答案
考点二 直线与圆的综合问题
[考查角度一] 直线与圆的位置关系
【例2－1】已知圆C：
x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：
x＋2y－3＝0.
（1）若直线l与圆C不相交，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值.
解 将圆的方程配方，得＋（y－3）2＝，有>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程联立，
得
消去y，得x2＋＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0.①
（1）因为直线l与圆C不相交，所以方程①无解，
所以Δ＝102－4×5×（4m－27）<0，解得m>8.
所以m的取值范围是.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由OP⊥OQ，得·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0.②
由①及根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，③
x1x2＝，④
又P，Q在直线x＋2y－3＝0上，
所以y1y2＝·＝[9－3（x1＋x2）＋x1x2].
将③④代入上式，得y1y2＝，⑤
将④⑤代入②，得＋＝0，解得m＝3.
代入方程①检验，得Δ>0成立，所以m＝3.
探究提高
（1）将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：
Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ＜0⇔相离.
（2）本题较全面地考查了直线与圆的位置关系，难点是不能由OP⊥OQ进行转化，应用不好根与系数的关系就得不出有关m的方程.
[考查角度二] 与圆有关的最值问题
【例2－2】
（1）已知圆C：
（x－3）2＋（y－4）2＝1和两点A（－m，0），B（m，0）（m＞0）.若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A.7B.6C.5D.4
（2）已知P（x，y）是直线kx＋y＋4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：
x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A.3B.C.2D.2
解析
（1）根据题意，画出示意图，如图所示，
则圆心C的坐标为（3，4），半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，
易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，
即求圆C上的点P到原点O的最大距离.
因为|OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，
即m的最大值为6，故选B.
（2）
把圆的方程化成标准形式得x2＋（y－1）2＝1，所以圆心为（0，1），半径为r＝1，四边形的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝＝＝，即k2＝4，因为k＞0，所以k＝2，选D.
答案
（1）B
（2）D
探究提高 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.如本例
（1）中，将参数范围转化为两圆位置关系问题.熟练掌握圆的几何性质是解决问题的根本.
【训练2】
（1）（2015·南昌二模）若圆C1：
x2＋y2－2ax＋a2－9＝0（a∈R）与圆C2：
x2＋y2＋2by＋b2－1＝0（b∈R）内切，求ab的最大值.
（2）已知以点C（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.
①求证：
△OAB的面积为定值；
②设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程.
（1）解 圆C1：
x2＋y2－2ax＋a2－9＝0（a∈R）.
化为：
（x－a）2＋y2＝9，圆心坐标为（a，0），半径为3.
圆C2：
x2＋y2＋2by＋b2－1＝0（b∈R），化为x2＋（y＋b）2＝1，圆心坐标为（0，－b），半径为1，∵圆C1：
x2＋y2－2ax＋a2－9＝0（a∈R）与圆C2：
x2＋y2＋2by＋b2－1＝0（b∈R）内切，
∴＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤（a2＋b2）＝2.∴ab的最大值为2.
（2）①证明 ∵圆C过原点O，∴|OC|2＝t2＋.
设圆C的方程是（x－t）2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×|2t|×＝4，
即△OAB的面积为定值.
②解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝.∴＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为（2，1），|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，
圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点.
当t＝－2时，圆心C的坐标为（－2，－1），|OC|＝，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>.
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去.
∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5.
考点三 圆与圆锥曲线的综合问题
【例3】已知抛物线C：
y2＝2px（p>0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
（1）求C的方程；
（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
解
（1）设Q（x0，4），代入y2＝2px（p＞0）得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2（舍去）或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x.
（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1（m≠0）.
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D（2m2＋1，2m），
|AB|＝|y1－y2|＝4（m2＋1）.
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4（2m2＋3）＝0.
设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3＋y4＝－，y3y4＝－4（2m2＋3）.
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4（m2＋1）2＋＋＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
探究提高 圆与圆锥曲线综合问题的解题关键是圆的几何性质的运用，如直径所对的圆周角为直角等.
【训练3】（2014·天津卷）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程.
解
（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）.由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，则＝.所以，椭圆的离心率e＝.
（2）由
（1）知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.
设P（x0，y0）.由F1（－c，0），B（0，c），有＝（x0＋c，y0），＝（c，c）.
由已知，有·＝0，即（x0＋c）c＋y0c＝0.
又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①
因为点P在椭圆上，故＋＝1.②
由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为.
设圆的圆心为T（x1，y1），则x1＝＝－c，y1＝＝c，
进而圆的半径r＝＝c.
由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，
又|MF2|＝2，故有＋＝8＋c2，解得c2＝3.
