《离散数学第三版》期末复习知识点总结含例题呕心沥血整理doc.docx
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《离散数学第三版》期末复习知识点总结含例题呕心沥血整理doc
T是系、空关系、全关系、恒等关
P（A）-p（B）={{3},{1,3},{2,券,;{陶鮮餐的集合衣示、关系矩阵和矣系图、关系的运算。
2、学握求复合关系与逆关系的方法。
3.理解关系的性质（自反性.对称性、反对称性、传递性）•掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。
4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念，学握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极人/小元、最人/小元、上/卜•界、最小上界、最人下界的求法。
6、理解函数概念：
函数、函数相等、复介畅数和反畅数。
7、理解单射、满射、双射等概念，学握其判别方法。
［木章重点习题］
P25,1；P32〜33,4,8,10；P43,2,3,5；
（Au~B）c（~注J8）P59,1,
2；P64,3；P74〜75,
2,4,6,7；P81,5,
7：
=（（An〜A曲鑑咖血c肛（~3cB））
=（①遊:
縱璇憾"）=（An圧皿細扇渤洋輕）：
元关系世概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定关系的性质既是对关系概念的加深理解与学握，乂是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对丁•四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。
这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：
一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。
如空关系具冇传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。
另一点是介绍-•种判定传递性的“跟踪法”，即若
（al9a2）eR.\a2,a3）eR,,则（R。
如若（a,b）wR,R,
则有,且（b,b）wR。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概
R=心）血2）伽）‘（3,4），（4,4啊織劇命题与联
o4
。
1
。
3
o2
o5
念的基础上，主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结论：
定理2,
=R5a；定理3,s（R）=RoR'；定理4,
n
推论/（/?
）=Ijx。
/=1
4、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极人（小）元也就容易了。
这里
要注意,最大（小）元与极大
（小）元只能在子集内确定，而上界与下界町在子集z外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集小的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主耍指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外，对借助于关系图.而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系农示进行，尤其是对各种初等函数。
［例题分析］
例1设集合A={a,b,c,d},判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：
&={（d,Q）,（b,d）}R2=R,=仏c）,（b,d）}解:
均不是自反的;&是对称的；R15R2,R3,R4，R5是反对称的；R|,R2,Rs,R4R5是传递的。
例2设集合A={1,2,3,4,5},A上的二元关系R为
（1）写出R的关系矩阵,画出R的关系图;
（2）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图;
（3）若BqA,且B={2,3,4,5},求B的最大元,最小元,极大元,极小元,最小上界和最人下界。
解
（1）R的关系矩阵为
<1
0
0
1
0
0
0
0
0]
0
Mr=
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
<0
0
1
1
R的关系图略
（2）因为R是H反的，
反
/合取范式法）
5、公式的蕴涵与逻辑结果结词、公式与解释、析取范式与合取范式.公式恒真性的判定、形式演绎［复习要求］
1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简H他公式，公式在解释下的真值。
3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判別公式类型和公式等价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，学握基木蕴涵式。
6、学握形式演绎的证明方法。
［本章重点习题］
P93,1；P98,2,3；
P104,2,3：
P107,1,
3；P112,5；P115,1,2,3。
［疑难解析］
K公式恒真性的判定
判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种，一•是真值表法，对于任给一个公式,主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0）,就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0,则为可满足的。
二是推导法，即利用基木等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理:
公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的介取范式
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定耍与求主析取范式和区别，对于合取范式也同样。
2、范式
求范式，包括求析取范式、合収范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点：
一是准确理解学握定义；另-•是
巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律,结果的前-•步适当使用等邪律，使相同的短语（或子句）只保留一个。
另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据Gv=1,「（「G）=G原理，参阅《离散数学学习指导书》P71例15,可以求得主合取（析取）范式。
3.形式演绎法
学握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则:
规则P、规则Q和规则D,需要进行一定的练习。
［例题分析］例1求
G=《P八Q卜的主析取范式与主合取范式。
解
（1）求主析取范式，方法1:
利用冀值表求解
因此，
（（PAg）v-1/?
）^P=（Pv
方法厶利用已求出的主析取范式求主合収范式
己用去6个极小项，尚有2个极小项，即
-iPA—\QA-J?
-nFA2Ai/?
