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1、二次函数复习讲义完美docx二次函数最全面的复习讲义学习目标1. 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2. 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3. 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解 决简单的实际问题；4. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络L二次西数的概念实际问题二次两数y = or2 （a 丰 0） ar2 + c（a 工0）y - a（x h）2 + A（a 工 0）= ar2 + &r +（a HO）二次函数的对称轴、顶点坐标用隨数观点看一元二次方程元二次方程与二次函数的

2、关系利用二次函数的图象求一元二次 方程的解刹车距离=实际问题与二次两数何时获得最大利润垠大面积棗多少要点一、二次函数的定义般地，如果x=是常数，那么丁叫做工的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c （a, b, c是常数，aHO）,那么y叫做x的二次函数.这里，当a二0 时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零.a的绝对值越人，抛物线 的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1. 二次函数解析式常见有以下几种形式:（1） 一般式：X = ，+Axh： （a, b, c 为常数，aHO）；（2） 顶点式:Z = （a, h, k 为常数,aHO）；交点式：尸吃-咲-可

3、（兀，花为抛物线与x轴交点的横坐标，aHO）.2. 确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 笫一步，设：先设出二次函数的解析式，如或才一几尸十上，或尸无一兀农-砧，其中曲0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系 数的方程（组）；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，述原：将求出的待定系数还原到解析式中.类型一：二次函数的概念 y=-3x2；(3) y = 3x2-4-x1、下列函数中，是关于X的二次函数的是 （填序号）.;(5)y =ax+3x+6；(6) = V+2x+3【变式1】下列函数中，是二次函数的是

4、（）、）y- 2x4-1【变式2】如果函数八农一八是二次函数，求口的值类型二、求二次函数的解析式1.已知二次函数的图象经过原点及点 目.图象与X轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为 尸=_丄己丄JT a .【答案】 3 3或y =【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x二1,交x轴于点A、B（A在B的左侧）,且AB=4, 交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的朋标.【答案】对称轴x=l,且AB二4抛物线与x轴的交点为:A（-l, 0）, B（3, 0）1b+c = O/. y=x2-2x-3 为所求,Vx=l 时 y=-4, M(1, -4).课堂练习1.已

5、知二次函数的图象过（一1, 一9）、（1, -3）和（3, -5）三点，求此二次函数的 解析式【答案与解析】木题已知三点求解析式，可用一般式设此二次函数的解析式为y=ax24bx+c（a0）,由 题意得:所求的二次函数的解析式为y=-x：+3x-5.2在直角坐标平面内，二次函数图彖的顶点为*-仅H过点恥国.（1） 求该二次函数的解析式；（2） 将该二次函数图彖向右平移几个单位，对使平移后所得图彖经过坐标原点？并直接 写岀平移示所得图象与兰轴的另一个交点的坐标.【答案】令尸,得-2x-3=0f解方程，得铲可耳二次西数图象与工轴的两个交点坐标分别为阳和（-.二次函数图彖向右平移1个单位后经过坐标原

6、点.平移后所得图彖与工轴的另一个交点坐标为3. 已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式.【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为= (a0),由图象知函数图象经过点(3, 0),(0, 3).a =7A=2解得抛物线解析式为解法二：设抛物线解析式为=皿*-敬一巧)工0).由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1, 0), (3, 0).则有=皿+矩一场，即课后巩固练习一、选择题1.二次函数的图象经过点A(0, 0), B(-l, -11), C(l, 9)三点,则它的解析式为().、x+tOx b = c ) y=-F+10乃y ；x2A. (2, 3) B. (3, 2) C. (3,

7、3) D. (4, 3)5将函数z = + x的图象向右平移a（a0）个单位，得到函数Z = 的图象,A. 1 B. 2 C. 3D. 46.若二次函数=K?+*+的X与y的部分对应值如下表:X-7-6-5-4-3-2Y-27-13-3353则当x=l吋，y的值为（）A. 5 B 一3 C. -13 D. -27二、填空题7. bx + c抛物线，二一只十虹+匕的图彖如图所示，则此抛物线的解析式为 第7题8. 已知二次函数的图彖过坐标原点，它的顶点坐标是（1, -2）,则这个二次函数的关系式为 .9. 已知抛物线=+2，+2.该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标 ；10. 如图所示已知二次函数/ =

8、 的图象经过点（-1, 0） , （1, -2）,当y随x的增人而增人时，x的取值范围是 11. 已知二次函数尸=占十0人十0)的图彖AC边交于点E.(1) 求证:AEXA0=BFXB0；(2) 若点E的坐标为4),求经过点0, E, F三点的抛物线的解析式.1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为Jr = a+*+0, x=-l 时，一3. 【答案】A；4. 【答案】D；【解析】I点A, B均在抛物线上，J1AB与x轴平行,点A与点B关于对称轴x=2对称，又A(0, 3),Ya = 3,点B的坐标为(4, 3).5. 【答案】B；AB=4, yB =【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移

