《离散数学第三版》期末复习知识点总结含例题呕心沥血整理doc.docx

1、离散数学第三版期末复习知识点总结含例题呕心沥血整理docT 是 系、空关系、全关系、恒等关P（A）-p （B） = 3,1,3, 2,券,;陶鮮餐的集合衣示、关 系矩阵和矣系图、关系的运 算。2、 学握求复合关系与逆关系 的方法。3.理解关系的性质（自反性. 对称性、反对称性、传递性） 掌握其判别方法（定义、矩阵、 图）。4、 掌握求关系的闭包（自反 闭包、对称闭包、传递闭包） 的方法。5、 理解等价关系和偏序关系 的概念，学握等价类的求法和 偏序关系做哈斯图的方法，极 人/小元、最人/小元、上/卜界、 最小上界、最人下界的求法。6、 理解函数概念：函数、函 数相等、复介畅数和反畅数。7、 理

2、解单射、满射、双射等 概念，学握其判别方法。 木章重点习题P25, 1； P3233, 4, 8, 10； P43, 2, 3, 5；（Au B）c（ 注J 8）P59, 1,2； P64, 3； P7475,2,4, 6, 7； P81, 5,7：=（AnA曲鑑咖血c肛（ 3 c B） =（遊:縱璇憾） =（An圧皿細扇渤洋輕）：元关系 世概念及关系矩阵、关系图表 示。2、关系的性质及其判定 关系的性质既是对关系 概念的加深理解与学握，乂是 关系的闭包、等价关系、半序 关系的基础。对丁四种性质的 判定，可以依据教材中P49上 总结的规律。这其中对传递性 的判定，难度稍大一点，这里 要提及两点

3、：一是不破坏传递 性定义，可认为具有传递性。 如空关系具冇传递性，同时空 关系具有对称性与反对称性， 但是不具有自反性。另一点是 介绍-种判定传递性的“跟踪 法” ， 即 若（al9a2）e R. a2,a3）e R, ,则（R。如若 （a,b）w R, R ,则有,且 （b,b）w R。3、关系的闭包在理解掌握关系闭包概R =心）血2）伽）（3,4），（4,4啊織劇命题与联o 4。1。3o 2o 5念的基础上，主要掌握闭包的 求法。关键是熟记三个定理的 结论：定理 2 ,= R 5a ；定理 3, s（R）= R o R ；定理 4,n推论 /（/?） = Ijx。/=14、半序关系及半序集

4、中 特殊元素的确定理解与掌握半序关系与 半序集概念的关键是哈斯图。 哈斯图画法掌握了，对于确定 任一子集的最大（小）元，极 人（小）元也就容易了。这里要注意,最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定， 而上界与下界町在子集z外 的全集中确定，最小上界为所 有上界中最小者,最小上界再 小也不小于子集小的任一元 素，可以与某一元素相等，最 大下界也同样。5、映射的概念与映射种 类的判定映射的种类主耍指单 射、满射、双射与非单非满射。 判定的方法除定义外，对借助 于关系图.而实数集的子集上 的映射也可以利用直角坐标 系农示进行，尤其是对各种初 等函数。例题分析例 1 设 集 合 A = a,b,c

5、,d,判定下列 关系，哪些是自反的，对称的， 反对称的和传递的：& = （d,Q）,（b,d） R2 = R,=仏 c）,（b,d） 解:均不是自反的;&是对称 的；R15R2 ,R3,R4，R5是反对称 的；R| ,R2 ,Rs , R4R5 是传递 的。例 2 设 集 合 A = 1,2,3,4,5, A 上的二 元关系R为（1）写出R的关系矩阵,画 出R的关系图;（2 ）证明R是A上的半序 关系，画出其哈斯图;（3 ）若 B qA ,且 B = 2,3,4,5,求 B 的最大 元,最小元,极大元,极小元, 最小上界和最人下界。解（1）R的关系矩阵为1001000000Mr =001100

6、00100011R的关系图略（2）因为R是H反的，反/合取范式法）5、公式的蕴涵与逻辑结果 结词、公式与解释、析取范式 与合取范式.公式恒真性的判 定、形式演绎 复习要求1、 理解命题的概念；了解命 题联结词的概念；理解用联结 词产生复合命题的方法。2、 理解公式与解释的概念； 掌握求给定公式真值表的方 法，用基本等价式化简H他公 式，公式在解释下的真值。3、 了解析取（合取）范式的 概念；理解极大（小）项的概 念和主析取（合取）范式的概 念；掌握用基本等价式或真值 表将公式化为主析取（合取） 范式的方法。4、 掌握利用真值表、等值演 算法和主析取/合取范式的唯 一性判別公式类型和公式等 价的