于是
1、谓词、量词、个体词、个
自由
2.谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）
3.谓词公式的等价和蕴涵
4.前束范式
本章重点内容：
谓词与量
词、公式与解释、前束范式［复习要求］
（「P如镂解関和）屋词、个体词、-个岳爲送处的瞬；理解也冰丿M侏強險鈿词就;
G=（-PA-QA-R）7\
G=-1（-iG）=-1（（-iPa—\Q/\'H
=（PV2V/?
）A（PV<7^单命题；了解命题符号
化。
2、理解公式与解释的概念；
］限个体域下消去公衆公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。
3、理解川解释的方法证明等价式和蕴涵式。
4、学握求公式前束范式的方
2试证明公式百陽丹左
G=（（pTQ）人（QT/?
））T（g就崗为恒真公式。
证法一：
见〈离散数学学习
指导书〉卩6（）例6（4）的解答。
（真值表法）
证法二:
仲僉R^-lQ）v（琲-iR）v-iP'（（PvQ）f\（P—R）rQ）a（—iQ（y-R））v—i
1
>vQv-,P）XXPv^Rv-1gR—Pl）vR人（-iQ\z-ik\z-iP））J
）G法。
PAQG*V-G-rP
=（P
章重点习题］
P120,1,2：
P125〜126,
3;
隹解析］
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引
J总义，概念的含义及在谓田.・诃胡量词作用下变量的自由
内此（、（=^nv^Rv^PvR性、约束炸与戍名规则。
、
G=（-1Pa-i<2a7?
）v（-1PaQa=R）v（pa-12a-i/?
）v（Pa-iQ办岡肚偽陈Qa「R）故G为恒虫公式。
例3利用形式演绎法证明
{Pt（QtR）,-
G=（（pAQ）Rv「R）tP=副:
W）V-J?
）
=（（「Pv^e）A/?
）vP=（^PAR^QA/?
）v^P
=（（「PaR）a（「Qve））v（（^2a^）a（2PvM）Sv^a^v^a^v-./?
））:
则D3）p=（iPA2AA-，2AR）则@，也快（R）\/（iPa
v（Pa2a/?
）v（Pa2a「斥）v（彳补心用/弓A-yQ如-^［严I卜一个解释：
=（^PaQa/?
）v（^Pa-1住艸陶v（Pa^2a7?
）v（PaQ紅碎3
（x/\（5）QtR„f（3
VVA0A-10根据⑶，
（6）
0
0
0
0
1
1
0
0
I
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
/R
V（PAQA7?
）
方法2：
推导法
（2）求主合取范式方法1:
利用上面的真值表（（PaQ）v―R）—>P为0的有两行，它们对应的极大项分别为
PvQvR,P\z「QvR
（「Q\vR
=（（:
A（Y
P）
0
1
0
1
1
1
1
1
P137,1。
SvP,Q）
VP
（4）
能将一阶逻辑公式表达式屮的量词消除，写成与Z等价的公式，然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。
3、前束范式
在充分理解拿握前束范式概念的基础上，利用改名规则.基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中），将给肚公式中量词提到默Z前称为首标。
规则P
（7）
规则Q,根据（5）,
（8）
规则D,根据
（2）,
（6）
S->R
（7）
IjF（3）P
（2）P（3）
Q（2,2）Q（2,3）Q（3,2）
Q（33）
3201
1101求3xVy（P（x）AQ（F（x）,y））的真值。
解
第四章谓词逻辑
［复习知识点］
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
第五章图论
［复习知识点］
1、图.完全图.子图、母图、支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra）
4>树.支撑树.二叉树
5、权图屮的最小树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal）
6、有向图.有向树
木章重点内容：
权图的最短路、二义树的遍历、权图中的最优支撑树
［复习耍求］
1、理解图的冇关概念：
图、完全图.子图.母图.支撑子图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。
3、理解权图、路的概念，学握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法。
4、理解树、二叉树与支掠树的冇关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图屮般小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。
［本章重点习题I
P221,2；P225,1；P231,
2,3；P239,5；P242,L2o
［疑难解析］
1•本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：
图.子图.有向图.权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等,
二、考核说明
木课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。
形成性考核占总成绩的20%,
以课程作业的形式进行（共三次，由屮央电人统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。
总成绩为100分,60分及格。
期末考试实行全国统一闭卷考核，试卷满分为100。
由中央电大统一命题,统一评分标准，统-考试时间（考试时间为120分钟）。
1、试题类型
试题类型冇填空题（分数约占20%）.单项选择题（分数约占14%）、计算题（分数约占50%）和证明题（分数约占16%）O
填空题和单项选择题主耍涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论.公式及其简单计算。
计算题主要考核学生的基本运算技能，耍求书写计算、推论过程或理由。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是：
集合论约i'40%,数理逻辑约占40%,
设R是篥合A上的二元关系，如果关系R同时具有性.对称性
和性，则称R是
等价关系。
命题公式G=（PaQ）->R,则G共冇个
不同的解释；把G在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G的;解
释（「P,Q,->R）或（0,
1,0）使G的真值为，
设G二（P,L）是图.如果G是连通的，并口,则G
是树。
如果根树T的每个点V最多有两棵子树,则称T
为O
［单项选择题］（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.由集合运算定义，下列各式正确的冇
（）O
A.XcXuY
B.XoXuY
C.XcXnY
D.YcXnY
2.设RpR?