9、，的顶点坐标是y = 的顶点坐标是移动的距离6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次两数解析式，再将x=l代入求函数值， 显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题.观察表格中的函数值，可发现，当x=-4和x=2时，函数值均为3,由此 可知对称轴为x=-3,再由对称性可知x=l的两数值必和x=-7的函数值相等，而x=-7时y=-27. x=l 时，y=-27.二、填空题7.【答案】=4-2jt+3【解析】由图象知抛物线Lx轴两交点为(3, 0), (-1, 0),则,8.【答案】八纶-护一2;【解析】设顶点式，再把点(0,0)代入所设的顶点式里即可.9.【答案】(l)x=l

10、； (1, 3)；【解析】代入对称轴公式-N和顶点公式I加 力丿即可.210.【答案】 2 ；【解析】将(丄0), (1, -2)代入中得b=-l,Z = 1对称轴为 2,在对称轴的右狈9,即 2时，y随X的增人而增人.11.【答案】2【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值.要认真分析表格屮的每一对X、 y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(1, -2), (0, -2), (1, 0),设二次函数解析式为Z = + + (a70)由表知i+A+c = 0.再设一般式 用待定系数法求解.二次函数解析式为尸Hh-2.Z=l(x-3)a-212. 【答案】 2 【解析】由题意知抛物线过

11、点0)秋5, 0).三、解答题13. 【答案与解析】顶点是(1, 2),设尸*_卉2(#0).乂过点(2, 3),.a = i.，= (* 0力4-2,即y = F 2r+3(2)设二次函数解析式为心工0).由函数图象过三点(1, -1), (0, 1), (-1, 13)得|a+b+e = -L c = L|口6+ = 口故所求的函数解析式为严*-九十1.由抛物线与X轴交于点(1, 0), (3, 0),设 y=a(x-l)(x-3)(a0), XV 过点(0, -3), a(0-1)(0-3)=-3y 3 -li y=-(x-l)(x-3),即”7.14. 【答案与解析】过C点作CDx轴于

12、D.在y=2x+2中,分别令y=0, x=0,得点A的坐标为(1, 0),点B的坐标为(0, 2). 由 AB=AC, ZBAC=90 , ABAOAACD, AD = OB = 2, CD = AO = 1,C点的坐标为(3, 1).设所求抛物线的解析式为尸swis,a+A+e = 0,9ki+3&+c = l15. 【答案与解析】证明：由题意知，点E、F均在反比例函数 X 图象上，且在第一象限,所以 AEXAO = k, BFXBO = k,从而 AEXAO = BFXBO.(2) 将点E的坐标为(2, 4)代入反比例函数”餌0所以反比例函数的解析式为T 0B = 6,/当x = 6吋,设

13、过点0、E、F三点的二次函数表达式为r=3+te+?(a0),解得e = 04 =1当0时开口向卜.0（匸轴）(0, 0)/ = wra+tJ=(-yW(o,-)jr = a(r-*yx = A(, 0)jr = o(xjk)1 +Jt当存0时开口向下j = AG, )A = * +Ax+cbx 2ab 4oc-护 (2fl 4 )2.抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.（1）说的符号决定抛物线的开口方向：当吋，开口向上；当开口向下:H相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2) 平行于匸轴(或重合)的直线记作J = *特别地，轴记作直线J = .3. 抛物线中，6%的作用：(D-决定开口方

14、向及开口人小，这与尸=山屮的门完全一样.(2) 土和金共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线Z = wJ +*r+02 。 (即二、上同号)吋，对称轴在轴左侧；*03 a (即夕异号)时，对称轴在丁轴右侧.(3) ,与H轴交于正半轴；c ”、或“=”号).【解析】将 A(a, 15),又A、B在抛物线对称轴左侧， a0, b2.已知y=（m+l）xrf*是二次函数且其图象开口向上求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意,解得m=l,二次函数的解析式为：y=2.3. 求卞列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 2 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0,5）的抛物线；（2） 顶点为（0, 1）,经

15、过点（3,2）并口关于y轴对称的抛物线.【答案与解析】y = +3 （1）由于待求抛物线 2 形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为二,=JT 又顶点坐标是（0,5）,故常数项* = -5,所以所求抛物线为 2 （2）因为抛物线的顶点为（0, 1）,所以其解析式可设为=+1,a = _l又该抛物线过点（3,2）,41=-2,解得 亍. 所求抛物线34. 在同一直角坐标系中，画和的图象，并根据图象回答下列问 题.-3 -2 -1y1o! ? ?:-1-3B-4-5-6-78-9抛物线向 平移 个单位得到抛物线，=7 ;抛物线开口方向是 ,对称轴为 ，顶点处标为 抛物线当X时，随X的增人而减小；

16、当X时，函数y有最值，其最值是.【答案与解析】函数F与F十1的图彖如图所示:向下；y轴;人；1.课堂练习一、选择题1.关于函数y=厂的图彖，则下列判断中正确的是（）A.若a、b互为和反数，则xf与x的函数值相等; 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应； 对任一个实数y,有两个x和它对应； 对任意实数x,都冇y0.下列函数屮，开口向上的是（B.C.D.2.B，= 23. 把抛物线7 = X向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为（）.A. = ?+l B.八(ZC. U D.尸(54. 下列函数中，当x0吋，y随x的增大而 .8. 若函数 y=ax?过点（2, 9）,贝ij a= .9.