7、方法。5、 理解公式蕴涵与逻辑结果 的概念，学握基木蕴涵式。6、 学握形式演绎的证明方法。 本章重点习题P93, 1； P98, 2, 3；P104, 2, 3： P107, 1,3； P112, 5； P115, 1, 2, 3。疑难解析K公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包 括判定公式是恒真的或是恒 假的。具体方法有两种，一是 真值表法，对于任给一个公 式,主要列出该公式的真值 表，观察真值表的最后一列是 否全为1 （或全为0）,就可 以判定该公式是否恒真（或恒 假），若不全为0,则为可满 足的。二是推导法，即利用基 木等价式推导出结果为1，或 者利用恒真（恒假）判定定理: 公式G是恒真的

8、（恒假的）当 且仅当等价于它的介取范式这里要求的析取范式中 所含有的每个短语不是极小 项，一定耍与求主析取范式和 区别，对于合取范式也同样。2、范式求范式，包括求析取范 式、合収范式、主析取范式和 主合取范式。关键有两点：一 是准确理解学握定义；另-是巧妙使用基本等价式中的分 配律、同一律和互补律,结果 的前-步适当使用等邪律，使 相同的短语(或子句)只保留 一个。另外，由已经得到的主 析取(合取)范式，根据 G v = 1,(G)= G 原理，参阅离散数学学习指 导书P71例15,可以求得主 合取(析取)范式。3.形式演绎法学握形式演绎进行逻辑 推理时，一是要理解并掌握14 个基本蕴涵式，二

9、是会使用三 个规则:规则P、规则Q和规 则D,需要进行一定的练习。 例题分析 例 1 求G =P八Q卜 的主析取范式与主合取范式。 解(1)求主析取范式， 方法1:利用冀值表求解因 此 ，(PAg)v-1/?)P = (Pv方法厶利用已求出的主析取 范式求主合収范式己用去6个极小项，尚有 2个极小项，即-iP A Q A -J?-nF A 2 A i/?于是1、谓词、量词、个体词、个自由2.谓词公式与解释，谓词公 式的类型(恒真、恒假、可满 足)3.谓词公式的等价和蕴涵4.前束范式本章重点内容：谓词与量词、公式与解释、前束范式 复习要求(P如镂解関和)屋词、个体词、 -个岳爲送处的瞬；理解也

10、冰丿M侏強險鈿词就;G = (-P A -Q A -R)7 G = -1(-iG)= -1(-iP a Q /H=(P V 2 V /?) A(P V vQv-,P)XXPvRv-1 gRPl ) vR 人(-iQz-ikz-iP ) ) J)G法。P A QG* V-G-rP=(P章重点习题P120, 1, 2： P125126,3;隹解析1、谓词与量词反复理解谓词与量词引J总义，概念的含义及在谓 田. 诃胡量词作用下变量的自由内此( 、( =nvRvPvR 性、约束炸与戍名规则。、G = (-1P a-i P 为 0 的有两行，它们对应的极大项 分 别 为PvQvR, PzQv R(Q v

11、R=(: A(YP)01011111P137, 1。SvP, Q)VP(4)能将一阶逻辑公式表达 式屮的量词消除，写成与Z等 价的公式，然后将解释I中的 数值代入公式,求出真值。3、前束范式在充分理解拿握前束范 式概念的基础上，利用改名规 则.基本等价式与蕴涵式(一 阶逻辑中)，将给肚公式中量 词提到默 Z前称为首标。规则P( 7 )规则Q,根据(5),( 8 )规则D,根据(2),(6)S-R(7)I j F(3) P(2) P(3)Q(2,2) Q(2,3) Q(3,2)Q(33)3 2 0 1110 1 求 3xVy(P(x)A Q(F(x), y) 的真值。解第四章谓词逻辑复习知识点例

12、2试将一阶逻辑公式化成 前束范式。解第五章图论复习知识点1、 图.完全图.子图、母图、 支撑子图、图的同构2、 关联矩阵、相邻矩阵3、 权图、路、最短路径，迪 克斯特拉算法（Dijkstra）4树.支撑树.二叉树5、 权图屮的最小树，克鲁斯 卡尔算法（Kruskal）6、 有向图.有向树木章重点内容：权图的最 短路、二义树的遍历、权图中 的最优支撑树复习耍求1、 理解图的冇关概念：图、 完全图.子图.母图.支撑子 图、图的同构。2、 掌握图的矩阵表示（关联 矩阵、相邻矩阵）。3、 理解权图、路的概念，学 握用Dijkstra算法求权图中最 短路的方法。4、 理解树、二叉树与支掠树 的冇关概念；