是集合A={a,b,c,d）±的两个关系，其中Ri={（a.a）,（b,b）,（b,c）,（d,d））,R2={（a,a）,（b,b）,
（b,c）,（c,b）,（d,d））,则R2是&的（）闭包。
A.自反B・对
称C.传递
D・以上都不是
3.设G是由5个顶点纽成
的完全图，则从G屮删去（）条边可以
得到树。
A.4B.5
C6
D・10
I计算题］
1.化简下式：
（A-B-C）u（（A-B）cC）u（AnB-C）u（AcBcC）
2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
（1）（PaQ）v
C-iPaQaR）:
（2）（Pv（QaR））a（Qv（-.PaR））；
3.求图中A到其余各顶点的最短路径,并写出它们的权。
2
C
［证明题］
1.利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。
（（PtQ）a（QtR））
->（PtR）
2.用形式演绎法证明：
{P->Q,RtS,PvR}蕴涵QvSo
试题答案及评分标准
［填空题］
自反；传递
8：
真值表；1无回路；二叉树
［单项选择题］（选择一个正确答案的代号，填入括号小）
1、A2、B3.
C
［计算题］
1.解：
（A-B-C）u（（A-B）cC）u（AnB-C）u
（AcBcC）
=（Ac〜Be〜C）v（Ac〜BeC）u（AcBc~C）u（AcBcC）
=（（Ac~B）c（〜CuC））
5（AcB）c（~CuC））=（（Ac〜B）cE）u（（AcB）cE）E为全集
=（Ac〜B）u（AnB）
=Ac（~BuB）
=AnE
=A
2.解：
（PaQ）v（^PaQaR）<=>（PaQa（-iRvR））v（-.PaQaR）
o（PaQa-iR）v（PaQaR）v（-iPaQaR）
om6vm7vm3
<=>
（Pv（QaR））A（Qv
（-）PaR））
o（PaQ）v（QaR）v（Pa-iPaR）v（-iPaQaR）（分配律）
<=>（PaQa（-iRvR））v（（iPvP）aQaR）V（-,PaQaR）
u>（PaQa-iR）7
（PaQaR）v（—）PaQaR）v（PaQaR）v（-iPaQaR）om6vm7vni3vin7vm30mjvnvvmv
由此可见（P/\Q）v（-）PaQaR）o（Pv（QaR））a（Qv（-,PaR））
3.解：
A到B的最短路径为
AB,权为1：
A到E的最短路径为ABE,权为3；
A到F的最短路径为ABEF,权为4；
A到C的最短路径为ABEFC,权为7；
A到D的最短路径为ABEFCD,权为9。
［证明题］
1.证明：
（（PtQ）a（Q->R））T（P->R）
o（（iPvQ）a（-iQvR））
T（-iPvR）
<=>->（（-1PvQ）a（->QvR））v（-.PvR）
o（P/\「Q）v（Qa-,R）v-iPvR
<=>（（PA-|Q）v—1P）V（（Qa^R）vR）
o（Ia（-iQv-iP））v（（QvR）a1）
o—iQv^PvQvR
O（-nQvQ）v-）PvR
<=>1v—iPvR
<=>1
2.证明：
（1）PvR
规则p
（2）「RtP
规则Q,根据
（1）
（3）PtQ规则p
（4）「RtQ
规则Q,根据
（2）（3）
（5）「QtR
规则Q,根据
（4）
（6）RtS规则p
（7）「QtS
规则Q,根据
（5）（6）
（8）QvS
规则Q,根据
（7）
三、综合练习及解答
（一）填空题
1、集合的表示方法有两种:
法和
法。
请把“大于3而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示ill來
A={
}。
2、A,B是两个集合，A={1,
2,3,4},B={2,3,5）,则
B・A二,p
（B）-p（A）
p（B）的元素个数为O
3、设
A={a,b}9B={1,2},则从A到B的所有映射是
8、将儿个命题联结起來，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定*、
和等值。
9^表达式Vx3yL（x,y）中谓词的定义域是{a,b,c）,将其中的量词消除，写成与Z等价的命题公式为
p1
0
1
1）
10
0
0
1
00
0
1
1，则G
10
1
0
1
J1
1
1
0>
有（
）。
A.5点，8边
B.6
点，7边
C.5点，7边
D.6点，
8边
MM©}二e忖帥}=4
6、（
下列命题正确的是）。
A
B
10、一个无向图表示为G=（P,
L）
的集合，
其屮P是
L是
的集合,
7、
4、汝命题公式
G=Pt「（QtR）
则使公式G为假的解释是
（-）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中）
1.