17、 已知抛物线y=x2有一点A, A点的横坐标是过点A作ABx轴,交抛物线于 另一点B,则AAOB的而积为 10. 写出一个过点（1, 2）的函数解析式 11. 函数的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛12. 若对于任意实数x,二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是【解析】根据抛物线尸二心仏*。的图象的性质，当aVO时，在对称轴(x=O)的左侧，y值随x值的增人而增人, 所以答案为B.5. 【答案】C；【解析y=2x2, y=-2x2,的图彖都是关于y轴对称的,其顶点坐标都是(0,0).6. 【答案】B；=2.25【解析】当s=2.25时，13 , v=15.二、填空题7.【答案】卜；y

18、轴；(0, 0)； 减小；9&【答案】；【解析】将点(2, 9)代入解析式中求a.9. 【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-l, 1), B(l,l),则 2 210. 【答案】7 = 2【解析】答案不唯一.丄J11 【答案】八衣【解析】J.先比较2 , |1|, |3|的大小关系，由越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物 线所对应的函数依次是 y=3xS y=x2, 2 .12.【答案】a-l；【解析】二次函数+ 只的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+l0.三、解答题13.【解析】解：.=(12)严为二次函数，且当xo时，y随x的增大而增大，M4-m=2 m+20m=1

19、2m=-2*i-2 ,(2) 由(1)得这个二次函数解析式为自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象.如图所示.y14.【解析】解：(1) V抛物线经过 A (-2, -8), 8=4a 9 a=-2,抛物线的解析式为：A =(2)当 x=-l 时,y=-=-2#=-4,点B (-1, -4)不在此抛物线上.(3)当 y=6 时，即得x=j3此抛物线上纵朋标为-6的点的坐标是(击，6)和(石，-6).15.【解析】解：(1)将x=l, y二b代入y=2x-3,得b=2,所以交点坐标是(1, -1).将 x=l, y=l 代入 y=ax,得 a=-l,所以 a=-l, b=-

20、l.(2) 抛物线的解析式为y=-x2,顶点坐标为(0, 0),对称轴为直线“0(即y轴).(3) 当xVO时，y随x的增大而增大.(4) 设直线尸2与抛物线尸吠2相交于A、B两点，抛物线顶点为0(0, 0).A（r, .2）, B（盪，2）AB二|返（施）|二2握，高=|-2|=2.类型二、二次函数y=a (xhL2+k(aH0)的图象与性质1. 将抛物线Z=2(-0J+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.(1) 向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2) 顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3) 以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向.【答案与解析】抛物线戶3卩43的顶点为(1, 3

21、).(1) 将抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,顶点为(1, 0),而开口方向 和形状不变，所以a = 2,得到抛物线解析式为尸2(1+1/ =+32.(2) 顶点不动为(1, 3),开口方向反向，贝=-2,所得抛物线解析式为一立+3=-2/ +4* .(3) 因为新顶点与原顶点(1, 3)关于x轴对称，故新顶点应为(1, -3).又抛物线开口 反向，一2 .故所得抛物线解析式为尸2旷7 = -2十4斗5.【答案与解析】根据题意得,y=(x-4)2-2=x2-8x+14,所以/= (r3)a +4 /= j?【变式】二次函数 2 的图彖可以看作是二次函数 2 的图彖向平移4个单位，

22、再向_平移3个单位得到的.【答案】上；右.3.已知片越与Ji 的图象交于a、B两点，其中A(0, -1), B(l, 0).(1)确定此二次函数和直线的解析式；当序l时,万咗乃.4.如图，抛物线的顶点为A (2, 1),且经过原点0,与x轴的另一个交点为B.(1) 求抛物线的解析式；(2) 求AAOB的面积；(3) 若点P (m, -m) (mHO)为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标.b_(注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=- .0A/x【答案与解析】解：(1)设二次函数的解析式为y=a (x-2)2+1,将点0 (0, 0)的坐标代入得：4a+l=0,1 1解得a=-. 所以二次函数的解析式为y=r (x-2) 2+1；1(2) V抛物线y=r (x-2) 2+1的对称轴为直线x=2,几经过原点0 (0, 0),丄与X轴的另一个交点B的坐标为(4, 0), ASzsaob= - X4X1=2；(3) ：点 P (m m) (mHO)为抛物线 (x-2) 2+1 _E一点，1A-m=- (m-2) 2+l,解得 mi=0 (舍去)，m2=8, .P 点坐标为(& 8),抛物线对称轴为直线x=2,.P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为(4, -8).如下图.课堂巩固一、选择题1. 抛物线尸的顶点坐标是()A. (