a＝3，c2＝9－（4－k）＝5＋k，
∴＝，解得k＝；
当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，
∴＝，解得k＝－21，
∴k的值为或－21.
2．已知椭圆C：
＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则·的最大值为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选B 由椭圆方程知c＝＝1，
所以F1（－1,0），F2（1,0）．
因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A（1，y0），代入椭圆方程可得y＝，所以y0＝±.
设P（x1，y1），则＝（x1＋1，y1），＝（0，y0），
所以·＝y1y0.
因为点P是椭圆C上的动点，所以－≤y1≤，
故·的最大值为.
双曲线
[过双基]
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
（1）当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
（3）当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．标准方程
（1）中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0）；
（2）中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0）．
3．双曲线的性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：
坐标轴，对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞）
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝；
a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
1．（2017·天津高考）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点为F，离心率为.若经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析：
选B 由离心率e＝知，双曲线为等轴双曲线，
则其渐近线方程为y＝±x，
故由P（0,4），知左焦点F的坐标为（－4,0），
所以c＝4，则a2＝b2＝＝8，
故双曲线的方程为－＝1.
2．已知双曲线过点（2,3），其中一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的标准方程是（ ）
A.－＝1B.－＝1
C．x2－＝1D.－＝1
解析：
选C 由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
可设其方程为－x2＝λ（λ≠0）．
又双曲线过点（2,3）,则－22＝λ，解得λ＝－1，
所以双曲线的方程为－x2＝－1，即x2－＝1.
3．（2018·张掖一诊）如图，F1，F2分别是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A.B．4
C.D.
解析：
选A 依题意得|AB|＝|AF2|＝|BF2|，结合双曲线的定义可得|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，|F1F2|＝2c，因为△ABF2为等边三角形，所以∠F1BF2＝120°，由余弦定理，可得4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝4c2，整理得＝，故选A.
4．已知F为双曲线C：
－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：
由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
答案：
44
[清易错]
1．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1．双曲线－＝1（0＜m＜3）的焦距为（ ）
A．6B．12
C．36D．2
解析：
选B ∵c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6，
∴双曲线的焦距为12.
2．已知直线l：
4x＋3y－20＝0经过双曲线C：
－＝1的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的实轴长为（ ）
A．3B．4
C．6D．8
解析：
选C ∵双曲线C：
－＝1的焦点在x轴上，直线l：
4x＋3y－20＝0与x轴的交点为（5,0）．
∴a2＋b2＝c2＝25.①
∵直线l：
4x＋3y－20＝0与双曲线C：
－＝1的一条渐近线平行，∴＝.②
由①②解得a＝3，
∴双曲线C的实轴长为2a＝6.
抛物线
[过双基]
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px（p＞0）
y2＝－2px（p＞0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
p的几何意义：
焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O（0,0）
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中P（x0，y0））
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
1．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线－＝1的右焦点，则此抛物线的方程为（ ）
A．y2＝2xB．y2＝4x
C．y2＝10xD．y2＝20x
解析：
选D 双曲线－＝1的右焦点为（5,0），
由题意，设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
∵抛物线的焦点为双曲线－＝1的右焦点，
∴＝5，p＝10，
∴抛物线方程为y2＝20x.
2．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A.B.
C.D．0
解析：
选B 点M到准线的距离等于点M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M（x，y），则y＋＝1，
故y＝.
3．若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（ ）
A．2B.
C.D.
解析：
选D 设点P到准线的距离为d，则有|PF|＝d，
又抛物线的方程为y＝2x2，即x2＝y,
则其准线方程为y＝－，
所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，
即|PF|的最小值为.
4．已知抛物线y2＝6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为__________．
解析：
可知抛物线y2＝6x的焦点F，设P（x，y），x＞0.
由抛物线的定义，得点P到焦点的距离d1＝x＋＝x＋，
点P到y轴的距离d2＝x.
由x＋＝2x，解得x＝，∴该点的横坐标为.
答案：
[清易错]
1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
2．抛物线标准方程中的参数p，易忽视只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．
1．动圆过点（1,0），且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为______________．
解析：
设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1,0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：
y2＝4x
2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．
解析：
由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
∴2p＝，p＝，∴焦点为.
答案：
直线与圆锥曲线的位置关系
[过双基]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程．
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离D．不确定
解析：
选A 因为直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1,1），又点（1,1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
2．过抛物线x2＝8y的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|＝________.
解析：
由题意，可得焦点F（0,2），设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝8，过焦点的弦长|AB|＝y1＋y2＋p＝8＋4＝12.
答案：
12
3．已知双曲线C：
－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相交，则双曲线C的离心率的取值范围是________．
解析：
双曲线的渐近线为bx±ay＝0，其与圆相交，则圆心（2,0）到渐近线的距离小于半径，即＜1，
∴3b2＜a2，∴c2＝a2＋b2＜a2，∴e＝＜.
又e＞1，∴1＜e＜.
答案：
[清易错]
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点．
1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（ ）
A．1B．2
C．1或2D．0
解析：
选A 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条D．4条
解析：
选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：
直线x＝0，过点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）.
一、选择题
1．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P（m,1）到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y＝8x2 B．y＝16x2
C．x2＝8yD．x2＝16y
解析：
选D 根据题意知，点P（m,1）在x轴上方，则抛物线开口向上，
设其标准方程为x2＝2py，
其准线方程为y＝－，
由点P到焦点的距离为5，得1－＝5,
解得p＝8，
则抛物线的标准方程为x2＝16y.