和O
5、设G是完全二叉树，G有
15个点，其中8个叶结点，则G的总度数为
，分枝点数
为
设命题公式
G=（PV「戶）t（（QA/?
）vP用;
，则G是（）。
A/MiX的B.恒假
的C•可满足的
D.析取范式
设集合A={a.b.c},A
的关系
2、
上
/?
={（q,a）,（a,/?
）,（/?
）}
则二（
6>全集E={L2,3,4,5},A={1,5）,B={1,2,3,4）,C={2,5},求Ac~B=
p（A）np（C）
7、设A和B是任意两个集合,若序偶的第一个元素是A的一个元索，第二个元索是B的一个元素，则所冇这样的序偶集合称为集合A和B的
记作AxB,即
AxB=
oAxB的子集R称为A,B上的
3、一个公式在等价意义下，下而哪个写法是唯一的
（）O
A.析取范式B.合取范式C.主析取范式D.以上答案都不对
4、设命题公式G=-,（PtQ）,H=P->（Qt「P）,则G与H的关系是（
A
B
C.G=H
上都不是
G=>H
H=>G
D.以
5、已知图G的相邻矩阵为
C・{a}w{a,b,c）
D・（|）e{a,b,c|设集合A={a,b,c）,A上的关系R={（a>b）,
（a,c）,（b,a）,（b,
c）,（c,a）,（c,b）,
（c,c）},系的（
A.H反
则R具有关）
性质。
B.对
传递
C.
D.反对称
8、设R为实数集，a（X）=-x2+2x-1,
）
单
满
g=R->R,则C是（
A.
B.
9、命题。
映射
而而
满单krhrttT-
射射是
C.双射单射，也不是满射
卜列语句中，（）是
yf<
沁姓镰肿◎}；C（功妙谶）,（如0）诫C,C）}.把门关上。
卜•而给出的i阶逻辑等价
）是错的。
Vx（A（x）vB（x））=VxA（x）vVxB（x）A->VxB（x）=Vx
（AtB（x））
3x（A（x）vB（x））
=3xA（x）v3xB（x）-iVxA（x）=3x（-1A
（x））
（三）计算题
1、设R和S是集合
A={1,2,3,4}±的关系，
英中
/?
={（!
1）,（1,3）,（2,3）,（3,4）}
S={（1,2）,（2,3）,（2,4）,（4,4）}
，试求：
（1）写出1<和$的
关系矩阵:
10、
式中，（
A.
B.
C.
D.
（「P八R）4（Q八R）v（R袖）弋iff
2、
2.
4、
填入括号
7>
9、
（2）计算
RS,RuS,R
2、设A={a»b,c,d）,RP
R2是A上的关系，其中Ri={（a,a）,（a,b）,
（b,a）,（b,b）,（Ct
c）,（c,d）,（d,c）,（d,d））,R2={（a,b）,（b,a）,（a,c）»（c,
a）r（b,c）,（crb）r（a,a）,（b,b）,（c,
C）}o
（1）画出R］和R2的关系图；
（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A屮各元素的等价类。
3、用真值表判断下列公式是恒真？
恒假？
可满足？
（1）（Pa-iP）㈠Q
（2）（PtQ）aQ
（3）（（P->Q）a（Q->R））t（PtR）
4、设解释I为：
（1）定义域D={-2,3,6};
（2）F（x）:
x<3；G（x）:
x>5o
在解释I下求公式mx（F（x）vG（x））的真值。
5、求卜图所示权图中从
升级会员 