13、掌握二叉树的三 种遍历方法，用Kruskal算法 求权图屮般小树的方法。5、 理解有向图与有向树的概 念。本章重点习题IP221, 2； P225, 1； P231,2, 3； P239, 5； P242, L 2o疑难解析1 本章的概念较多，学习 时需要认真比较各概念的含 义，如：图.子图.有向图. 权图；树、支撑树、二叉树、 有向树；路、简单路、回路等,二、考核说明木课程的考核实行形成 性考核和终结性考核的形式。 形成性考核占总成绩的20%,以课程作业的形式进行（共三 次，由屮央电人统一布置）； 终结性考核即期末考试，占总 成绩的80%。总成绩为100分, 60分及格。期末考试实行全国统一

14、 闭卷考核，试卷满分为100。 由中央电大统一命题,统一评 分标准，统-考试时间（考试 时间为120分钟）。1、 试题类型试题类型冇填空题（分 数约占20% ）.单项选择题（分 数约占14%）、计算题（分数 约占50%）和证明题（分数约 占 16%） O填空题和单项选择题主 耍涉及基本概念、基本理论， 重要性质和结论.公式及其简 单计算。计算题主要考核学生 的基本运算技能，耍求书写计 算、推论过程或理由。证明题 主要考查应用概念、性质、定 理及主要结论进行逻辑推理 的能力，要求写出推理过程。2、 考核试卷题量分配试卷题量在各部分的分 配是：集合论约i 40% ,数理 逻辑约占40%,设R是篥合

15、A上的二元 关系，如果关系R同时 具有 性.对称性和 性，则称R是等价关系。命题公式G=（PaQ）-R, 则G共冇 个不同的解释；把G在其 所有解释下所取真值列 成一个表，称为G 的 ;解释（P, Q, -R）或（0,1 , 0）使G的真值 为 ，设G二（P, L）是图.如 果G是连通的，并 口 ,则 G是树。如果根树T的每 个点V最多有两棵子树, 则 称 T为 O单项选择题（选择一个正确 答案的代号，填入括号中）1.由集合运算定义，下列 各式正确的冇( )OA.XcXuYB.XoXuYC.XcXnYD.YcXnY2.设Rp R?是集合A=a, b, c, d)的两个关系， 其中 Ri= (a

16、. a) , (b, b) , (b, c) , (d, d), R2= (a, a) , (b, b),(b, c) , (c, b) , (d, d),则R2是&的 ( )闭包。A.自反 B对称 C.传递D以上都不是3.设G是由5个顶点纽成的完全图，则从G屮删 去( )条边可以得到树。A. 4 B. 5C 6D10I计算题1.化简下式：(A-B-C) u ( (A-B) cC ) u ( AnB-C ) u (AcBcC)2.通过求主析取范式判断 下列命题公式是否等 值。(1 ) ( PaQ ) vC-iPaQaR):(2) (Pv (QaR) ) a (Qv (-.PaR)；3.求图中A

17、到其余各顶点 的最短路径,并写出它 们的权。2C证明题1.利用基本等价式证明下 面命题公式为恒真公 式。(PtQ) a (QtR)- (PtR)2.用形式演绎法证明： P-Q, RtS, PvR 蕴涵QvSo试题答案及评分标准填空题自反；传递8：真值表；1 无回路；二叉树单项选择题(选择一个正确 答案的代号，填入括号小)1、A 2、B 3.C计算题1.解：(A-B-C) u ( (A-B) cC ) u ( AnB-C ) u(AcBcC)=(AcBeC ) v (Ac BeC ) u (AcBcC ) u (AcBcC)=(AcB)c(CuC)5 (AcB)c(CuC) =(AcB ) cE

18、 ) u (AcB ) cE ) E为全集=(AcB) u (AnB)=Ac (BuB)=AnE=A2.解：(PaQ) v (PaQaR) (PaQa (-iRvR) ) v (-.PaQaR)o ( PaQa-iR ) v (PaQaR ) v ( -iPaQaR )o m6vm7vm3(Pv (QaR) ) A (Qv(-)PaR)o (PaQ) v (QaR) v (Pa-iPaR ) v ( -iPa Q aR ) (分配律) (PaQa (-iRvR ) ) v (iPvP ) aQaR) V (-,PaQ aR)u ( PaQa-iR ) 7(PaQaR ) v ( )PaQaR

19、) v (PaQaR) v (-iPa Q aR) o m6vm7vni3vin7vm3 0 mjvnvvmv由此可见(P/Q) v (-)PaQaR)o (Pv(QaR) a (Qv (-,PaR)3.解：A到B的最短路径为AB,权为1：A到E的最短路径为 ABE,权为3；A到F的最短路径为 ABEF,权为 4；A到C的最短路径为 ABEFC,权为 7；A到D的最短路径为 ABEFCD,权为 9。证明题1.证明：(PtQ) a (Q-R) T (P-R)o( (iPvQ) a(-iQvR)T (-iPvR)-( (-1PvQ)a(-QvR) v (-.PvR)o (P/Q) v (Qa-,R