2．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为（ ）
A．9B．23
C．9或23D．16－或16＋
解析：
选C 由椭圆＋＝1的焦距为2，
可得，2＝2或2＝2，
解得m＝9或23.
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝（ ）
A．9B．8
C．7D．6
解析：
选B 抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
4．若双曲线C：
－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，满足·＝0的点P依次记为P1，P2，P3，P4，则四边形P1P2P3P4的面积为（ ）
A.B．2
C.D．2
解析：
选C 设P（x，y），由已知得F1（－，0），F2（，0），
则（－－x，－y）·（－x，－y）＝x2－5＋y2＝0，
即x2＋y2＝5，与双曲线方程－y2＝1联立，
可得交点分别为，，
，，
它们构成一个长为，宽为的长方形，
所以四边形P1P2P3P4的面积为×＝.
5．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y＝±3xB．y＝±x
C．y＝±2xD．y＝±x
解析：
选D 因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，所以e＝＝，
即e2＝＝＝1＋＝10，所以＝3.
因为双曲线－＝1的焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.
6．已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为（ ）
A.＋＝1B.＋y2＝1
C.＋＝1D.＋＝1
解析：
选A 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝.又e＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.
7．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析：
选C 由题意知F（4,0），双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.
8．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A.B.
C．1D.
解析：
选B 如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义可得，
|PF1|＋|PF2|＝2a1，
|PF1|－|PF2|＝2a2，
∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.
设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，
在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1＋a2）2＋（a1－a2）2－2（a1＋a2）（a1－a2）cos，
化简得：
（2－）a＋（2＋）a＝4c2，
即＋＝4.
又∵＋≥＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.
二、填空题
9．（2017·北京高考）若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
解析：
由双曲线的标准方程可知a2＝1，b2＝m，所以a＝1，c＝，所以e＝＝，解得m＝2.
答案：
2
10．（2017·全国卷Ⅲ）双曲线－＝1（a＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.
解析：
∵双曲线的标准方程为－＝1（a＞0），
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.
答案：
5
11．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为__________．
解析：
由椭圆＋＝1，得a2＝9，b2＝4，
∴c2＝a2－b2＝5，
∴该椭圆的焦点坐标为.
设所求椭圆方程为＋＝1，a＞b＞0，
则c＝，又＝，得a＝5，∴b2＝25－5＝20.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案：
＋＝1
12．（2018·西安中学模拟）如图，过抛物线y＝x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2＋（y－1）2＝1交于A，B，C，D四点，则·＝________.
解析：
不妨设直线AB的方程为y＝1，联立解得x＝±2，则A（－2,1），D（2,1），因为B（－1,1），C（1,1），所以＝（1,0），＝（－1,0），所以·＝－1.
答案：
－1
三、解答题
13．已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且函数y＝x2－的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求△PMN面积的最小值，并求此时直线l的方程．
解：
（1）由题意可得，2b＝2，所以b＝1.
联立＋y2＝1（a＞1）与y＝x2－，消去y，
整理得x4＋x2＋＝0，
根据椭圆C与抛物线y＝x2－的对称性，可得Δ＝2－4×＝0，a＞1，解得a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
（2）①当直线l的斜率不存在时，S△PMN＝×2b×a＝2；
当直线l的斜率为0时，S△PMN＝×2a×b＝2；
②当直线l的斜率存在且不为0时．
设直线l的方程为y＝kx，由
解得x2＝，y2＝.
∴|MN|＝2＝4.
由题意可得，线段MN的中垂线方程为y＝－x，
联立可得x2＝，y2＝.
∴|OP|＝＝2.
∴S△PMN＝·|MN|·|OP|＝≥＝，当且仅当k＝±1时取等号，此时△PMN的面积的最小值为.
∵2>，∴△PMN的面积的最小值为，直线l的方程为y＝±x.
14.已知点F为抛物线E：
y2＝2px（p>0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3.
（1）求抛物线E的方程；
（2）已知点G（－1,0），延长AF交抛物线E于点B，证明：
以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
解：
（1）由抛物线的定义得
|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）因为点A（2，m）在抛物线E：
y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A（2,2）．
由A（2,2），F（1,0）可得直线AF的方程为y＝2（x－1）．
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G（－1,0），
所以kGA＝＝，
kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
高考研究课
（一）
椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
椭圆的标准方程
5年2考
求椭圆的标准方程
椭圆的几何性质
5年3考
求离心率，求参数
直线与椭圆的位置关系
5年6考
弦长问题、面积最值、斜率范围
椭圆的定义及标准方程
[典例]
（1）若椭圆C：
＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F1PF2＝（ ）
A. B.
C.D.
（2）（2018·大庆模拟）如图，已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0），其中左焦点为F（－2，0），P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为（ ）
A.＋＝1B.＋＝1
C.＋＝1D.＋＝1
[解析]
（1）由题意得a＝3，c＝，则|PF2|＝2.
在△F2PF1中，由余弦定理可得
cos∠F2PF1＝
＝＝－.
又∵∠F2PF1∈（0，π），∴∠F2PF1＝.
（2）设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．
由F（－2，0），得c＝2.
由|OP|＝|OF|＝|OF1|，
知PF1⊥PF.
在Rt△PF1F中，由勾股定理，
得|PF1|＝＝＝8.
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，
从而a＝6，得a2＝36，
于是b2＝a2－c2＝36－
（2）2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
[答案]
（1）C
（2）B
[方法技巧]
（1）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置
升级会员 