考研数三真题及答案解析完整版.docx
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考研数三真题及答案解析完整版
2013年考研数三真题及答案解析
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当x0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）
2ox2ox
33
（A）（）（）
xox（B）o（x）o（x）（）
（C）o（x2）o（x2）o（x2）（D）o（x）o（x2）o（x2）
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例
2xoxgxxox
332
如当x0时（）（）,（）（）
fxx，但f（x）g（x）o（x）而不是
2
o（x）故应该选（D）．
2．函数
f
x
x1
（x）的可去间断点的个数为（）
x（x1）lnx
（A）0（B）1（C）2（D）3
x
xlnx
【详解】当xlnx0时，x1e1~xlnx
，
x
x1xlnx
limf（x）limlim
xx（x1）ln
0xx
x0xxln
0
1
，所以x0是函数f（x）的可去间断点．
x
x1xlnx
limf（x）limlim
x1x（x1）lnx2ln
1xx
xx0
1
2
，所以x1是函数f（x）的可去间断点．
x
x1xlnx
limf（x）limlim
x
（1）ln
1x（x1）lnxx
x1x1
x
，所以所以x1不是函数f（x）的
可去间断点．
故应该选（C）．
３．设
2y
2
D是圆域D（x,y）|x1的第k象限的部分，记
k
Ik（yx）dxdy，则
D
k
（）
（A）0
I（B）I20（C）I30（D）I40
1
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
I
k
k1
1
2
k（yx）dxdy2d（sincosrdr（sinsin）d
）
2
k1
（k1）3
0
D22
k
1
3
sincos
k
2
k
|
2
1
所以
22
I1I0,I2,I4，应该选（B）．
3
33
４．设
a为正项数列，则下列选择项正确的是（）
n
（A）若
ana，则
n1
（1）
n1a收敛；
n
n1
（B）若
（
na收敛，则
1
1）
n
ana；
n1
n1
（C）若
n1
p
a收敛．则存在常数P1，使limnan存在；
n
n
（D）若存在常数P1，使
p
limna存在，则
n
n
n1
a收敛．
n
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一
条件lima0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，
n
n
选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
【详解】把矩阵A，C列分块如下：
A1,2,,n,C1,2,,，由于ＡＢ＝Ｃ，
n
则可知（1,2,,）
ibi1bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
122
列向量组线性表示．同时由于B可逆，即
1
ACB，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
1a1200
6．矩阵aba0b0相似的充分必要条件是
与矩阵
1a1000
（A）a0,b2（B）a0，b为任意常数
（C）a2,b0（D）a2，b为任意常数
2001a1200
【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相
与矩阵
0001a1000
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
1a1
EAaba（
2bba
（2）22
2
）
1a1
从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．
22
7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X~N（0,2）,X~N（5,3），
23
PiP2Xi2，则
（A）P1P2P3（B）P2P1P3
（C）P3P2P1（D）P1P3P2
X
【详解】若X~N（,2），则~N（0,1）
X
2
P2
（2）1，PP2X2P112
（1）1，
122
2
P
3
P2X2P
3
2
3
5
X
3
3
5
2
3
5
（
1）
7
3
7
3
1）
，
7
P3P13
（1）23
（1）0．
2
3
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X0123P
P1/21/41/81/8
Y-101
P1/31/31/3
则PXY2（）
（A）
1
12
（B）
1
8
（C）
1
6
（D）
1
2
【详解】
PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y1
1
12
1
24
1
24
1
6
，故选择（C）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把
答案填在题中横线上）
2
9．设曲线yf（x）和yxx
在点1,0处有切线，则
lim
n
nf
n
n2
．
【详解】由条件可知f10,f'
（1）1．所以
2
f1f
（1）
nn2
limnflim2f
2n2
n2n
n
n22n
'
（1）2
x
10．设函数zzx,y是由方程zyxy
【详解】
z
确定，则|（1,2）
x
．
x
设Fxyzzyxy
,（），则
xx1
Fxx,yzzyzyyFxyzxzy，
（）l）,（,n,）（）（
z
z
当x1,y2时，z0，所以|（1,2）22ln2
x
．
lnx
11．dx
1
（1）2
x
．
【详解】
lnx1lnx1
dxlnxd|dxln
1
12x
（1x1x1x1x（1
）1x）
x
1
|
1
ln2
1
12．微分方程0
yyy的通解为．
4
1
r，两个特征根分别为
【详解】方程的特征方程为0
4
x
解为2
y（C1Cx）e，其中C1,C2为任意常数．
2
1
1，所以方程通
2
2
13．设
Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
ij
Aijaij0（i,j1,23），则A=．
T
【详解】由条件Aija0（i,j1,2,3）可知*0
AA，其中A*为A的伴随矩阵，从ij
而可知
A
T31
*
*AAA，所以A可能为1或0．
n,r（A）n
但由结论
*T
r（A）1,r（A）n1可知，AA*0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只
0,r（A）n1
能为3，所以A1.
14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．
【详解】
E
2X
Xe
222
x（x2）（x2）
2
1xe
2
2x2
xeeedx（x22）e
2dx
2
222
dx
2
e
2
te
t
2
2
dt
2
e
2
t
2
dt
2
e
E（X
）
2
2e
2
2e
．
所以为
2
2e．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当x0时，1cosxcos2xcos3x与
n
ax是等价无穷小，求常数a,n．
【分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．
1
2ox2
【详解】当x0时，（）
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