第十四单元椭圆双曲线抛物线.docx

1、第十四单元 椭圆双曲线抛物线第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线教材复习课“椭圆、双曲线、抛物线”相关基础知识一课过椭圆过双基1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a|F1F2|时，P点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围byayax，bx，对称性对称轴：坐标轴，对称中

2、心：(0,0)顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为，短轴B1B2的长为焦距|F1F2|离心率e，e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A. B.C. D.解析：选B根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.2在平面直角坐标系xOy中，ABC上的点A，C的坐标分别为(4,0)，(4,0)，若点B在椭圆1上，则()A. B.C. D.解析：选D由椭圆1，得椭圆的半焦距为4，则A(4,0)和C(4,0)为椭圆1的两个焦点点B在椭圆1上， 作出

3、示意图如图所示，.3已知椭圆1(m0)的焦距为8，则m的值为()A3或 B3C. D3或解析：选A当m5时，焦点在x轴上，焦距2c8，则c4，由25m216，得m3；当m5时，焦点在y轴上，焦距2c8，则c4，由m22516，得m， 故m的值为3或. 4若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m_.解析：因为焦点在x轴上，所以0m2，所以a22，b2m，c2a2b22m.因为椭圆的离心率为e，所以e2，解得m.答案：清易错1求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为1(ab0)2注意椭圆的范围，在设椭圆1(ab0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|a，|y|b，这往往在求与点P有关的最

4、值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因1已知椭圆1的离心率为，则k的值为()A21 B21C或21 D.或21解析：选D当94k0，即5k0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)3双曲线的性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)a，b，c的关

5、系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1(2017天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B由离心率e知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为yx，故由P(0,4)，知左焦点F的坐标为(4,0)，所以c4，则a2b28，故双曲线的方程为1.2已知双曲线过点(2,3)，其中一条渐近线方程为yx，则双曲线的标准方程是()A.1 B.1Cx2

6、1 D.1解析：选C由双曲线的一条渐近线方程为yx，可设其方程为x2(0)又双曲线过点(2,3), 则22， 解得1，所以双曲线的方程为x21，即x21.3(2018张掖一诊)如图，F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A. B4C. D.解析：选A依题意得|AB|AF2|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|2a，|BF2|4a，|F1F2|2c，因为ABF2为等边三角形，所以F1BF2120，由余弦定理，可得4a216a222a4a4c2，整理得，故选A.4已知F为双曲线C：1

7、的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由题意得，|FP|PA|6，|FQ|QA|6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|FQ|28，所以PQF的周长为|FP|FQ|PQ|44.答案：44清易错1注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.2易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系当焦点在x轴上，渐近线斜率为，当焦点在y轴上，渐近线斜率为.1双曲线1(0m3)的焦距为()A6 B12C36 D2解析：选Bc236m2m236，c6，双曲线的焦距为12.2已知直线l

8、：4x3y200经过双曲线C：1的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为()A3 B4C6 D8解析：选C双曲线C：1的焦点在x轴上，直线l：4x3y200与x轴的交点为(5,0)a2b2c225.直线l：4x3y200与双曲线C：1的一条渐近线平行，. 由解得a3，双曲线C的实轴长为2a6.抛物线过双基1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l

9、的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线1的右焦点，则此抛物线的方程为()Ay22x By24xCy210x Dy220x解析：选D双曲线1的右焦点为(5,0) ，由题意，设抛物线方程为y22px(p0) ，抛物线的焦点为双曲线1的右焦点，5，p10，抛物线方程为y220x.2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B.C. D0解析：选B点M到准线的

10、距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，故y.3若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A2 B.C. D. 解析：选D设点P到准线的距离为d，则有|PF|d，又抛物线的方程为y2x2，即x2y, 则其准线方程为y， 所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为.4已知抛物线y26x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为_解析：可知抛物线y26x的焦点F，设P(x，y)，x0.由抛物线的定义，得点P到焦点的距离d1xx，点P到y轴的距离d2x.由x2x，解得x，该点的横坐标为.答案：清易错1抛物线的定

11、义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义1动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案：y24x2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.答案：直线与圆锥曲线的位置关系过双基1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线

12、l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；b0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析：选A由椭圆的性质知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1，b2a2c22，椭圆的方程为1.7已知双曲线1的右焦

13、点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.8已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. B.C1 D.解析：选B如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.设|F1F2|2c，又F1P

14、F2，在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得：(2)a(2)a4c2，即4.又，4，即e1e2， 椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 二、填空题9(2017北京高考)若双曲线x21的离心率为，则实数m_.解析：由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：210(2017全国卷)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.解析：双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.答案：511与椭圆1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为_解析：由

15、椭圆1，得a29，b24，c2a2b25，该椭圆的焦点坐标为. 设所求椭圆方程为1，ab0，则c，又，得a5，b225520.所求椭圆方程为1. 答案：112(2018西安中学模拟)如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则_.解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以1.答案：1三、解答题13已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，且函数yx2的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为

16、线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程解：(1)由题意可得，2b2，所以b1.联立y21(a1)与yx2，消去y，整理得x4x20，根据椭圆C与抛物线yx2的对称性，可得240，a1，解得a2. 椭圆C的标准方程为y21. (2)当直线l的斜率不存在时，SPMN2ba2；当直线l的斜率为0时，SPMN2ab2；当直线l的斜率存在且不为0时设直线l的方程为ykx，由解得x2，y2. |MN|24 .由题意可得，线段MN的中垂线方程为yx，联立可得x2，y2.|OP|2 .SPMN|MN|OP|，当且仅当k1时取等号，此时PMN的面积的最小值为. 2，PM

17、N的面积的最小值为，直线l的方程为yx.14.已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所

18、以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切高考研究课(一)椭圆命题3角度求方程、研性质、用关系 全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度椭圆的标准方程5年2考求椭圆的标准方程椭圆的几何性质5年3考求离心率，求参数直线与椭圆的位置关系5年6考弦长问题、面积最值、斜率范围椭圆的定义及标准方程典例(1)若椭圆C：1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|4，则F1PF2()A. B.C. D.(2)(2018大庆模拟)如图，已知椭圆C：1(ab0)，其中左焦点为F(2，0)，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析(1)由题意得a3，c，则|PF2|2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF1.又F2PF1(0，)，F2PF1.(2)设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示由F(2，0)，得c2.由|OP|OF|OF1|，知PF1PF.在RtPF1F中，由勾股定理，得|PF1| 8.由椭圆定义，得|PF1|PF|2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.答案(1)C(2)B方法技巧(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置