1)29，直线l的方程为x3y20，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由(x2)2(y1)29，

15、得圆心坐标为(2，1)，半径r3，圆心到直线l的距离d.要使曲线上的点到直线l的距离为，此时对应的点在直径上，故有两个点.答案B二、填空题7.在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.解析设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求.又kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得解得M(2，4).答案(

16、2，4)8.直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.解析由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即，则a21.同理可得b21，则a2b22.答案29.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4，0).由题意知(4，0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理，得3k24k0.解得0k.故k的最大值是.答案三、解答题10.已知实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求

17、xy的最大值和最小值.解设xyt，则直线yxt与圆(x3)2(y3)26有公共点.，62t62.故xy的最小值为62，最大值为62.11.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1，1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.(1)解lAB：x3y60且ADAB，点(1，1)在边AD所在的直线上，AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2).|AP|2，矩形ABCD的外接圆的方

18、程是(x2)2y28.(2)证明直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3，2)的直线系，即l恒过定点Q(3，2)，由(32)22258知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，则|MN|2(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为，则d|PQ|sin sin ，当90时，d最大，|MN|最短.此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即，故l的方程为y2(x3)，x2y70.12.(2014陕西卷)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程.解(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1，得|m|.(*)|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.|AB|.由，得1，解得m，满足(*).直线l的方程为yx或yx.