20、) v-iPvR (P A-|Q) v1P ) V (QaR) vR)o (Ia (-iQv-iP ) ) v (QvR) a1)o iQvPvQvRO (-nQvQ) v-)P vR 1 viP vR 12.证明：(1)PvR规则p(2)RtP规则Q ,根据(1)(3)PtQ 规则p(4)R tQ规则Q,根据(2)(3)(5)QtR规则Q,根据(4)(6)RtS 规则p(7)QtS规则Q,根据(5)(6)(8)QvS规则Q ,根据(7)三、 综合练习及解答(一)填空题1、集合的表示方法有两种:法 和法。请把“大于3而小于 或等于7的整数集合”用 任一种集合的表示方法 表 示 ill 來A=

21、。2、 A, B是两个集合，A=1,2, 3, 4, B=2, 3, 5), 则B A二 , p(B ) -p ( A ),p ( B )的元素个数 为 O3、 设A = a,b9 B = 1,2 ,则从A到B的所有映 射是8、将儿个命题联结起來，形 成一个复合命题的逻辑联结 词 主 要 有 否 定* 、和等值。9表达式Vx3yL (x, y)中 谓词的定义域是a, b, c), 将其中的量词消除，写成与Z 等价的命题公式为p 1011)1 00010 0011，则G1 0101J 1110有()。A.5点，8边B. 6点，7边C.5点，7边D.6 点，8边MM二 e 忖帥=46、 (下列命题

22、正确的是 )。AB10、一个无向图表示为G=(P,L )的集合，其屮 P 是L是的集合,7、4、汝命题公式G = P t(Q t R),则使公式G为假的解 释 是(-)单项选择题(选择一个 正确答案的代号，填入括号 中)1.和 O5、设G是完全二叉树，G有15个点，其中8个叶结点，则 G的总度数为 ，分枝点 数为设命题公式G = (PV戶)t (Q A/?)v P用;，则G是( )。A/MiX的 B.恒假的 C可满足的D.析取范式设集合 A = a.b.c, A的 关 系2、上/? = (q,a),(a,/?),(/?, 全集 E=L 2, 3, 4, 5, A=1, 5), B=1, 2,

23、3, 4), C=2, 5, 求 AcB=,p (A) np (C)7、设A和B是任意两个集合, 若序偶的第一个元素是A的 一个元索，第二个元索是B的 一个元素，则所冇这样的序偶 集合称为集合A和B 的记作 AxB , 即AxB= oAxB的子集R称 为 A , B 上 的3、 一个公式在等价意义下， 下而哪个写法是唯一的( )OA.析取范式 B.合 取范式 C.主析取 范式 D.以上答案 都不对4、 设命题公式G=-, (PtQ), H=P- (QtP),则 G 与 H 的关系是(ABC.G=H上都不是G=HH=GD.以5、 已知图G的相邻矩阵为C awa , b , c)D(|)ea, b

24、, c| 设集合 A=a, b, c), A 上的关系R= (a b),(a, c) , (b, a) , (b,c) , (c, a) , (c, b),(c, c) , 系的(A. H反则R具有关 )性质。B.对传递C.D.反对称8、设R为实数集， a(X)= -x2+2x-1 ,)单满g=R-R, 则C是(A .B .9、 命题。映射而而满单 kr hr tt T-射射是C.双射 单射，也不是满射卜列语句中，( )是yfVxB ( x ) =Vx(AtB (x)3x (A (x) vB (x)=3xA (x) v3xB (x) -iVxA (x) =3x (-1A(x)(三)计算题1、设

25、R和S是集合A = 1,2,3,4 的关系，英 中/? = (!,1),(1,3), (2,3), (3,4)S = (1,2), (2,3), (2,4), (4,4)，试求：(1)写出19、(2 ) 计 算R S, RuS, R2、 设 A=a b, c, d), RPR2是A上的关系，其中 Ri= (a, a) , (a, b),(b, a) , (b, b) , (Ctc) , (c, d) , (d, c), (d, d) ), R2= (a, b), (b, a) , (a, c) (c,a) r (b, c) , (cr b) r (a, a) , (b, b) , (c,C) o(1)画出R和R2的关 系图；(2)判断它们是否为 等价关系，是等价 关系的求A屮各 元素的等价类。3、 用真值表判断下列公式 是恒真？恒假？可满 足？(1)(Pa-iP)Q(2)(PtQ) aQ(3)(P-Q)a(Q-R) t (PtR)4、 设解释I为：(1)定义域 D=-2, 3, 6;(2)F (x) : x5o在解释I下求公式mx (F (x) vG (x)的真值。5、 求卜图所示权图中从