1、考研数三真题及答案解析完整版2013 年考研数三真题及答案解析一、选择题 1 8 小题每小题 4 分,共 32 分、当 x 0时,用 o(x) 表示比 x 高阶的无穷小,则下列式子中错误的是( )2 o x 2 o x3 3(A) ( ) ( )x o x (B) o( x) o(x ) ( )(C)o( x2 ) o( x2 ) o(x2) (D)o(x) o( x2 ) o(x2 )【详解】由高阶无穷小的定义可知( A)(B)(C)都是正确的,对于( D)可找出反例,例2 x o x g x x o x3 3 2如当 x 0 时 ( ) ( ), ( ) ( )f x x ,但 f (x)
2、 g(x) o( x) 而不是2o( x ) 故应该选( D)2函数fxx 1( x) 的可去间断点的个数为( )x( x 1) ln x(A)0 (B)1 (C)2 (D)3xxln x【详解】当 xln x 0时, x 1 e 1 xln x,xx 1 xln xlim f (x) lim limx x(x 1) ln0 x xx 0 x x ln01,所以 x 0是函数 f ( x) 的可去间断点xx 1 xln xlim f (x) lim limx 1 x( x 1) ln x 2 ln1 x xx x 012,所以 x 1是函数 f ( x) 的可去间断点xx 1 xln xlim
3、 f (x) lim limx ( 1) ln1 x(x 1) ln x xx 1 x 1x,所以所以 x 1不是函数 f (x) 的可去间断点故应该选( C)设2 y2D 是圆域 D (x, y) | x 1 的第 k 象限的部分, 记kI k ( y x)dxdy,则Dk( )(A) 0I (B) I 2 0 (C) I 3 0 (D) I 4 01【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ikk 112k ( y x) dxdy 2 d (sin cos r dr (sin sin )d)2k 1( k 1) 30D 2 2k13sin cosk2k|21所以2 2I1 I 0, I 2 ,
4、 I 4 ,应该选( B)33 3设a 为正项数列,则下列选择项正确的是( )n(A)若an a ,则n 1( 1)n 1 a 收敛;nn 1(B)若(n a 收敛,则11)nan a ;n 1n 1(C)若n 1pa 收敛则存在常数 P 1,使 lim n an 存在;nn(D)若存在常数 P 1,使plim n a 存在,则nnn 1a 收敛n【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项( D)正确,故应选()此小题的( A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项( A),但少一条件 lim a 0,显然错误 而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件, 不是必要条件,nn选项(
5、 B)也不正确,反例自己去构造设,均为 n 阶矩阵,若,且可逆,则(A)矩阵 C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价(B)矩阵 C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价(C)矩阵 C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价(D)矩阵 C的列向量组与矩阵 B的列向量组等价【详解】 把矩阵 A,C列分块如下:A 1, 2 , , n ,C 1, 2 , , ,由于,n则可知 ( 1,2, , )i bi1 bi bin n i n ,得到矩阵 C的列向量组可用矩阵 A 的1 2 2列向量组线性表示同时由于 B可逆,即1A CB ,同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示,所以矩阵 C的列向量组
6、与矩阵 A 的列向量组等价应该选( B)1 a 1 2 0 06矩阵 a b a 0 b 0 相似的充分必要条件是与矩阵1 a 1 0 0 0(A)a 0,b 2 (B) a 0 ,b 为任意常数(C)a 2,b 0 (D) a 2,b 为任意常数2 0 0 1 a 1 2 0 0【详解】注意矩阵 0 b 0 是对角矩阵,所以矩阵 A= a b a 0 b 0 相与矩阵0 0 0 1 a 1 0 0 0似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等1 a 1E A a b a (2 b b a( 2) 2 22)1 a 1从而可知 2b 2a2 2b,即 a 0,b 为任意常数,故选择( B)2
7、27 设 X1, X 2, X3 是 随 机 变 量 , 且 X1 N (0,1), X N (0,2 ), X N (5,3 ) ,2 3Pi P 2 X i 2 ,则(A) P1 P2 P3 (B) P2 P1 P3(C) P3 P2 P1 (D) P1 P3 P2X【详解】若 X N( , 2) ,则 N (0,1)X2P 2 (2) 1, P P 2 X 2 P 1 1 2 (1) 1,1 2 22P3P 2 X 2 P3235X335235(1)73731),7P3 P 1 3 (1) 2 3 (1) 023故选择( A)8设随机变量 X 和 Y 相互独立,且 X 和 Y的概率分布分
8、别为X 0 1 2 3PP 1/2 1/4 1/8 1/8Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3则 P X Y 2 ( )(A)112(B)18(C)16(D)12【 详 解 】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y 111212412416,故选择( C)二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上)29设曲线 y f (x) 和 y x x在点 1,0 处有切线,则limnnfnn 2【详解】由条件可知 f 1 0, f (1) 1所以2f 1 f (1)n n 2lim nf lim 2 f2 n 2n 2 nn
9、n 2 2n (1) 2x10设函数 z z x, y 是由方程 z y xy【详解】z确定,则 |(1,2 )xx设 F x y z z y xy, , ( ) , 则x x 1Fx x, y z z y z y y F x y z x z y ,, ( ) l ) , ( ,n , ) ( ) (zz当 x 1, y 2时, z 0,所以 |(1,2) 2 2ln 2xln x11 dx1 (1 ) 2x【详解】ln x 1 ln x 1dx ln xd | dx ln11 2 x(1 x 1 x 1 x 1 x(1) 1 x)x1|1ln 2112微分方程 0 y y y 的通解为41r
10、 ,两个特征根分别为【详解】方程的特征方程为 04x解为 2y (C1 C x)e ,其中 C1 ,C2 为任意常数211 ,所以方程通2213设A a 是三阶非零矩阵, A 为其行列式, Aij 为元素 aij 的代数余子式,且满足ijAij aij 0(i , j 1,2 3) ,则 A =,T【详解】由条件 Aij a 0(i, j 1,2 ,3) 可知 * 0A A ,其中 A* 为 A 的伴随矩阵,从 ij而可知AT 3 1* A A A ,所以 A 可能为 1或 0n,r (A) n但由结论* Tr (A ) 1, r (A) n 1 可知, A A * 0 可知 r (A) r(
11、 A*) , 伴随矩阵的秩只0,r (A) n 1能为 3,所以 A 1.14设随机变量 X 服从标准正分布 X N ( 0,1) ,则 E Xe2X 【详解】E2XXe2 2 2x (x 2) (x 2)21 x e22x 2xe e e dx ( x 2 2)e2 dx22 2 2dx2e2tet22dt2e2t2dt2eE(X)22e22e所以为22e 三、解答题15(本题满分 10 分)当 x 0 时,1 cosx cos2x cos3x与nax 是等价无穷小,求常数 a,n 【分析】主要是考查 x 0时常见函数的马克劳林展开式1 2 o x2【 详 解 】 当 x 0 时 , ( )
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