所以，所求椭圆的方程为＋＝1.
（建议用时：
60分钟）
一、选择题
1.若向量a＝（k＋2，1）与向量b＝（－b，1）共线，则直线y＝kx＋b必经过定点（ ）
A.（1，－2）B.（1，2）
C.（－1，2）D.（－1，－2）
解析 因为向量a＝（k＋2，1）与向量b＝（－b，1）共线，则k＋2＝－b，即b＝－2－k，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k（x－1），故直线必过定点（1，－2），选A.
答案 A
2.过点P（－，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
解析 由题意知过点P的直线斜率存在，设过点P的直线方程为y＝k（x＋）－1，则由直线和圆有公共点知≤1.解得0≤k≤.故直线l的倾斜角的取值范围是.
答案 D
3.过点M（1，2）的直线l与圆C：
（x－2）2＋y2＝9交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为（ ）
A.x＝1B.y＝1
C.x－y＋1＝0D.x－2y＋3＝0
解析 当CM⊥l，即弦长最短时，∠ACB最小，kCM＝－2，
∴kl·kCM＝－1，∴kl＝，∴l的方程为：
x－2y＋3＝0.
答案 D
4.在圆x2＋y2＝4上与直线l：
4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是（ ）
A.B.
C.D.
解析 过圆（0，0）与直线l垂直的直线方程为3x－4y＝0，由解得或结合图形可知所求点的坐标为.
答案 A
5.已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－1）2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（ ）
A.2，（4－）B.（4＋），（4－）
C.，4－D.（＋2），（－2）
解析
如图，圆心（1，0）到直线AB：
2x－y＋2＝0的距离为d＝，
故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是＋1，
最小值是－1，又|AB|＝，
故△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.
答案 B
6.（2016·阜阳一模）设曲线C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝9，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
解析 由（x－2）2＋（y＋1）2＝9，
得圆心坐标为（2，－1），半径r＝3，
圆心到直线l的距离d＝＝＝.
要使曲线上的点到直线l的距离为，
此时对应的点在直径上，故有两个点.
答案 B
二、填空题
7.在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，－1）的距离之和最小的点的坐标是________.
解析 设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求.又kAC＝＝2，
∴直线AC的方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0.①
又kBD＝＝－1，
∴直线BD的方程为y－5＝－（x－1），即x＋y－6＝0.②
由①②得解得∴M（2，4）.
答案 （2，4）
8.直线l1：
y＝x＋a和l2：
y＝x＋b将单位圆C：
x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝______.
解析 由题意知，直线l1截圆所得的劣弧长为，则圆心到直线l1的距离为，即＝，则a2＝1.同理可得b2＝1，则a2＋b2＝2.
答案 2
9.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________.
解析 圆C的标准方程为（x－4）2＋y2＝1，圆心为（4，0）.
由题意知（4，0）到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.
故k的最大值是.
答案
三、解答题
10.已知实数x，y满足方程（x－3）2＋（y－3）2＝6，求x＋y的最大值和最小值.
解 设x＋y＝t，则直线y＝－x＋t与圆（x－3）2＋（y－3）2＝6有公共点.
∴≤，∴6－2≤t≤6＋2.
故x＋y的最小值为6－2，最大值为6＋2.
11.已知矩形ABCD的对角线交于点P（2，0），边AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，点（－1，1）在边AD所在的直线上.
（1）求矩形ABCD的外接圆的方程；
（2）已知直线l：
（1－2k）x＋（1＋k）y－5＋4k＝0（k∈R），求证：
直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.
（1）解 ∵lAB：
x－3y－6＝0且AD⊥AB，
点（－1，1）在边AD所在的直线上，
∴AD所在直线的方程是y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
由得A（0，－2）.∴|AP|＝＝2，
∴矩形ABCD的外接圆的方程是（x－2）2＋y2＝8.
（2）证明 直线l的方程可化为k（－2x＋y＋4）＋x＋y－5＝0，
l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点（3，2）的直线系，即l恒过定点Q（3，2），由（3－2）2＋22＝5<8知点Q在圆P内，
所以l与圆P恒相交.
设l与圆P的交点为M，N，则|MN|＝2（d为P到l的距离），
设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sinθ＝sinθ，
当θ＝90°时，d最大，|MN|最短.
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，
故l的方程为y－2＝－（x－3），x＋2y－7＝0.
12.（2014·陕西卷）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：
y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程.
解
（1）由题设知解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1.
（2）由
（1）知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，得|m|＜.（*）
∴|CD|＝2＝2＝.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴|AB|＝
＝.
由＝，得＝1，
解得m＝±，满足（*）.
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.
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